热声载荷下高温合金薄壁结构非线性动态响应特性

朱 林，王晓飞

（1.中国南方航空工业（集团）有限公司，株洲 412000；2.北京机电工程研究所，北京 100074）

0 引言

超声速/高超声速飞行器蒙皮在高强度气流脉动、尾喷管的喷气噪声作用下将承受巨大的压力载荷[1]；同时，会产生极高的气动热效应。热载荷与声载荷的联合作用带来了飞行器结构的热声疲劳问题[2]，对相关问题分析方法的需求日益迫切[3]。研究热声载荷下结构所产生的振动响应是分析热声疲劳的基础。文献[4-7]论述了均匀分布在矩形板中面上的热载荷与随机声载荷联合作用对结构振动的影响。

为研究近似实际情况的温度分布对结构振动的影响，本文首先给定了随坐标轴变化的热载荷函数[8-9]，进而推导出热声载荷下四边简支矩形板的Von-Karman 大挠度非线性偏微分方程；借助于边界条件，利用伽辽金方法将其转化为模态坐标系下的微分方程组，并对此方程组进行单自由度简化；对四边简支矩形板的平面温度分布以及薄板厚度方向温度梯度进行分析，分别给出了板的无量纲基频随热屈曲系数变化的曲线以及受薄板厚度方向温度梯度影响的势能变化曲线。然后，利用有限元法对屈曲前后和不同温度下四边简支矩形钛合金板进行了模态分析，计算其模态频率（即热模态），以及其在热声载荷下的动态位移与应力响应，得到三种振动类型；又从位移时域响应出发，将其转化为频域下的位移功率谱密度，分析了温度对基频的影响；并基于上述计算结果，对响应基频在不同温度下的变化趋势进行了对比分析。

1 薄板大挠度控制方程

对于各项同性结构，在考虑温度对结构影响的情况下，结构的应力-应变关系表示为

式中：α为结构材料的热膨胀系数；ΔT为薄板温度分布梯度；

薄板上任意一点的应变可由薄板中面的应变与位移表示为

其中，中面应变分量为

对方程(2)进行微分处理，可以将其转化为利用中面应变分量表示的变形协调方程

对方程(1)的3个应力分量沿薄板厚度方向进行积分，可以得到薄板内力与弯矩：

将中面应变代入其中，可分别得到面内力与弯矩的矩阵表达式：

其中：

而热内力与热弯矩可以表示为

薄膜矩阵A与弯曲刚度矩阵D可表示为

根据M,N及横向位移w，可以给出薄板的内力平衡方程：

其中：p即p(x,y,t)，为随时间变化的声压载荷。

引入应力函数ψ[1]，有

将方程(7)代入方程(6)可得到：

将方程(7)代入方程(4)可得到利用内力表示中面的方程，再代入变形协调方程(3)，最后得到用应力函数表示的变形协调方程为

方程(8)与方程(9)共同构成薄板大挠度控制方程。

2 用伽辽金法求解动态位移与应力

矩形简支板四边服从不可动边界条件：

矩形简支板的横向挠度可表示为

其中：qmn表示模态幅值；φmn=sin(mπx/Lx)·sin(mπy/Ly)，表示模态振型；m,n表示矩形板的半波数；Lx,Ly分别表示矩形板的长和宽。

对于温度场分布，可以设定温度函数ΔT(x,y,z)=T0(x,y)+zT1(x,y)，其中：T0=t0+tv(x,y)，且沿矩形板的中面分布；T1表示沿板厚度方向的温度梯度，tg(x,y)=hT1表示沿厚度方向的温度差。对于t0≠0 的情况，可以令tv=t0δvfv(x,y)，tg=t0δgfg(x,y)，其中δv,δg分别表示t0的比例因子，且t0δv,t0δg分别为tv,tg的幅值，则有ΔT=t0+t0δvfv(x,y)+t0δg(a/h)fg(x,y)，其中fv=fg= sin(mπx/Lx)sin(mπy/Ly)。矩形板四周常与具有支撑作 用的部件、散热装置等进行装配或约束，当薄板平均温度大于临界屈曲温度Tcr时，所引发的热应力会导致薄板结构失稳，发生屈曲现象。Tcr的表达式[4]为

