功率方程在动力学问题中的应用

赵 巍

（唐山学院基础教学部，河北 唐山 063000）

0 引言

在理论力学中，求解由多个刚体组成的质点系统的动力学问题是一项重要的内容，特别是求解质点系统中某个刚体的加速度（或角加速度）问题。

目前，在学时缩减的情况下，理论力学的动力学篇通常只能讲授动量定理、动量矩定理和动能定理，而动力学普遍方程和拉格朗日方程基本不再讲述。因此，求解由多个刚体组成的质点系统中某个刚体的加速度（或角加速度）时通常采用动能定理。

即采用动能定理的积分形式求解，解题步骤如下[1]：选取某质点系作为研究对象；选定应用动能定理的一段过程；分析质点系的运动、计算选定过程起点和终点的动能；分析作用于质点系的力、计算各力在选定过程中所作的功；应用动能定理建立方程。最后，还需要将方程两端同时对时间求导数，才能解出加速度（或角加速度）。

以上方法是要求学生应掌握的基本方法，但显得不够简便。因为在应用动能定理的积分形式时，是对一段运动过程进行分析的，所以需要计算系统中各个物体在该段运动过程中动能的改变量，即需要计算起点和终点的动能。此外，还需要计算力的功，而功也是力在一段路程上对物体累积作用效应的度量。因此必须取一段有限路程来计算，有时甚至是对某一质点系统在假设的一段路程上进行分析，这要求系统中其他各物体在满足约束条件下相应各自地移动一段位移，从而才能计算各力的功之和。这样做，无形中增加了计算的工作量和解题的难度。当遇到只需要求解某瞬时系统中某个刚体的加速度问题时，采用动能定理的积分形式就很不方便。怎样才能更简捷些呢？采用功率方程即可达到简洁、快速地解题。

1 功率方程的应用及解题示例

功率方程建立了质点系统的动能变化率与功率之间的关系。动能与速度有关，其变化率含有加速度项，因而功率方程就直接给出了系统的加速度与作用力之间的关系。以质点系统运动瞬时动能的计算代替一段有限运动过程中动能的变化计算，以力的瞬时功率的计算代替力在一段路程上功的计算，这些瞬时效应的计算要比累积效应的计算简单。

同时，功率方程的应用也加深了对机械功率的理解，明确机械的启动功率的计算和稳定运转时功率的计算都是和质点系统的动能变化有关系。

采用功率方程的解题步骤如下：选取某质点系作为研究对象；计算系统某瞬时的动能；计算该瞬时作用上在系统上的所有力的功率的代数和；代入功率方程即可求解出加速度（或角加速度）。下面举一例题说明。

均质细杆AB 长为l，质量为m，由直立位置开始滑动，上端A 沿墙壁向下滑，下端B 沿地板向右滑，不计摩擦。求细杆在任一位置φ时的角加速度α。

解：研究杆AB，受力情况如图1示。

图1

杆作平面运动P 为速度瞬心，设角速度为ω，角加速度为α，质心速度为

系统动能：

A、B 为理想约束，只有重力的瞬时功率。

代入功率方程：

2 结语

可以看出由于省略了取一段有限运动路程的步骤，不需要知道初位置系统的初始状态，不必分析质点系的运动来计算起点和终点的动能，也不必计算各力的功之和。只需要计算刚体系统的瞬时动能和力的瞬时功率，应用功率方程求解刚体的加速度很是简捷。特别是针对由多个刚体组成的质点系统，由于只计算力的瞬时功率，避免了还需考虑系统中各物体在满足约束条件下相应各自地移动一段位移才能计算各力的功之和的繁琐过程。因此，从物理意义上讲功率方程比采用积分形式两端再求导运算更为直接。

此外，采用功率方程在求解系统运动初速度为零时刚体的加速度就更具有优势。因为虽然初速度为零，但速度变化率不为零，求瞬时速度变化率仍可应用功率方程来解。总之，在动力学问题中采用功率方程可以更简捷地求解刚体的加速度。

［1］哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(Ⅰ)第六版[M].北京：高等教育出版社，2002：297-298.