铺层结构三维等效弹性常数研究

铺层结构三维等效弹性常数研究

张青雷1,2唐玉良1

1.上海理工大学，上海，200093

2.上海电气集团股份有限公司，上海，200070

摘要：从铺层结构的三维宏观弹性特性出发，利用三维层压结构理论，获得了复合层板的三维弹性常数的等效公式。以MATLAB为平台，编写模块化程序，将层压结构理论运用于某大型回转机械平行铺层和环状铺层结构的三维弹性常数等效中，输入每个单层结构的弹性参数，该程序可自动生成部件等效刚度矩阵、柔度矩阵和等效弹性常数；结合APDL参数化语言建立有限元模型，对等效前后的结构进行模态分析比较。结果表明，等效前后部件前三阶固有频率的变化率都小于5%，说明该方法对此类复合铺层结构的三维弹性常数等效是可行的。

关键词：铺层结构；三维等效弹性常数；有限元；模态分析

中图分类号：TB302.3

收稿日期：2015-06-02

作者简介：张青雷，男，1973年生。上海理工大学机械工程学院硕士研究生导师，上海电气集团股份有限公司中央研究院数字化设计研究室主任、教授级高级工程师。研究方向为数字化设计与制造。取得发明专利、实用新型专利、软件著作权23项。发表论文60余篇。唐玉良，男，1989年生。上海理工大学机械工程学院硕士研究生。

Research on Three Dimensional Equivalent Elastic Constant of Layer Structure

Zhang Qinglei1,2Tang Yuliang1

1.University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai,200093

2.Shanghai Electric Group Co., Ltd.,Shanghai,200070

Abstract:An equivalent formula of 3D elastic constants of composite laminates was presented herein according to three-dimensional macroscopic elastic properties of the laminated structure and the three-dimensional laminated structure theory. A modular program was also established on a MATLAB platform, this theory was applied in the equivalent of the plane ply and ring ply part of a large rotating mechanism. Inputting the elastic parameters of each single layer structure, the stiffness matrix, flexibility matrix and equivalent elastic constants can be automatically generated in the equivalent model. Then, the finite element model was built in ANSYS parametric language, the modal analysis result of the structure before and after equivalent was compared. The results show that the relative error is within 5%, which proves that the equivalent method used in this kind of layer structure is feasible.

Key words：layer structure; three dimensional equivalent elastic constant; finite element; modal analysis

0引言

层压复合材料主要是指在电气工业、航空及机械制造等领域中广泛应用的一类纤维增强复合材料层压结构[1-2]，包括由相同组分铺层叠合而成的层压杆、板、壳结构，或由不同组分铺层叠合而成的层间混杂层压结构[3]，目前，这类结构有限元分析中材料属性的等效计算研究十分匮乏。随着复合材料结构的日益复杂和有限元分析水平的不断提高，复合材料的仿真分析逐渐由二维应力向三维应力分析过渡[4]。得到准确的材料性能参数是进行仿真分析的前提，但目前国内外复合材料力学性能表征体系一般只有单层板的材料性能数据，所以，研究复合材料的三维弹性参数对深入研究复合材料结构的力学特性和进行复合材料结构优化设计具有重要意义。

在大型回转机构的研究分析中，一些部件由多种材料层压复合而成，结构十分复杂，对其进行有限元建模及材料属性赋值时比较困难，关于这方面的理论研究也相对较少。文献[5]采用超声技术对电机铺层结构弹性参数进行测定，但空气会对测试结果带来一系列偏差。文献[6]采用Halpain-Tsai修正混合率公式对定子线棒结构的材料属性进行等效，等效前后3阶固有频率最大超过10%。文献[7]在对电机绕组的等效中确定了弹性模量，但无法计算出合适的泊松比，只给出了假设值。本文对三维层合板复合材料弹性常数等效方法进一步改进，通过编写MATLAB程序，将其应用于某大型回转机械平行铺层和曲面铺层部件的材料等效中，计算等效后的弹性常数，并分析比较等效前后结构的模态计算结果。

1三维弹性常数等效的理论分析

在工程实际中应用的复合材料层板，常采用多铺层结构相同的子层板叠层。假设一个三维厚层压板由M个交叠合的子层板组成；子层板又包含了N个正交各向异性的纤维增强复合材料单层，每个单层的铺层方向可以是任意的，如图1所示。

图1　三维层板的结构

典型单元的宏观有效力与应变的定义如下：

(1)

式中，σij为每一单层的应力；εij为每一单层的应变；V为典型单元整个厚度内的体积。

假定面内尺度是微小的，因此每一单层内的应力与应变在单元面内方向可以看成均匀分布的，即为常数。于是由式(1)可得

(2)

其中，φk表示第k单层的体积分数，由下式确定：

(3)

式中，tk、h分别为第k单层和子层的厚度。

根据应力和位移在单层界面上的连续条件，可以假定：

(4)

