以选择题为例略谈立体几何基本解题方法

纪宏伟

立体几何是在初中学习平面几何的基础上，进一步研究空间图形中点、线、面之间的关系，包括性质、计算及应用等等，是培养空间想象能力，逻辑推理能力以及数学思想的重要载体.立体几何选择题与数学其它选择题一样，具有思辨性强、知识面广、切入点多等特点，但是又有其自身鲜明的特色和独有的魅力.掌握好解答立体几何选择题的基本方法、技巧和策略，对于提高学生解决问题的能力，发展学生数学思维有着重要的现实意义.

1.基本面法

以基本面为研究平台来解决空间图形问题的方法，称为基本面法.当把已知量和未知量集中转移到某个平面（即基本面），或者把已知量和未知量比较集中的平面作为基本面，把其它量看成是这个基本面的相关量时，就使问题研究有了依托，使问题的解决有工具可寻，从而大大降低了论证的难度.

例1如图1，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面

BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（ ）.

A.[1，52]B.[324，52]

C.[52，2]D.[2，3]

解析取B1C1的中点M，BB1的中点N，连结A1M、A1N、MN，容易证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1M=A1N=52，所以当点P位于M、N处时，A1P最大，当P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O=（52）2-（24）2=324，即324≤A1P≤52.故选B.

点评把空间问题转化为平面问题来解决，是立体几何中的重要思想方法.本题抓住平面A1MN为基本面，将题目中的条件进行恰当地转移，使之相对集中在该面上，从而把空间问题转化为平面问题，有效降低了解题的难度.

2.折展法

将空间图形平展成平面图形，或者将平面图形翻折成空间图形，在翻、展的过程中通过对图形中各种元素的变化与不变量的研究，使得空间图形的有关问题得以解决，称为折展法.折展法体现了平面与空间的相互转化，是训练学生空间想象能力的极好素材.

例2如图2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为（ ）.

A.43 B.45

C.52 D.53

解析如图3，将直角三角形A1C1P绕PC1旋转（A1→D），使该三角形与侧面BCC1B1共面，则 CP+PA1的最小值即为CD的长度.注意到，∠CC1B=45°，∠A1C1B=90°，故∠CC1D=135°，由余弦定理可得CD=52.选C.

点评本题也可以连接A1B，将△CBC1绕BC1旋转（C→D），使该三角形与△A1BC1在同一个平面内，连接A1D，图4，则A1D的长度就是所求的最小值，同理可得A1D=52.解决这种问题的关键是必须判断在翻折前后哪些元素的位置关系或数量关系没有发生变化，特别是要检查在翻折过程中相关元素与折痕的位置关系以及相关元素在翻折前的位置与翻折后的位置情况.

3.构造法

明确几何体的结构特征，联想熟知的数学模型，通过恰当地构造空间图形，架起一座连接条件和结论的桥梁，将原问题化归为一个等价的较易解决的问题，这种方法就是构造法.构造法体现了转化与变换的数学思想，也是整体化解题策略的体现.

例3已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）.

A.233 B.433 C.23 D.833

图5解析由题意知AB与CD为异面直线且处于球心O两侧，分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，并构造如图5所示的长方体，设长方体的底面边长分别为a、b，体积为V，两个圆面之间的高度易得23，则VA-BCD=13V=13ab·23=233ab，又由a2+b2=4≥2ab得ab≤2，则VA-BCD≤433，故选B.

点评本题巧妙地将AB、CD转化到上、下两个矩形的对角线上，从而构造长方体，体现数学图形的构造与转化.对于相似的构造，我们常将正四面体转化到正方体中去求解，可以起到事半功倍的效果.

4.割补法

把一个复杂的图形分割成几个简单图形，或把不易求解的图形分割成易于求解的若干图形，对一个空间图形进行补形，使之补形后成为一个熟知的、易求解的几何体，以便于求解，称为割补法.其中对几何体进行补形，本质上也是一种构造法.

例4平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1垂直于三角形B1AC所在的平面，BD1=a，△B1AC的面积为S，则平行六面体的体积是（ ）.

A.12aSB.13aSC.49aSD.23aS

解析如图6，只要连结A1C1、AC1，便不难得知平行六面体ABCD-A1B1C1D1被分割成6个与三棱锥B-ACB1等体积的三棱锥.设BD1与面B1AC交于K，则显然B1、K与平行四边形ABCD对角线的交点三点共线，且

BKKD1=12，即BK=a3.又因为BD1⊥平面B1AC，所以VB-ACB1=13S·13a=19aS，从而得平行六面体的体积V=23aS.选D.

点评“割”的指导思想是：化陌生为熟悉，化繁杂为简单.本例将平行六面体切割成三棱锥进行相关计算，使体积的计算大为简捷，解答的效率大为提高.

