利用非负巧解题
2015-12-28卢加月
卢加月
2015年四川省绵阳市中考题中有这样一题:要使代数式意义,则x的( ).
【分析】方法1:根据算术平方根的被开方数是非负数,可知2-3x≥0,解不等式求出x的解集,即可得到x的最大(小)值.
方法2:根据算术平方根是非负数,可知≥0,其有最小值0,此时x取最大值,由2-3x=0解出x即可.
解:方法1:由有意义,可知2-3x≥0,解得x≤,所以x的最大值为,故选A.
方法2:由≥0,可知的最小值为0,此时x取最大值.由2-3x=0解得x=.所以x的最大值为,故选A.
由算术平方根的概念可知,式子(a≥0)包含两个非负数:①a≥0;②≥0.运用算术平方根的这两个非负性,可解决许多中考题.
一、 利用中的a≥0解题
例1 (2014·山东潍坊)若代数式有意义,则实数x的取值范围是( ).
A. x≥-1
B. x≥-1且x≠3
C. x>-1
D. x>-1且x≠3
【分析】由有x+1≥0,由(x-3)2在分母上有(x-3)2≠0.由此可得实数x的取值范围.
例2 (2014·贵州安顺)已知等腰三角形的两边a、b满足+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为( ).
A. 7或8 B. 6或10
C. 6或7 D. 7或10
【分析】先由算术平方根和完全平方式非负得到关于a、b的二元一次方程组,解方程组得到a、b的值,进而求出等腰三角形的周长.
解:∵≥0,(2a+3b-13)2≥0,(2a+3b-13)2=0,∴=0且(2a+3b-13)2=0,∴2a-3b+5=0,2a+3b-13=0.解得a=2,b=3.
∴等腰三角形三边长分别为2,2,3或2,3,3,从而等腰三角形的周长是7或8,故选A.
三、 同时利用≥0和a≥0解题
【分析】根据算术平方根的被开方数非负,有x+y≥1999,x+y≤1999,得x+y=1999.代入原式后得到两个算术平方根为0,再根据算术平方根非负和非负数性质,得到关于x、y和m的方程组,即可求出m的值.
解:根据算术平方根的被开方数非负可得x-1999+y≥0且1999-x-y≥0,即x+y≥1999,x+y≤1999,所以x+y=1999,从而原等式可化为0.再由算术平方根非负及非负数性质可得:3x+5y-3-m=0,2x+3y-m=0.即3(x+y)+2y-3-m=0,2(x+y)+y-m=0.所以,3×1999+2y-3-m=0,2×1999+y-m=0.消去y,可解得m=2002.
(作者单位:江苏省兴化市楚水初级中学)