自适应小世界粒子群优化算法

龚月姣，嵇智源

（1.中山大学 计算机科学系，广东 广州510006；2.科技部 高技术研究发展中心，北京100044）

0 引 言

粒子群优化 （particle swarm optimization，PSO）［1－3］解决问题的关键来自群体中粒子的相互作用。一个粒子自身几乎没有能力解决任何问题。因此，粒子群体不仅仅是一组粒子的集合，而是一个在某种社会通信网络或拓扑组织上建立的互动的群体。PSO 算法所采用的网络拓扑对算法的搜索行为起着重要的决策作用。传统PSO 算法分为全局和局部两种版本，它们都采用了简化的社会模式，即采取了完全规则的网络拓扑结构。已有研究结果表明使用全局拓扑的PSO 算法收敛速度非常快，但很可能陷入局部最优；而采用局部拓扑的PSO 算法则有更多的机会找到全局最优，但收敛速度较慢。因此，粒子群优化算法的全局和局部版本各有长处与短处，适用于解决各种不同的问题。

考虑到上述问题，本文提出了一种自适应小世界拓扑结构的PSO，用于进一步提高PSO 的算法性能及对实际问题的适用性。考虑到PSO 是一种在现实社会群体行为启发下诞生的算法，而自然世界中的大部分网络 （如生物、学术、和社会网络）都不是完全规则的。网络中的顶点不仅频繁与它们的近邻进行沟通，还会偶然地与一些远处的节点进行通讯。在这种情况下，网络具有 “小世界”的特征，即网络中的任意两个节点可以通过一个较小的跳数实现信息传递。受此启发，在本文提出的拓扑结构中，每个粒子会在大多数情况下与近邻连接，并通过一定概率重新连接到一些随机的粒子。后面我们会介绍到，小世界拓扑同时具有大的群聚系数和小的特征路径长度。因此，相应的PSO 算法能够保留局部版本PSO 算法良好的全局探索能力，同时又具有全局版本PSO 算法收敛速度快的特性。

此外，不同于传统的PSO 拓扑中整个群体共享一个单一的拓扑图，本文提出的拓扑结构是细粒度的，每个维度的群体分配一个特定的粒子网络。由不同维度的粒子构成一个邻域引导向量，进而用来指导粒子的速度和位置更新。通过使用这样一种细粒度的拓扑结构，粒子群体的搜索更加多样化，进一步提高了该算法的全局探索能力。同时，在上述拓扑结构的基础上，我们进一步根据种群的收敛状态对网络结构进行自适应调整。首先定义了整个群体的停滞系数，再基于这个系数对网络中顶点度数和小世界重置概率进行调整，以平衡粒子群体的全局探索和局部开发能力。通过采用这种拓扑结构自适应机制，PSO 的搜索效率可以进一步提高。

1 背 景

1.1 小世界网络

图1 网络结构

一般来说，复杂网络 （complex network）可分为3类。第一类网络是完全规则的，比如著名的完全图、环状图、网格、分形图等等。相比之下，第二类网络是一些通过特定的概率模型完全随机生成的图如ER 图。然而，研究人员发现，许多真实世界的网络，如生物、技术和社会网络并不属于这两种极端之一。相反，其介于完全规则和完全随机的网络之间，同时具有规则网络和随机网络的特性。这类网络通常被认为是第三类网络，其中，小世界网络（small－world network）吸引了越来越多的关注［4，5］。

小世界网络的灵感来自于Milgram 的 “六度分离”理论：一个社会网络的特征路径长度 （characteristic path length，又称直径）不大于6，即通过6跳可以实现任意两个人的消息传递。文献 ［6］仿照这个小世界现象建立了小世界网络模型，后称WS模型。WS是最初的小世界网络模型，它非常简单，由一个规则网络作为起始，以一定概率对网络中的边进行扰乱。如图1所示，建立一个具有N 个顶点的环图，环中每个顶点连接到其K 个最近邻；对于每个顶点的每条边，以一个概率P 对其进行重置，使得其重新连接到整个图中的一个随机选择的顶点。这种随机扰乱的过程不会改变在网络中的顶点或边的数目。但是重连产生的边很可能引入一些连接两个较远顶点的 “长程边”。只用具有少数的长程边，图的特征路径长度可以被大为减少，并同时保持大的集聚系数 （clustering coefficient）。

