利用改进牛顿-拉夫逊法的高速圆柱滚子轴承打滑分析

金海善,朱爱斌,陈渭

(西安交通大学现代设计及转子轴承系统教育部重点实验室,710049,西安)

利用改进牛顿-拉夫逊法的高速圆柱滚子轴承打滑分析

金海善,朱爱斌,陈渭

(西安交通大学现代设计及转子轴承系统教育部重点实验室,710049,西安)

在考虑油气阻力和保持架与滚子之间的摩擦力的基础上,推导了圆柱滚子轴承拟动力学分析模型。提出采用改进的牛顿拉夫逊法求解大规模非线性方程组,可以克服传统算法对初值要求较高、方程组规模较大时迭代很难收敛的问题,在分析高速滚子轴承打滑时具有较好的效果。通过与已有的分析和实验结果进行对比后发现:滚动轴承保持架打滑与轴承所受径向载荷有关,在一定范围内增大径向载荷,可明显抑制打滑现象;在高速滚动轴承非承载区,滚子转速与保持架转速相关,且随保持架转速的增加而增加,而当保持架转速接近理论转速时,滚子打滑程度与径向载荷无关。

大规模非线性方程组;圆柱滚子轴承;拟动力学;打滑分析

滚动轴承是一种应用极为广泛的机械零部件。近年来,伴随着航空航天、核能、装备制造业的发展,现代工业对滚动轴承的要求越来越高,在转速较高的情况下,轴承打滑失效已成为滚动轴承的主要失效形式之一。所谓轴承打滑,是指在轴承运转过程中,由于转速和载荷等其他因素的作用,轴承零件实际转速小于理论转速的一种现象,轴承打滑会使轴承内部摩擦生热加剧,造成打滑蹭伤,缩短轴承的寿命。随着轴承工业的发展,国内外各种轴承动力学模型也日趋完善,其中以Gupta提出的完全动力学模型[1]最为突出,然而该模型考虑的因素众多,结构极为复杂,计算时间较长。Harris提出的拟动力学分析方法[2],在预测滚动轴承打滑方面得到了广泛的应用,而且分析结果较易得到实验验证,例如:Boness首次测得了滚动体的转速[3];Poplawski试图给出与Boness实验相符的计算结果,在他的模型中计入了油气阻力、保持架偏心旋转及残余不平衡量的影响,能够计算滚子与保持架之间的相互作用力[4];Rumbarger等用该模型分析了由滚子轴承支撑的轴承-转子系统[5];陈国定等采用多重网格法对油膜牵拽力进行了分析,并且通过实验证明,Harris的模型经改进之后也适用于高速轻载的状况[6];胡绚等将Harris模型应用于航空发动机中介轴承滚子的打滑及受力分析[7];陈渭等在Harris模型的基础上分析了高速轴承保持架涡动对滚子打滑的影响[8]。以上这些研究充分说明,Harris模型具有较大的潜在应用价值。事实上,虽然Harris模型给出了一个看似完美的非线性动力学平衡方程组,但由于该方程组规模较大,如果采用传统的牛顿-拉夫逊法,即使经对称简化之后,迭代仍然很难收敛,因此Harris不得不采用更加简化的模型,以便取得方程组的收敛解。

本文提出一种改进的牛顿-拉夫逊法,无需对模型进行简化即可求得方程组的收敛解;在求得各滚动体转速的基础上,对高速滚子轴承的打滑状况进行了计算分析,并与已有的分析和实验结果进行了对比。

1 理论分析

1.1 轴承零件之间的运动关系

为了分析轴承各零件间的受力情况,有必要先弄清楚它们之间的运动关系。在通常情况下,轴承内圈旋转、外圈固定,若各零件之间的运动关系是理想的,即不存在相对滑动,则滚子自转速度ωjm和保持架公转速度ωcm与内圈转速ω有如下关系[9]

(1)

(2)

但是在实际工作过程中,保持架和滚子的自转速度一般会小于理论转速,从而产生打滑现象,这就需要建立新的运动学模型。以滚子为参照物时[2],滚子与内、外圈滚道之间的相对滑动速度分别为

(3)

(4)

滚子和内、外滚道对润滑油的卷吸速度分别为

(5)

(6)

式中:dm为节圆直径;Dw为滚子直径;ωc为保持架实际工作转速;ωj为滚子实际工作时的自转速度。

求得滚子和滚道之间的相对滑动速度和卷吸速度之后,可用Dowson-Higginson弹流润滑经验公式求得两零件表面间的相互作用力。在引入经验公式之前,需要对速度进行归一化处理,具体过程详见文献[2]。

