基于差分曲率的偏微分方程图像降噪算法

董婵婵，张 权，郝慧艳，张 芳，刘 祎，孙未雅，桂志国，2＋

（1.中北大学 电子测试技术国家重点实验室，山西 太原030051；2.中北大学 仪器科学与动态测试教育部重点实验室，山西 太原030051）

0 引 言

目前图像降噪的方法众多，如基于偏微分方程 （partial differential equation，PDE）的图像滤波法［1，2］、小波滤波法［3，4］、非局部均值 （nonlocal means，NL－means）滤波法［5］等。其中，基于PDE的图像降噪算法能够较好缓解降噪和边缘保留之间的矛盾，逐渐成为图像降噪领域的研究热点。自从Perona－Malik提出各项异性扩散模型 （P－M 模型），基于PDE 的图像降噪算法引起了人们的广泛关注。P－M 模型利用梯度检测边缘，而噪声的梯度有时比边缘的梯度大，这使得处理后的图像仍含有噪声点。Chao等［6］在P－M 模型的基础上增加了图像灰度方差的信息，可以进一步去除图像中灰度方差较小的噪声；为了克服TV 模型的“阶梯”效应，Chen等提出了基于差分曲率的自适应全变分降噪算法［7］，算法提出新的边缘检测算子函数，有效避免了TV 模型的 “阶梯”效应；陈强等将片相似性思想引入到各向异性扩扩散降噪模型中［8］，使处理后的图像在去除噪声的同时，保留了更多的细节；Guo等提出了基于变指数的自适应P－M 图像降噪模型［9］，在图像的内部区域采用热传导方程，在图像的边缘处采用P－M 方程。为了避免二阶PDE产生的 “阶梯”效应，学者们利用高阶PDE对高频噪声平滑速度更快的特点，提出了四阶PDE 图像降噪算法［10－13］，本文将参考文献 ［10，13］中的四阶PDE 模型，分别记为Mahammad模型和Boli模型。受文献 ［6，7］的启发，本文提出了一种改进的各项异性扩散图像降噪算法，该算法可以使处理后的图像在去除噪声的同时保留更多的细节特征，提高图像降噪的性能。本文对该算法进行了分析与研究，并通过实验验证了其有效性和可行性。

1 Chao和Tsai算法及其不足

传统P－M 模型的表达式为

式中：ct——扩散系数函数，其表达式为

传统P－M 模型仅利用梯度来控制模型的扩散速度，而图像中有些平坦区域的梯度与细节处的梯度相差无几，因此只用梯度来检测边缘时不够的。Chao和Tsai指出，图像背景区域的方差远小于图像边缘，对传统的P－M 模型做出了改进，提出了新的扩散系数函数，如下所示

式中：σ2t，N（x，y）——归一化方差，其表达式为

由于边缘处有较大的梯度值和方差，所以Chao和Tsai所提算法可以更好的区分边缘和背景，提高恢复图像的质量。

然而当图像含有噪声时，受噪声的影响，图像中有些背景区域的方差和弱边缘处的方差相差无几，甚至有些背景区域的方差比弱边缘处的方差稍大，如图1所示。

图1 含高斯噪声的lena图像

图1 （b）为中心坐标 （72，16），窗口大小 （3×3）的平坦区域的像素，图1 （c）为中心坐标 （143，56），窗口大小 （3×3）的细节区域的像素，其灰度值分别为

平坦区域的方差为：5.1966， 边缘处的方差为：2.2747。

对于上面的情况，若扩散强度不足，虽可以保留图像边缘，但方差大的背景区域的噪声去除不干净，会留有噪声点；若扩散程度过强，虽可以滤除背景区域的噪声，但同时会丢失图像的细节特征。因此，利用梯度和方差检测边缘的Chao和Tsai算法并不能很好的权衡噪声去除和细节保留之间的矛盾。

2 本文提出的算法

2.1 算法原理

文献 ［7］提出的差分曲率可以较好的区分细节和平坦区域、独立噪声，其表达式为

式中：Iηη和Iξξ——图像I在梯度方向和水平方向的二阶导数。梯度和切线方向的方向向量分别为

则

同理可得

其中

由式 （6）可知：在边缘处，｜Iηη｜较大，｜Iξξ｜较小，其差分曲率D 值较大；在平坦区域，｜Iηη｜和｜Iξξ｜都较小，所以D值较小；在独立噪声点处，｜Iηη｜和｜Iξξ｜都较大，且几乎相等，所以D 较小。因此根据差分曲率D值大小，可以很好的区分边缘和平坦区域、独立噪声点。

根据图1 （b）平坦区域和图1 （c）弱边缘的灰度值，由式 （7）～式 （11）计算其差分曲率：

平坦区域

弱边缘处

由上面的计算可知，即使在弱边缘处差分曲率的值也比平坦区域的值大，而由上节图1灰度方差的计算结果可知，灰度方差无法很好的区分弱边缘和噪声，即差分曲率区分弱边缘和平坦区域的能力优于灰度方差。因此，本文提出新的扩散系数函数如下