小世界网络的边重置概率P 是一个非常重要的参数，决定着网络规则性和无序性的相对比重。如果P＝0，网络便成为一个特征路径长度与网络规模N 成正比例的规则图。另一方面，P＝1时网络是一个具有极小的集聚系数的稀疏随机图。满足0＜P＜1的小世界网络则界于完全规则和完全随机的网络之间，文献 ［7、8］分别对小世界网络的特征路径长度与集聚系数进行了分析，验证了小世界网络同时拥有小的特征路径长度和高的集聚系数。图2是一个特征路径长度L（P）与集聚系数C（P）随着P 的变化的示意图，它清晰表明了小世界网络同时克服了规则网络特征路径长度较大与随机网络集聚系数较小的缺点。通过调节P，小世界网络适用于许多真实世界的网络。

1.2 粒子群优化算法

在粒子群优化算法中，每个粒子i维持一个速度向量Vi＝ （vi1，vi2，…，viD），一个当前位置向量Xi＝ （xi1，xi2，…，xiD）和一个历史最优位置向量PBesti＝ （pi1，pi2，…，piD）。速度向量Vi决定了粒子i 当前飞行的速率和方向；位置向量Xi表示粒子i 当前在搜索空间中所处的位置，是评估它所表示的解的质量的基础；历史最优位置向量pBesti记录着粒子i 在搜索过程中发现的最优位置 （对应于最好的解评估值的位置），用于保存粒子i的搜索经验信息。此外，整个群体维持一个全局最优位置向量gBest＝（g1，g2，…，gD），它是所有粒子的pBest中最优的那个，也就是整个群体在进化过程中发现的最好位置，用于保存群体的搜索经验信息。粒子根据自身搜索的经验信息和群体搜索的经验信息调整飞行速度，最终所有的粒子收敛到问题空间的全局最优解位置。PSO 的基本步骤主要包括：

（1）初始化：随机产生群体中每个粒子的Vi和Xi；将Xi复制给pBesti；将最优的pBesti复制给gBest。

（2）速度更新 （学习的过程）：每个粒子i根据当前的pBesti和gBest对Vi进行更新，如式 （1）所示

图2 网络特征路径长度与集聚系数

式中：ω是惯量权重 （inertia weight），可被认为是粒子运动空间中介质的流动度［9］。它常常被初始化为一个较大的值 （如0.9），此时粒子在运动空间中较快地飞行，有利于加强算法初期的全局探索能力，随着群体的进化，可将ω逐渐减小到一个较小的值 （如0.4），以牵引粒子收敛到局部最优解；c1和c2被称为加速因子 （acceleration coefficient），它们决定着pBest和gBest 指导粒子更新时力度的大小；rand1和rand2是两个均匀采样于 ［0，1］区间的随机数。

（3）位置更新 （飞行的过程）：每个粒子i根据自己当前的位置Xi和速度Vi对Xi进行更新，如式 （2）所示

（4）解评估：对每个粒子i计算Xi对应的目标函数值，即粒子的适应值；如果粒子i当前的适应值比历史最优要好，将Xi复制给pBesti；如果粒子i的历史最优比全局最优要好，将pBesti复制给gBest。

（5）若满足算法结束条件，输出gBest；否则，跳转执行第 （2）步。

1.3 粒子群优化算法的种群拓扑研究

经典的全局版本PSO 算法采用规则的完全图作为它的拓扑结构，群体中任何两个粒子都能直接连接，因此每个粒子都受到整个种群的全局最优粒子gBest的影响。另一方面，其它一些规则的网络，如环、网格等，被广泛运用于各类局部版本的PSO 算法中，每个粒子i受到其近邻粒子中最优秀粒子lBesti＝ （li1，li2，…，liD）的影响，如式（3）所示。此外，一些最新开发的PSO 变种，如 “动态多群体 PSO （DMS－PSO）”［10］和 “标准 PSO 2011（SPSO2011）”［11］，使用的完全随机图

