浅谈物理中的光学原理在高中数学中的应用

王世勇

在物理学中运用数学知识屡见不鲜，无论是从最基础的数学的运算的应用，还是到物理竞赛中使用数学的微积分.数学知识始终贯穿着物理学，是整个物理学的重要工具.但在高中数学中也有几个知识点运用到了物理知识讲解更为清晰、明了.例如镜面反射在高中数学中就有着其独特的应用.利用镜面反射的对称性可以求最值问题以及巧解部分问题.

案例一条光线从点A（-2，3）射出，经x轴反射后，反射光线经过点B（3，2），则反射光线所在的直线方程为 .

分析如图1所示，光线是从点A（-2，3）发出，利用镜面反射可看成光是由点A（-2，3）关于x轴的对称点A′（-2，-3）（A的像）发出的，要求反射光线只要求A′B的直线方程即可.

解析依题意知，A′（-2，-3）在反射光线上，反射光线经过点B（3，2），

∴反射光线l的斜率k=2-（-3）3-（-2）=1.又l经过点B（3，2），

由点斜式得反射光线l的方程为：y-2=x-3，

整理得：y=x-1.故答案为：y=x-1.

变式1已知点A（-2，3）、B（3，2）在x轴上找一点M，使得MA+MB的值最小.

解析本题同样可以利用镜面反射， 找点A（-2，3）关于x轴的对称点A′（-2，-3）（A的像），则MA=MA′，所以MA+MB=MA′+MB，要求MA+MB的最小值，即求MA′+MB的最小值，显然当A′、M、B三点共线时，取最小值.M点即为直线A′ B与x轴的交点.由上题可知直线A′ B为：y=x-1.令y=0，则x=1，故M（1，0）.

此题也可以以下列形式出现：求函数f（x）=（x+2）2+9+（x-3）2+4的值域.

先利用几何法将其看成x轴上找一动点到两定点A（-2，3）、B（3，2）的距离之和，再用上式求解.

应用1一条光线从点A（-2，3）射出，经x轴反射后与圆C（x-3）2+（y-2）2=1相切，求反射光线的方程.

分析由镜面反射可知光线可看成由点A（-2，3）关于x轴的对称点A′（-2，-3）（A的像）发出的，要求反射光线只要过A′点作圆C的切线即可.

解析点A（-2，3）关于x轴的对称点为A′（-2，-3），设过点A′（-2，-3）与圆相切的直线的斜率为k（当直线斜率不存在时，

此时圆心C（3，2）到直线x=-2的距离d=5>1，不能相切）.因此方程可设为y+3=k（x+2）

，则d=|3k-2+2k-3|k2+12=1解得k2+1=25k2-50k+25，

即12k2-25k+12=0，（3k-4）（4k-3）=0，

则k=43或k=34，故所求直线为4x-3y-1=0或3x-4y-6=0.

此题用镜面反射的对称性使问题大大减少了运算量.

应用2如图2所示，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程.

分析由题意可知点R为QF2的中点，|OR|=12|QF1|，而|QF1|=

|F1P|+|PQ|，

再利用光学原理，点Q关于∠F1PF2的外角平分线l的对称点为F2，

所以|PQ|=|PF2|，此时再次利用椭圆的定义|QF1|=|F1P|+|PF2|=2a.

解析∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，

∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|

又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，

设存在R（x0，y0），Q（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0）.

|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a，

则（x1+c）2+y21=（2a）2.又x1=2x0-c，y1=2y0.

∴（2x0）2+（2y0）2=（2a）2，∴x20+y20=a2.

故R的轨迹方程为：x2+y2=a2（y≠0）

在高中数学中还有很多的物理知识的应用，比如电路的串联与并联与逻辑的或命题与且命题的真假关系等，值得我们去发现与研究.

（收稿日期：2015-07-12）