式中：dt，N——归一化差分曲率

此时，各项异性扩散方程为

2.2 算法步骤

（1）首先由式 （7）～式 （11）计算梯度方向和切线方向的二阶导数Iηη和Iξξ。

（2）将第一步计算的值带入式 （6），可计算出差分曲率D，并可由式 （13）得出归一化差分曲率。

（3）由表达式 （15）得到4个方向的梯度值。

（4）把第二步和第三步计算的值带入式 （12），得到扩散系数函数的值。

（5）最后依据表达式 （14）对图像进行处理。

（6）重复上述步骤 （1）～步骤 （5），直至得到较好的恢复图像I。

3 实验结果与分析

本文采用256×256的lena标准图像作为测试图像，图2为本算法与P－M 模型、TV 模型、Chao和Tsai模型的比较分析；为了更清晰的展示各模型降噪效果，图3给出了图2对应模型处理结果的局部放大图像；图3为本算法与LLT 模型、模型、模型的比较分析。

图2 （a）为lena原始图像，图2 （b）为加入方差为0.002的高斯噪声图像，图2 （c）～ （f）分别为经过P－M模型、TV 模型、Chao和Tsai模型以及本文提出模型的处理结果图像。图3为图2中各模型处理结果的局部放大图。与P－M 模型处理结果相比，Chao和Tsai所提模型处理图像的毛发的细节保留的更多，如图2 （c）和 （e）所示。由图2和图3中的图 （c）、（e）和 （f）可以看出，P－M 模型和Chao和Tsai模型处理后的图像均含有斑点噪声，且帽子上的细节纹理丢失较多，而本文算法处理后的图像帽子上的细节纹理很清晰，且不存在噪声点。由图3中各模型处理结果的局部放大图可以清晰的看出，图3 （f）与图3（c）、（d）和 （e）相比，本文算法处理后的lena图像帽檐上保留的细节纹理较多且清晰，从而提高了图像质量。

从图4可知，LLT 模型丢失了很多细节，图像较模糊；如图4 （d）所示，Bibo模型处理后的lena图像帽子上的纹理被平滑，也丢失了重要的细节信息，但与图4 （c）LLT模型相比，Bibo模型比传统的LLT 模型保留了更多边缘；将图4中的LLT 模型和Bibo模型与图4 （f）本文算法相比可以清晰的看出，本文算法处理后的图像保留了更多弱边缘和纹理等细节特征，如lena图像的头发和帽子上的褶皱纹理都比较清晰；图4 （f）与图4 （e）相比，虽然处理后的图像都保留了较多的边缘和细节，但Mohammad模型的计算较复杂，运算量较大。

为了对算法进行客观、定量的评价，本文采用较常用的

图2 本文算法与二阶PDE模型的处理结果

图3 本文算法与二阶PDE模型处理结果的局部放大图

图4 本文算法与四阶PDE模型的处理结果

信噪比、平均绝对误差、峰值信噪比来评价处理后图像的质量。这些参数的定义如下：

（1）信噪比 （signal to noise ratio，SNR）

式中：σ［f（x，y）］和σ［n（x，y）］——图像和噪声的标准方差。信噪比越高，图像的质量越好，噪声越少。

（2）峰值信噪比 （peak signal to noise ratio，PSNR）

PSNR是图像信噪比变化情况的统计平均，PSNR 值越大，图像失真越少。在8 位量化的灰度图像中，通常取Peak ＝255。

（3）平均绝对误差 （mean absolute error，MAE）

式中：M，N——图像大小，u0——原始图像，u——恢复图像。MAE——去噪后图像与原始图像之间的差异，MAE越小，去噪效果越好。

表1列出了本算法与其它算法的图像质量评估参数，由表1可以看出：本文提出算法与其它算法相比，信噪比SNR 和峰值信噪比PSNR 都较大，平均绝对误差MAE 较小。说明本算法处理后的图像质量较好，能够有效地去除噪声，并保留图像的边缘等重要细节特征。

表1 不同降噪算法处理后的质量评估参数

4 结束语

本文针对Chao和Tsai提出降噪模型的不足，构造出新的扩散系数函数，提出了改进的各项异性扩散模型。新的扩散系数函数可以更好的区分弱边缘、噪声点和平坦区域，进而算法可以在弱边缘、纹理等细节处减小平滑，在噪声点和平坦区域增强平滑。实验结果表明，本算法可以较好的权衡噪声去除和细节保留之间的矛盾，即可以在滤除噪声的同时，保留较多的弱边缘信息。从主观的视觉效果和客观的质量评价可以看出，算法的降噪效果优于Chao和Tsai提出模型、P－M 模型和TV模型、LLT模型、Bibo模型、Mohammad模型。因此，本文提出的算法对图像降噪有较好的效果，对图像进一步的处理与研究有一定的意义。

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