为求解动态位移，应力函数可以写成特解与齐次解之和的形式，即ψ=ψp+ψh。对于各向同性结构，将式(11)代入变形协调方程(9)，可解出δv=0下的特解[9]

特解没有考虑δv≠0 时的影响，但在下列应力函数的齐次解中可给予考虑。

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由不可动边界条件(10)可知，c7=0；而根据方程(7)、(10)以及(11)，可以推导出c5,c6的表达式：

其中：c8=π2/8[(A*12)2-(A*11)2]；c9=t0(1+4δv/π2)；矩阵A*表示为

将方程(11)～方程(13)代入方程(8)，并可利用伽辽金方法将方程(8)转化为模态坐标下的方程[9]

其中：δm1δn1为第一阶(1,1)模态系数；ξmn为第(m,n)阶模态阻尼系数，由于篇幅所限，其立方项在文献[10]中给出；ωmn为无阻尼自由振动固有频率，ω2mn=(1/ρh){D11[(mπ/Lx)2+(nπ/Ly)2]2}；Θmn(A)=[(m/Lx)2+(n/Ly)2]× (A11+A12)α；Θmn(D)=[(m/Lx)2+ (n/Ly)2](D11+D12)α。压力pmn有

方程(14)中m,n的数值不同，因此可组成二阶常系数微分方程组。

3 温度场对薄板随机振动的影响分析

首先，对方程(14)进行单自由度简化，得到简支板的单自由度方程：

然后，根据方程(15)，忽略阻尼项、外载荷项及非线性项，可以计算出薄板的无量纲基频为[3]

温度场对薄板模态频率的改变主要是由薄板中面上温度分布所引起的。根据式(16)可以绘制出基频随热屈曲系数变化的曲线，如图1所示。屈曲前，无量纲基频随着热屈曲系数的增加而降低，屈曲后随着热屈曲系数的增加而升高。

图1 无量纲基频随热屈曲系数的变化过程 Fig.1 The variation of non-dimensional fundamental frequency against thermal deflection coefficient

最后，为了进一步讨论薄板厚度方向上温度梯度对薄板振动的影响，忽略方程(15)中的惯性项、阻尼项以及随机载荷项，可以得到由薄板平面温度分布及厚度方向上温度梯度共同作用所形成的势能方程[11]

根据方程(17)，取r=Ly/Lx=1，v=0.3，并且令薄板厚度方向温度梯度f0=0，可分别给出热屈曲系数s=0,5,10,15 的情况下矩形简支板的势能变化情况，如图2所示。从图2可以看出，矩形板的势能曲线随着温度的不同而具有不同的特性：当s=0 时，即矩形板屈曲前，势能曲线的最低点仅在初始平衡位置出现，表明屈曲前矩形板围绕初始平衡位置振动；当s增大到临界屈曲温度以后，势能曲线中的最低点不仅下降，而且出现在两个对称的位置上，说明屈曲后矩形板的振动存在两个平衡位置，且当随机激励达到一定程度，矩形板围绕两个位置作往复运动，当随机激励较小时，矩形板会围绕两个平衡位置中的一个振动；保持随机激励不变，随着s的继续增大，势能的最低点继续降低，而且两个对称平衡位置的间距逐渐扩大，即跳变频率下降[4]。

图2 无温度梯度下简支板势能 Fig.2 The potential energy of simply supported plate with no temperature gradient

图3和图4分别表明了矩形简支板在屈曲前、后，其厚度方向上的温度梯度对矩形板振动特性的影响。可以看出，由于温度梯度的存在导致势能曲线不对称。与图2相比，图3中矩形板屈曲前的势能曲线同样存在一个势能最低点，但是随温度梯度的增加，势能最低点向模态位移的正方向移动并下降；而图4中矩形板屈曲后的势能曲线出现两个平衡位置，随温度梯度的增加，势能曲线负位移对应的最低点向正方向移动并上升，而正位移所对应的势能最低点向正方向移动并下降。

图3 屈曲前简支板势能 Fig.3 The potential energy of simply supported plate in the pre-buckling state

图4 屈曲后简支板势能 Fig.4 The potential energy of simply supported plate in the post-buckling state

