对2015年高考物理压轴题的拓展分析

叶广新

2015年高考理综全国卷1第35题，是有关3个物体相继碰撞的物理部分压轴题，它涉及中学物理主干知识“动量守恒”、“机械能守恒”，且需要运用不等式、判别式、二次函数及其图象等数学知识求解，是注重物理情景巧用物理规律妙用数学方法去解决实际问题的好题，既体现新课标思想、又锤炼物理思维，是一道数理结合且具有较高选拔功能的创新题.若对原题稍稍进行拓展，则会出现更上一层楼的景象.

原题（2015全国卷1）如图1，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间.A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态.现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞.设物体间的碰撞都是弹性的.

拓展题如图1，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间.A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态.现使A以某一速度向右运动，求A与B、C发生碰撞的可能次数，并求出相应碰撞中m和M之间所满足的条件.设物体间的碰撞都是弹性的.

分析与解A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒.设速度方向向右为正，开始时A的速度为v0，第一次碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1.由动量守恒定律和机械能守恒定律得：

mv0=mvA1+MvC1 ①

12mv20=12mv2A1+12Mv2C1 ②

联立①、②得：

vA1=m-Mm+Mv0③

vC1=2mm+Mv0 ④

由③式可知，若m>M，则第一次碰撞后，vA1为正值，表示A与C速度同向（向右），再将vA1的值与vC1相比较，易判断A的速度小于C的速度，故A不可能与B发生碰撞；若m=M，则有vA1=0，vC1=v0，表示A与C第一次碰撞后A停止，C以A碰前的速度向右运动，同样A不可能与B发生碰撞.

结论一当m≥M时，A与C碰撞1次，A与B碰撞零次.

当m

vA2=m-Mm+MvA1=（m-Mm+M）2v0 ⑤

vB1=2mm+MvA1=2mm+M·m-Mm+Mv0 ⑥

当vA2≤vC1时，A赶不上C，A与C不可能发生第二次碰撞，即：

（m-Mm+M）2v0≤2mm+Mv0

整理得：m2+4Mm-M2≥0

解得：（5-2）M≤m （质量不可能为负值，所以另一解已舍去）

结合上述A与B碰撞的必要条件m

（5-2）M≤m

结论二当（5-2）M≤m

要使A与C发生第二次碰撞，则必须满足vA2>vC1，即：

（m-Mm+M）2v0>2mm+Mv0

整理得： m2+4Mm-M2<0

解得：-（5-2）M

考虑到质量不可能为负值，故将⑦式修改为：

0

（这是A与C发生第二次碰撞的条件） A与C发生第二次碰撞后，设A的速度为vA3，C的速度为vC2，则有：

vA3=m-Mm+MvA2=（m-Mm+M）3v0

vC2=2mm+MvA2=2mm+M（m-Mm+M）2v0

要使A与B发生第二次碰撞，必须满足vA3>vB1，即：

（m-Mm+M）3v0>2mm+M·m-Mm+Mv0

整理得： m2+4Mm-M2>0，解得：m>（5-2）M ⑨

（另一解为负值不合题意，已舍去）

只有满足A与C第二次碰撞之后，才可能发生A与B的第二次碰撞.⑨式表示A与B发生第二次碰撞的条件，但这一条件跟⑧式（A与C发生第二次碰撞的条件）相矛盾，说明A与B不可能发生第二次碰撞.

结论三当0

（收稿日期：2015-06-20）