1.2 力学模型

本文的力学理论模型仍然采用Harris的经典拟动力学模型[2],不同的是本文计入了保持架与滚子间的摩擦力以及油气阻力对滚子转速的影响。轴承的载荷分布如图1所示,图中Fr为外载荷,Qφj为角度φj处滚子的载荷。由力学平衡条件[10]可得

Fr=Qφ0+2∑Qφjcosφj

(7)

(8)

式中:K为滚子的刚度系数,对于钢质滚子和滚道,K=1.14×107l8/9,其中l为滚子的长度;δφj为第j个滚子与滚道之间的接触变形

δφj=(Pd/2+δ0)cosφj-Pd/2

将K和δφj的表达式代入式(7)、式(8)中,即可得到各个滚子与内圈之间的接触负荷。

根据Qφj是否大于0,将滚子分为承载区和非承载区2种受力情况,分别见图2、图3。图中:Qyij、Qyoj为内、外圈滚道作用在滚子上的法向作用力,其中Qyij=Qφj;Fij、Foj为油膜牵拽力;Qxij、Qxoj为套圈和滚子之间产生的流体动压作用力的切向分量;Fdj为保持架对滚子的作用力;fdj为保持架与滚子之间的摩擦力;Fω为滚子的离心力;Foa为滚子所受的油气阻力。对于非承载区,由于滚子受到内圈的油膜牵拽力及摩擦力较小,故假设滚子由保持架驱动,而对于承载区滚子,则假设滚动体驱动保持架旋转。

图2 承载区滚子受力

图3 非承载区滚子受力

对于一个滚子而言,有如下平衡方程:

力平衡

Qyij+Fω-Qyoj-fdj=0

(9)

Fij+Qxij-Qxoj-Foj-Foa±Fdj=0

(10)

式中:Fdj对于承载区滚子取负号,对于非承载区滚子取正号。

力矩平衡

(11)

式中:Jw为滚子绕轴线的转动惯量。

保持架受力平衡

(12)

对式(9)～式(12)中的各个力进行归一化[2,11],可以得到如下方程:

滚子受力平衡

(13)

(14)

力矩平衡

(15)

保持架受力平衡

(16)

式(13)～式(15)中

(17)

(18)

(19)

(20)

γ=Dw/dm

1.3 算法说明

由式(15)、式(16)组成的方程组非线性较强,当滚子数量较多时,该非线性方程组的规模较为庞大,采用牛顿-拉夫逊法迭代时收敛较为困难。为了简化计算,通常采用2种方法:一种是胡绚等提出的方法,将滚动轴承沿受载方向视为对称的情况,同时假定非承载区滚子受力情况相同,将未知参数的数量减少到只剩(Zl+1)/2+2个(Zl为承载区滚子的数量)[7];另一种是Harris采用的更为简化的模型,假定承载区各滚子与保持架之间受力大小相同,非承载区各滚子与保持架之间的受力大小也相同,同时假定非承载区滚子以理论速度自转,即非承载区滚子和滚道之间没有打滑现象产生,最后仅剩ωc及最大承载滚子转速ω12个参数[2]。本文认为,实际上不需要进行上述简化,使用改进的牛顿-拉夫逊法[12]即可对式(15)、式(16)进行分析。将由式(15)、式(16)构成的非线性方程组记为如下的形式

F(X)=0

(21)

其中X=(ωc,ω1,ω2,…,ωz),则传统牛顿-拉夫逊法的迭代格式为

Xk+1=Xk-J-1(Xk)F(Xk)

(22)

式中:Xk为第k次迭代之后的值;Xk+1为第k+1次迭代之后的值;J(Xk)为第k次迭代时的雅可比矩阵。

式(22)可以写为如下形式

ΔXk=J-1(Xk)F(Xk)

(23)

参照文献[12]对牛顿-拉夫逊法进行改进,其一维迭代格式为

(24)

推广到高维,可以得到

(25)

(26)

式中:λ为迭代修正系数。如果

|F(Xk+1)|>|F(Xk)|

(27)

则λ减半。但是,这种方法的计算量比经典牛顿-拉夫逊法的要大,影响了计算速度,因此只在前几步使用。改进的牛顿-拉夫逊法降低了初值误差对计算收敛性产生的影响,同时保留了传统牛顿-拉夫逊法迭代收敛速度快的优点。