4 数值仿真与结果分析

给定钛合金板的几何参数及物理参数如表1所示，声压级选取为有限带宽高斯白噪声，截止频率为 0～1500 Hz，并假设高斯白噪声压力p(x,y,t)均匀分布在矩形板的表面[3,9,12]，利用有限元法对矩形薄板的热声问题进行数值仿真求解。

表1 材料参数 Table1 Material parameters

根据前述临界屈曲温度Tcr的计算公式，可求得第一阶临界屈曲温度为41.35 ℃。

首先，计算矩形板的振动模态，计算时考虑温度的影响，但只考虑矩形板的中面温度分布，而忽略了厚度方向温度梯度的影响。矩形板中面的温度分布为ΔT=t0+t0δvfv(x,y)+t0δg(a/h)fg(x,y)，根据单自由度方程(15)，可以认为中面温度分布使矩形板产生平面热应力，并在热应力作用下膨胀，最终结构刚度发生变化。因此，需通过平面温度分布情况讨论热声载荷下矩形板的振动特性。表2为此温度分布下计算出的矩形板屈曲前、后的模态频率。当中面温度幅值δv=0.2 时，由于t0δvfv(x,y)较小，可以近似认为，当t0≈Tcr时矩形板开始发生屈曲[9]。

表2 不同温度下的前5 阶模态频率 Table2 The first 5 order modal frequencies at different temperatures

然后，忽略矩形板厚度方向的温度梯度影响，仅计算相应平面温度分布下矩形板中心节点的动态位移与应力动态响应。图5～图9分别给出了定常声压级为160 dB，且δv=0.2 时，t0为0,17,41.35,55,72 ℃下矩形简支板的无量纲动态位移以及所对应的x方向动态应力。从图中可以看到，x方向应力响应的振动状态与其位移振动状态基本一致。从位移角度看，屈曲前，矩形板围绕初始平衡位置随机振动，但由于温度的上升致使矩形板振动挠度逐 渐加大；屈曲时，由于给定声压级较大，直接导致矩形板在两个屈曲平衡位置作持续跳变运动；屈曲后，由于声压级不变，温度升高致使矩形板从持续跳变转为间歇跳变，最后转为围绕屈曲后的一个平衡位置随机振动。

文献[4]论述了均匀分布在矩形板中面上的温度与声载荷共同作用下矩形简支板的动态响应。由于温度不同，在与声载荷的联合作用下，矩形板的振动同样出现上述几种特征。

图5 简支板中点动态响应（SPL=160 dB,t0=0 ℃） Fig.5 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=0 ℃)

图6 简支板中点动态响应（SPL=160 dB,t0=17 ℃） Fig.6 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=17 ℃)

图7 简支板中点动态响应（SPL=160 dB,t0=41.35 ℃） Fig.7 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=41.35 ℃)

图8 简支板中点动态响应（SPL=160 dB,t0=55 ℃） Fig.8 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=55 ℃)

图9 简支板中点动态响应（SPL=160 dB,t0=72 ℃） Fig.9 Dynamic response of mid-point of simply supported plate (SPL=160 dB,t0=72 ℃)

表3为上述定常声压级、不同温度下矩形板中心节点动态位移响应(w/h)的有效值与均值；表4为矩形板中心节点x向动态应力响应的有效值与均值。

表3 位移响应统计结果（SPL=160 dB,δv=0.2） Table3 Statistical results of displacement response (SPL=160 dB,δv=0.2)

表4 x 向应力响应统计结果（SPL=160 dB,δv=0.2） Table4 Statistical results of x-component stress response (SPL=160 dB,δv=0.2)

表2计算出了温度分别为0,17,41.35,55,72 ℃下四边简支矩形钛合金板的模态频率，表明不同温度下矩形板的模态频率不同。为了进一步探讨温度对频率的影响，本文结合文献[13]中振动响应谱的估算方法，给出矩形板在上述定常声压级、不同温度下的位移功率谱密度，如图10和图11所示。由图可知，屈曲前，矩形板共振基频随温度的升高而降低；屈曲时，下降到最小；而屈曲后，则随温度的升高而上升。这是由于屈曲前矩形板随温度的升高出现软化，导致结构刚度降低；而屈曲后矩形板随温度的升高开始硬化，导致结构刚度增加。矩形板共振基频随温度的变化趋势与图1中无量纲基频随热屈曲系数的变化趋势基本一致。