例5三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，斜边AB=10，侧面PAB和PAC都垂直于底面，它们所成的二面角是30°，侧面PBC和底面成60°角，则三棱锥相对棱AC和PB间的距离为（ ）.

A.3102B.433C.563D.73

解析根据已知条件，可将三棱锥补成如图7所示的长方体ACBD-PC′B′D′，则∠BAC=30°，∠PCA=60° .显然，AC∥平面PC′BD，故AC与PB间的距离即为AC到平面PC′BD的距离，亦即C点到平面PC′BD的距离.注意到平面PC′BD⊥平面B′C，故过点C作CM⊥BC′，于是CM⊥平面PC′BD，所以所求距离又转化为C到BC′的距离.在直角三角形ABC中，得BC=5，AC=53；在直角三角形PAC中，得PA=CC′=15.在直角三角形BCC′中，BC′=BC2+CC′2=510，则CM=BC·CC′BC′

=3102.选A.

点评分割和补形是对立的统一，其目的都是为了简单化、直观化.相对于熟知几何体的某些缺失，本例将所求几何体适当的补形，使其补形后成为一个易于计算和观察的长方体，从而使思维的抽象性大大降低，推理和计算的难度大大减少.

5.等积法

在保持几何体体积不变的前提下，通过变换几何体的顶点和底面的位置达到解题目的的方法，称为等积法.常用的等积变换有三棱锥等积变换和平行六面体等积变换.

例6如图8，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E为CC1的中点，O为下底面正方形的中心，则三棱锥O-A1B1E的体积是（ ）.

A.12B.16

C.20D.24

解析作OM∥A1B1，交BC于M，则OM∥平面A1B1E，所以VO-A1B1E=VM-A1B1E=VA-MEB1=13×4×S△MEB1=13×4×（4×8-12×8×2-12×4×2-12×4×4）=16.

点评本例作出OM∥A1B1，可谓“明修栈道，暗渡陈仓”，把求VO-A1B1E的问题利用等积变换为求VA-MEB1，大大缩短了思考的过程.

6.函数方程法

通过设未知量，列方程或建立函数关系将立体几何问题转化为方程问题或函数问题来研究，称为函数方程法.

例7一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱ABC-A1B1C1的三条侧棱上，已知正三棱柱底面边长为2，则该三角形斜边长是（ ）.

A.3 B.22 C.23 D.32

解析如图9，等腰直角三角形CDE的三个顶点在正三棱柱ABC-A1B1C1的三条侧棱上（直角顶点为D），过D作DF⊥AA1，垂足为F，显然，直角三角形EFD与直角三角形DBC全等.设BD=x，则AE=2x，在直角三角形DBC中，DC2=4+x2，在直角三角形EAC中，EC2=4x2+4，由EC2=2DC2，得4x2+4=2（4+x2），解得x=2，从

而EC=23.

故选C.

点评函数方程法解决立体几何的最大特点是将形的问题转化为数的问题来研究，其中，列出方程进行计算，多用于判断几何元素之间的位置关系和数量关系，而建立目标函数，多见于解决立体几何中的最值问题.

7.特例法

运用满足题设的某些特殊点、特殊位置、特殊图形等对各选项进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选择真伪的方法，称为特例法.

例8已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ）.

A.b≤c≤aB.a≤c≤b

C.c≤a≤bD.c≤b≤a

解析在如图10所示的单位正方体中，上、下底面分别记为α、β，直线m即AD1，直线n即BD，显然

点A、B之间的距离为a=3，点A到直线n的距离为b=2，直线m和n的距离为c=1，则c

点评本题利用特殊位置加以分析求解，简洁明了，特例法对巧解“秒杀”选择题，往往能起到事半功倍的作用.

8.极限法

立体几何选择题中有一些任意选取或者变化的元素，对这些元素趋向于某个极限问题或变化到某个极端位置的状况进行估算，并以此估算为基础，判断选择的结果.这种通过动态变化，通过极端取值的方法称为极限法.

例9设三棱锥的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，它们中的最大一个为S，记λ=S1+S2+S3+S4S，则λ一定满足（ ）.

A.2<λ≤4B.3<λ≤4

C.2.5<λ≤3.5D.3.5≤λ<5.5

解析首先考虑一个特殊情形：当三棱锥是一个正四面体时，四个面的面积相等，则S1=S2=S3=S4，这时λ=S1+S2+S3+S4S=4.再考虑一个极限情形，设S1、S2、S3、S4中S4最大，即S4=S，若面积为S所对应的高h→0，这时有S1+S2+S3→S，此时λ=S1+S2+S3+S4S→S+SS=2，由以上可知，2<λ≤4.

故选A.

点评在立体几何中对一些判断范围型题目，恰当运用极端位置或极限思想，能较迅速解决问题，功效十分奇特.

（收稿日期：2015-07-14）