2 结果分析

2.1 保持架打滑分析

轴承打滑是高速滚动轴承的主要破坏形式之一,而评判轴承打滑情况的重要指标是保持架的打滑程度。本文以Harris采用的高速轴承[2]为例进行计算,并与其计算结果和实验结果进行对比,此外还给出了Harris模型未经简化的计算结果。具体的轴承参数如下:

滚子数量Z=32;节圆直径dm=182.88mm;

滚子长度l=20mm;滚子直径Dw=14mm;

径向游隙Pd=0.063 5mm;内圈转速为6 500r/min;润滑油牌号为MIL-L-7808。

图4 保持架转速与径向载荷的关系

图4给出的是对原方程组未经简化、并且考虑油气阻力和滚子与保持架的摩擦力时,保持架转速随载荷的变化情况,从中可以看出,随着径向载荷的不断增大,保持架的转速也越来越高,这是因为载荷越大,内圈对承载区滚子的摩擦力和油膜牵拽力也越大,相应地通过滚子施加于保持架的作用力就越大,当载荷达到一定值时,保持架打滑率几乎为0。本文的计算结果和Harris的简化计算结果差异很小,说明了本文所用方法的正确性。

2.2 滚子打滑分析

由于Harris的简化模型[2]无法给出各滚子的转速情况,为了与现有分析结果进行对比,本文采用文献[7]中使用的航空发动机中介轴承,型号为D1002928NQK,轴承的具体结构参数及所用润滑油见文献[14]。轴承外圈固定,内圈转速为24 873r/min,各滚子的转速见图5(滚子的编号规则如图1所示,最大承载滚子的编号为1,采用逆时针编号)。

图5 载荷为6 kN时各滚子的转速

图6 图5中本文计算结果的局部放大图

图7 滚子与套圈之间的接触力

图7中编号为1～3的滚子在载荷为2～6kN的情况下,虽然径向载荷增加了2倍(可参见文献[7]中的图7),但自转速度变化极小。此现象和分析结果也可从Crecelius的技术报告[15]中得到印证。因此,本文的分析所得到的结果更符合高速重载圆柱滚子轴承的实际情况。

3 结 论

(1)本文提出的改进的牛顿-拉夫逊法克服了传统算法对初值要求较高、方程组规模较大时迭代很难收敛的问题,可以用来求解大规模非线性方程组,特别是在求解滚动轴承拟动力学平衡方程组时应用效果良好。

(2)滚动轴承保持架打滑与轴承所受径向载荷有关,在一定范围内增大径向载荷可明显抑制打滑现象。

(3)在高速滚动轴承的非承载区,滚子转速与保持架转速相关,随着保持架转速增加,滚子转速也相应增加,而在保持架转速接近理论转速时,高速滚动轴承非承载区的滚子转速与径向载荷无关。

本文方法在轻载状况下的应用受到了限制(如图4中载荷为500N时的情况),主要是由于拟动力学计算中采用了Dowson-Higginson油膜厚度经验公式,该经验公式在轻载的状况下对油膜牵拽力的估算存在较大偏差(Dowson等建议仅当归一化油膜厚度H<10-5时适用该经验公式),因此需要引入弹流润滑理论重新进行分析。

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(编辑 葛赵青)

Skidding Analysis of High-Speed Cylindrical Roller Bearings Using Improved Newton-Raphson Method

JIN Haishan,ZHU Aibin,CHEN Wei

(Key Laboratory of Education Ministry for Modern Design and Rotor-Bearing System, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Considering the roller pocket friction and churning loss, a roller bearing quasi-dynamics model was established. An improved Newton-Raphson method was proposed to solve the large-scaled nonlinear equations. This method can overcome the difficulty of conventional method in finding an appropriate initial value and accelerating the iteration converge when the nonlinear equation is in a large scale. Compared with the experimental results in a literature, the proposed method gives better results than other methods in analyzing the skidding of high-speed roller bearing. It is found that: 1) the cage skidding is related to the radial load, and in a certain range, increasing the radial load can significantly suppress skidding; 2) the unloaded rollers’ rotational speed is related to the cage speed, and the unloaded rollers’ rotational speed accelerates when the cage speed increases, while the unloaded rollers’ speed is unrelated to the radial load when the cage speed is close to the theoretical speed.

large-scaled nonlinear equations; roller bearing; quasi-dynamics; skidding analysis

2014-04-23。

金海善(1989—),男,硕士生;朱爱斌(通信作者),男,副教授。

国家“973计划”资助项目(2011CB706601)。

时间:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201501022

TH113.2

A

0253-987X(2015)01-0133-06

网络出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141023.1635.011.html