然而，由上述可知，现实世界中的生物社会网络既不是完全规则的，也不是完全随机的。由于PSO 是一种模拟鸟群或鱼群的仿生学算法，开展基于小世界拓扑的PSO 是合理可行的。在文献 ［12］中，Kennedy进行了实验，发现一定数量的小世界随机化可以对PSO 算法的性能产生显著的影响。之后，一些基于小世界网络的PSO 变种相继被提出，包括 “网络结构PSO （NS－PSO）”［13］和 “小世界局部PSO （SWLPSO）”［14］。近年来，国内也对基于小世界拓扑的PSO 给予了充分的关注［15－17］。

本文，提出一种自适应小世界PSO 算法（adaptive small－world PSO，ASWPSO）。与以前的相关工作相比，其创新点在于：①使用一种 “单指导”的粒子学习机制；②采用一种细粒度的拓扑结构，单个粒子的不同维度可有不同的网络连接情况；③拓扑图中邻域大小K 和小世界网络因子P 基于群体的收敛状态在优化过程中自适应调整。

2 自适应小世界粒子群优化算法

ASWPSO 采用 “单指导”的粒子学习机制以及一种细粒度、自适应的小世界网络拓扑结构，以克服过去PSO 算法早熟收敛、抑或是搜索效率不足的缺陷。

2.1 小世界拓扑的生成

本文在WS小世界网络模型的基础上开发了一种新型的局部拓扑PSO 算法。最初，群体中每个粒子i连接K 个直接后继粒子 （i＋1），（i＋2），…，（i＋K），K 为每个节点的度数，亦即邻域规模 （neighborhood size）。然后，对每个粒子的每一条边，我们以一个概率P 将其重新连接至一个随机的粒子，这一过程称作小世界重置 （small－world randomization），P 即为小世界重置概率。此外，这个拓扑结构的新颖之处在于，它是基于维度的细粒度拓扑：对于粒子的每一个维度，上述的小世界网络产生过程执行一次。这样一来，PSO 为其种群的每个维度分配一个特定的拓扑网络。

在此细粒度拓扑结构的基础上，对于每个粒子i，生成一个邻域引导向量Neii＝ （neii1，neii2，…，neiiD），这个引导向量将在粒子更新时被使用，其中neiij是粒子i 在第j维拓扑网络中的当前引导粒子的索引，它可能来自：①i的K 个近邻；②小世界重置产生的随机邻居；③i本身。为简单起见，我们将算法中小世界网络的构建和邻域引导向量Neii的生成合并成一个单一的过程称为 “拓扑更新”。

本文提出的PSO拓扑更新过程的伪代码如图3所示：对于粒子的每一个维度，首先产生一个 （0，1）随机数r，如果r小于小世界重置概率P，neiij是从整个粒子群体中随机选择的一个粒子的索引；否则，在i的K 个近邻中随机产生一个粒子k，比较pBestk与pBesti，随后将neiij赋值为k和i中具有较好历史搜索经验信息的那个。这种操作的机制带来的优势将在下一小节中描述完粒子更新过程后详细分析。

2.2 粒子更新

传统上，全局和局部版本的PSO 算法分别采用式 （1）和式 （3）进行速度更新，随后采用式 （2）进行位置更新。每个粒子i都存在pBesti和gBest （或lBesti）两个引导向量。但这可能造成种群的震荡现象：如图4所示，当两种历史最优位置落于粒子当前位置Xi的两个相反方向时，粒子可能始终在pBesti和gBest（或lBesti）之间一个较差的区域徘徊。这造成个体评估的浪费以及算法搜索效率的低下。