根据弹性力学中等效应力与应变的关系[8]，在层板中可得如下关系式：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

等效密度为

(14)

式中，ρi为各个单层的密度。

2数值计算及验证

2.1平行铺层部件的等效计算及验证

对于非均衡层板和一般形式的层间混杂层板，可使用三维有效弹性常数的一般表达式。部件主要由不锈钢、铜、中间垫层和外包裹层叠合而成，其端面结构如图2a所示，整体视图见图2b，材料属性参数见表1。对于部件中材料为各向同性的层板，在计算其柔度矩阵时，其剪切模量可以通过弹性模量E和泊松比ν用公式G=E/2(1+ν)求得。利用等效公式(6)～式(13)在MATLAB中编写等效程序，将各组分的材料参数输入程序，即可计算出等效后的刚度矩阵和柔度矩阵。

(a)部件截面(b)整体视图 图2　部件的结构

参数不锈钢铜中间垫层外包裹层ρ(kg/m3)7205836018002350φ(%)10.2851.832.0535.84E11(GPa)20011710044.7E22(GPa)20011710043.3E33(GPa)20011710044.7G12(GPa)76.3445.3538.465.23G23(GPa)76.3445.3538.461.29G31(GPa)76.3445.3538.465.23ν120.310.290.30.29ν230.310.290.30.31ν130.310.290.30.31

依次列出该部件各组分的柔度矩阵和刚度矩阵，再利用等效公式编程求解，可得等效后的刚度矩阵为

等效后的柔度矩阵为

有效工程常数与柔度矩阵元素的关系[11]为

(15)

求解上式即可得到等效后的弹性参数，包括弹性模量，如表2所示。

表2　等效后部件的弹性参数

为了验证该等效结果的可靠性，在ANSYS中建立部件有限元模型，利用等效前后的弹性参数进行模态分析比较。

部件的APDL建模过程如下：首先按照几何约束关系及相应尺寸建立完整的部件轴线平面展开线，接着将该曲线离散成一系列的节点，并将节点编号，再通过二维到三维的坐标变换把这些节点还原到三维中，形成部件端部绕组的三维轴线，最后根据截面的形状建立多个矩形块，生成等效前的部件有限元模型，截面如图3a所示，同时将截面只划分成一个矩形，生成等效后的有限元模型，截面如图3b所示。

(a) 等效前有限元(b) 等效后有限元 模型截面 模型截面 图3　等效截面

将等效前后的模型赋上相应的弹性参数，对整个部件进行模态分析，振型如图4所示，固有频率如表3所示。

(a)一阶模态

(b)二阶模态

(c)三阶模态 图4　平行部件等效前后的振型

阶次固有频率(Hz)等效前等效后等效前后变化率(%)14.1164.2262.67212.66813.0663.14325.38324.130-4.94

由表3中比较结果可知，等效前后部件前3阶固有频率的变化率中最大的为第3阶，减小了4.94%，最小为第1阶，增加了2.67%，所有变化率都在5%之内，变化较小，说明部件使用该等效方法是合理的。

2.2环形铺层部件的等效计算及验证

该环形部件的结构如图5所示，主要由内层、中间层和外层组成，呈周期排列，材料参数如表4所示。对于此类的各项同性层板，等效三维弹性常数可以由式(6)～式(13)进一步简化：

(16)

图5　环形部件的结构

参数内层中间层外层ρ(kg/m3)332045001800φ(%)423622E(GPa)109427.669ν0.340.250.33

将各个组分的材料参数输入等效程序中进行等效计算。得到等效后的参数E=222GPa，ν=0.32，ρ=2848kg/m3，将等效前后的弹性参数分别赋给等效前后的模型进行有限元分析，结果如图6所示。

由表5中比较结果可知，等效前后部件前3阶固有频率的变化率中最大的为第3阶，增大了4.3%；最小为第1阶，增大了3.2%，变化均在合理范围内，说明该方法对环形铺层结构等效也是可行的。

3结论

(1)对复合材料三维等效弹性参数进行了理论推导，以某大型回转机械的平行铺层和环状铺层部件为例，对其弹性常数进行了等效计算和验证。

(a)一阶模态

(b)二阶模态

(c)三阶模态 图6　环形部件等效前后的振型

阶次固有频率(Hz)等效前等效后等效前后变化率(%)148.8350.403.22132.53137.363.63240.11251.224.3

(2)分别建立了平行和环状铺层部件等效前后的有限元模型，对比分析等效前后的3阶固有频率和振型，得到比传统的如Halpain-Tsai修正公式更小的误差，说明该等效方法更加合理。

(3)针对此类多层板复合的特殊结构，提出了各向异性和各向同性两种铺层结构的等效算法，并以MATLAB为平台开发了模块化程序，为该类型结构的等效计算提供参考。

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(编辑苏卫国)