图10 位移功率谱密度（屈曲前） Fig.10 Displacement power spectrum density (pre-buckling)

5 结论

1）基于四边简支矩形钛合金板屈曲前后特定温度条件下的模态频率的计算结果，并结合无量纲基频随热屈曲系数变化的曲线，分析出温度对模态频率的影响：屈曲前，随温度的升高，模态频率下降，屈曲时降低到最小；屈曲后，随温度的升高，模态频率上升。这是一个明显的分叉行为，表明四边简支矩形板存在着稳定—失稳—再稳定的过程。

2）基于四边简支矩形钛合金板在定常声压级下热屈曲前、后的位移响应计算结果，总结出矩形板振动响应特征：屈曲前，矩形板围绕初始平衡位置随机振动，随着温度升高，振幅加大；屈曲后，在一定温度下矩形板在屈曲后的两个平衡位置作持续跳变与间歇跳变；当温度继续升高到一定程度，矩形板围绕屈曲后的一个平衡位置随机振动。

3）位移响应功率谱密度表明，屈曲前，矩形板基频随温度的升高而降低；屈曲后，矩形板的基频随着温度的升高而增加。矩形板的势能变化趋势表明，薄板厚度方向上的温度梯度使矩形板的势能曲线由对称变为不对称。

（References）

[1] Lee J.Large-amplitude plate vibration in an elevated thermal environment,WL-TR-92-3049[R].Wright Lab,Wright-Patterson AFB,1992

[2] Chilakamarri K B,Lee J.Thermal-acoustic fatigue damage accumulation model of random snap-throughs[C]//8thASCE Specialty Conference on Probabilistic Mechanics and Structural Reliability,2000: 216

[3] Mei C,Dhainaut J M.Nonlinear random response of composite panels in an elevated thermal environment[D].Norfolk,VA: Old Dominion University,2000

[4] Sha Y D,Gao Z J,Xu F.Influences of thermal loads on nonlinear response of thin-walled structures in thermo-acoustic environment[J].Applied Mechanics and Materials,2012,105-107: 220-226

[5] Sha Y D,Li J Y,Gao Z J.Dynamic response of pre/post buckled thin-walled structure under thermo-acoustic loading[J].Applied Mechanics and Materials,2011,80-81: 536-541

[6] Sha Y D,Gao Z J,Xu F,et al.Influence of thermal loading on the dynamic response of thin-walled structure under thermo-acoustic loading[J].Advanced Engineering Forum,2011,2-3: 876-881

[7] Sha Y D,Wei J,Gao Z J.Nonlinear response and fatigue life prediction of thin-walled structures under thermo- acoustic loadings[J].Applied Mechanics and Materials,2012,157-158: 1204-1211

[8] Ko W L,Gong L.Thermostructural analysis of unconventional wing structures of a hyper-X hypersonic flight research vehicle for the Mach 7 mission,NASA/TP-2001-210398[R],2001

[9] Lee J,Vaicaitis R.Prediction of statistical dynamics of thermally buckled composite panals[C]//39thAIAA/ASME/ ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference and Exhibit,2012

[10] Kavallieratos P,Vaicaitis R.Nonlinear response of composite panels of high speed aircraft[J].Composite Engineering,1993,3(7/8): 645-660

[11] Shukla A,Gordon R W,Hollkamp J J.Nonlinear dynamics of a post-buckled beam: a parametric space investigation[C]//IMAC-XXV: Conference ＆Exposition on Structral Dynamics,2007

[12] Sha Y D,Xu F,Gao Z J.Nonlinear response of carbon-carbon composite panels subjected to thermal-acoustic loadings[J].Applied Mechanics and Materials,2012,117-119: 876-881

[13] 沙云东,闻邦椿,屈伸.薄壁板在随机声载荷作用下的振动响应谱估算[J].振动与冲击,2007,26(6): 63-66 Sha Yundong,Wen Bangchun,Qu Shen.Estimation of dynamic response spectrum of thin plate under random acoustic load[J].Journal of Vibration and Shock,2007,26(6): 63-66