图3 提出的ASWPSO算法中拓扑结构更新过程的伪代码

图4 传统更新机制下的粒子震荡

为了克服这一问题，本文采用了一种单指导学习机制，这种机制最早在全面学习PSO 算法 （fully informed particle swarm，FIPS）［18］中被提出，其核心思想是将pBesti和gBest （或lBesti）通过一定策略整合成一个向量来指导粒子更新，从而防止双指导作用下粒子的震荡。

在本文提出的ASWPSO 算法中，粒子i的第j 维速度更新过程定义为

式中：ω和c是惯性权重和加速系数，k＝neiij表示粒子i第j个维度的作用粒子，它通过2.1小节中描述的拓扑更新过程产生。随后粒子仍然采用式 （2）进行位置更新。为了使粒子平稳地搜索于一个有前景的方向，我们允许粒子在一定代数内采用一个不变的邻域引导向量直到粒子停滞。具体的实现方法是：对于粒子i，当且仅当它的最优位置pBesti停滞更新的代数si大于一个停滞阈值Sg 时，它才执行一次拓扑更新过程以生成一个新的邻域引导向量指导搜索。

不同于传统PSO 算法使用个体最优pBesti和整个群体的历史最优gBest （或邻域lBesti）更新粒子速度和位置，本文的算法通过构造一个基于小世界拓扑的邻域引导向量来指导搜索。根据该向量的生成过程，不难发现粒子的每一维在大多数情况下被其附近一个比较好的粒子 （包括其本身）引导，在其它时候，则以概率P 受到整个群体中的一个随机粒子的影响。这种粒子更新方式的优势总结如下：

（1）由于小世界重置概率P 一般都设置为一个较小的值，在大多数情况下，粒子都只受其K 近邻影响，从而允许不同的粒子邻域对空间进行并行搜索 （类似于传统局部版本的PSO，具有较高的集聚系数），有利于探索解空间的不同区域，提高算法局部寻优的能力，并且防止粒子群体在gBest的牵引下早熟收敛。

（2）通过引入小世界随机边，拓扑图的特征路径长度大大减少，粒子能与较远的粒子进行沟通，以一种 “弱联结 （weak tie）”的方式。尽管粒子通过 “强联结 （strong ties）”与近邻频繁进行互动，在邻域内共享的信息可能是有局限性的或过时的。相比之下，弱联结可以注入更加多样化的信息 （常常具有高信息熵），这非常有可能为小邻域里的粒子带来一种 “革新”，有助于算法跳出局部最优。同时，由于网络的特征路径长度的减小，粒子间具有更快的信息传播速度，整个粒子群体的收敛速度也能得到提高，从而有效克服传统局部版本PSO 搜索效率较低的问题。

（3）细粒度的拓扑结构允许粒子在不同维度向不同的邻居节点进行学习，从而避免了单个优秀邻居的过度统治。通过这种方式，整个群体中所有粒子的搜索信息能更充分地被使用。因此，相比传统的粗粒度PSO，本文提出的ASWPSO 具有更好的多样性和全局探索能力。

2.3 拓扑自适应机制

小世界网络拓扑结构的采用为算法引入了两个新的参数：邻域规模K 和小世界重置概率P。一方面，这降低了算法实际应用的简单性——需要事先设置参数；另一方面，对于不同的实际问题、甚至是同一问题的不同优化阶段，最适宜的参数设置可能不同，这将影响到算法的搜索性能。因此，不同于过去算法采用固定的K 和P，本文提出一种拓扑结构自适应机制，在算法对问题的求解过程中，根据群体的收敛状态动态、自适应地调整参数K 和P，使其满足不同优化问题在不同阶段的需求。本文提出的ASWPSO的拓扑结构自适应调整机制描述如下：

首先定义一个整个群体停滞系数Sc，为当前群体中所有粒子停滞代数的平均值除以阈值Sg

式中：N——种群规模，si——每个粒子i的停滞的代数。不难看出Sc反映了整个粒子群体的停滞状态，如果群体中没有粒子停滞，那么停滞系数Sc为最小值0；如果群体中所有粒子都严重停滞，Sc为1。基于Sc的值，参数K 和P根据如式 （6）和式 （7）自适应地调整，式 （6）和式 （7）的曲线被绘制在图5中

在图5 （a）可以观察到，随着Sc的增加，K 的值由2增长至7。这意味着，粒子群体停滞越严重，单个粒子的邻域越大。在这种情况下，粒子可以有一个更广阔的视野，并有可能因此跳出局部最优。根据式 （6），每个粒子被分配有特定的小世界重置概率Pi，这使得各个粒子的搜索习惯更具有多样性。另一方面，如图5 （b）中所示，随着停滞系数Sc的增加，从1到N 的每个粒子具有范围从0.05到0.2递增的P。这说明，群体停滞越严重，小世界重置的概率被加大。随机边的增加有助于带来革新的信息，从而拉动粒子小邻域跳出局部最优。

2.4 整体流程

在本文中，我们提出了一个具有自适应小世界拓扑结构的ASWPSO 算法，其流程如图6所示。除了传统粒子群优化算法的一般过程，每当一个粒子停滞到达Sg 代时，算法将进行一次拓扑更新操作。在操作中，一个基于小世界拓扑的邻域引导向量被构建，并在之后指导粒子进行搜索。并且，小世界拓扑中的参数K 和P 将根据整个粒子群体的停滞系数进行自适应调整。在下一章，我们将对提出的ASWPSO 算法进行实验分析与验证。

图5 邻域大小K 和小世界重置概率P 的调整曲线

3 实验研究

3.1 实验设置

在本文的实验中，13个具有不同特性的基准函数被用来测试ASWPSO的性能［19］。这些函数列在表1，其中f1至f5是单峰函数；f6是一个阶梯函数；f7是一个带噪声的4次函数；f8至f13的是具有很多局部最优值的多峰函数。图7是f8和f9两个多峰函数在二维环境下的解空间地形（landscape）示意图。

在ASWPSO 中，惯性权重ω 和加速系数c 分别设置为0.7298和1.49618，停滞阈值设置为Sg＝5。进一步我们将该算法与现有的两个PSO 变种进行比较：VNPSO 是采用规则冯诺依曼拓扑结构的PSO 算法，而DMS－PSO 在算法运行的前90%时间里使用完全随机的拓扑，并在后10%的时间里采用全局拓扑进行最终收敛［10］。这两个算法中的参数设置都依据对应的参考文献。

图6 ASWPSO 算法的流程

所有的算法都采用种群规模30和函数评估300 000进行测试，函数维度被设置为30。对于每个函数，都进行30次独立的实验，在相同情况下对DMS－PSO，VNPSO 和ASWPSO 的统计结果进行对比。

3.2 结果与比较

表2是由VNPSO，DMS－PSO 及本文提出的ASWPSO在13个标准测试函数上返回误差的平均值、最优值和标准差。可以观察到，ASWPSO 性能相比VNPSO 和DMS－PSO更为优秀。一方面，在优化单峰函数时，该算法可以获得比VNPSO 和DMS－PSO 更高的求解精度；另一方面，在优化多峰函数时，ASWPSO 相比其它两种算法具有更强的全局探索能力，能够找到更优秀的峰。

此外，我们还采用了非参数假设检验方法 “Wilcoxon秩和检验”［20］来对比不同算法求得结果之间的差异是否具有显著性的差别。在检验中，显著度α被设置为0.05。表3展示了ASWPSO 与VNPSO 和DMS－PSO 的显著性检验对比结果，可见在ASWPSO 在大多数函数上能够取得显著优秀的实验结果。

表1 标准测试函数

图7 两个多峰函数的解空间地形

表2 3种算法的结果统计及对比

表3 显著性检验结果

进一步用 “盒图”比较3种算法在多峰函数上的性能，如图8所示。该图生动地描绘了所得结果的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值和奇异点。由图8可以看出，对于多峰函数，ASWPSO 的结果都优于VNPSO 和DMS－PSO。图8还显示了该算法的鲁棒性，因为它可以始终在一个狭窄的误差范围内获得优秀的优化结果。

此外，在优化的单峰函数f1，f3，f5和多峰函数f8至f10的过程中3种算法的收敛曲线绘制在图9。该图清晰地表明，ASWPSO 收敛速度在3个算法中最快，从而获得最高的解精度。总的来说，通过使用自适应的小世界拓扑结构，本文提出的ASWPSO 不论从解精度、搜索效率、还是鲁棒性方面都是非常有竞争力的一个算法。

图8 3种算法在优化多峰函数时的盒图对比

3.3 参数调研

本文提出一种基于小世界网络拓扑的PSO 算法，其中，小世界网络的参数K 和P 在算法收敛过程中基于种群收敛状态自适应调整。此外，本文提出的ASWPSO 算法引入了一个新的参数，即停滞阈值Sg。从第2章算法描述部分可知，Sg 不仅影响着算法的搜索平稳程度，而且影响着小世界拓扑结构自适应调整的频率。本小节将对这一参数进行调研，研究在Sg＝3，5，7，10和15这5种情况下算法的性能，表4报告了它们在不同函数上所取得的结果的平均值；图10则以单峰函数f1和多峰函数f13为例分析不同参数设置下算法的收敛特征。

由表4和图10 发现，当Sg 取较小值 （Sg＝3）时，算法的求解精度较差，其在单峰函数f1上仅能获得10－26数量级的精度是5 种参数设置下最差的结果；另一方面，在优化多峰函数f13时，尽管没有陷入局部最优，但精度仍比Sg＝5时要差。因为当Sg 过小时，粒子将过于频繁地更换搜索的方向，造成粒子震荡、不能进行平稳地 “爬坡”，从而导致对峰值的逼近能力降低。因此推荐使用Sg≥5。

下面对比Sg≥5 时情况，由表4 和图10 不难发现，当Sg≥5时算法不论是算法的收敛速度还是全局寻优能力，都会随着Sg 的增加而降低。首先，当Sg 过大时，粒子的引导向量更新较慢，导致粒子可能一直沿着一个次优的方向进行搜索，从而降低了粒子群体的搜索效率和算法的收敛速度。其次，Sg 的增大同样带来了K 和P 这两个拓扑参数自适应调节带来的效果的滞后。前面分析到，根据种群的停滞状态调节K 和P 有助于种群跳出局部最优，因此，较大的Sg 设置使种群更易于陷入局部最优无法跳出。综上所述，我们建议ASWPSO 算法中的停滞阈值参数Sg 设置为5。

图9 3种算法的收敛曲线对比

图10 不同参数Sg 设置下ASWPSO 的收敛曲线

表4 不同参数Sg 设置下ASWPSO 的性能比较

4 结束语

本文提出一种自适应小世界拓扑粒子群优化算法（ASWPSO）。其中，每个粒子都与其最近邻紧密连接，且通过小世界随机化，粒子可能会随机重连到整个群体中的其它粒子。小世界随机连接过程中产生的长程边使得拓扑图的特征路径长度减小，从而改善整个群体的收敛速度。此外，使用了细粒度的拓扑结构，允许不同维度的粒子采用不同的小世界网络拓扑，这有助于粒子的搜索更加多样化，提高PSO全局寻优能力。在算法的执行过程中，小世界拓扑结构中的参数将根据整个粒子群体的停滞状态自适应地进行调整，通过这种方式，粒子群体搜索的有效性和效率得到提高。

在本文的实验部分，所提出的ASWPSO 算法在13个基准函数上进行了测试，其性能与使用规则拓扑结构的VNPSO和使用随机拓扑结构的DMS－PSO进行了比较。实验结果验证了所提出的自适应小世界拓扑的高效性和鲁棒性。

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