换元的十种方式

赵建勋

换元是中学数学中常用数学方法.通过换元可以降低难度，简化运算.换元的关键是选择换元对象，确定换元方式.常用的换元方式有以下十种.

一、取相同部分换元

例1设对所有实数x，不等式

x2log24（a+1）a+2

xlog22aa+1+

log2（a+1）24a2>0恒成立，求实数a的取值范围.

分析考察不等式中对数式的类似结构，可考虑换元.

解设t=log2a+12a，则原不等式等价于不等式（3+t）x2-2tx+2t>0对一切x∈R恒成立，而这又等价于3+t>0，（-2t）2-4（3+t）·2t<0，解得t>0.

于是log2a+12a>0，得

a+12a>1.

解此分式不等式，得0

二、相反数换元

例2已知af（2x-3）+bf（3-2x）=2x（a2≠b2），求f（x）的表达式.

分析2x-3与3-2x互为相反数，若设其中一个为t，则另一个为-t，代入已知条件可得含f（t）及f（-t）的式子，可先求f（t）.

解令2x-3=t，则3-2x=-t，x=

t+32，

∴af（t）+bf（-t）=t+3.①

在上式中以-t代t得

bf（t）+af（-t）=-t+3②

①×a-②×b，得

（a2-b2）f（t）=at+3a+bt-3b.

∵a2-b2≠0

∴f（t）=（a+b）t+3（a-b）a2-b2=ta-b+3a+b

∴f（x）=xa-b+3a+b.

三、倒数换元

例3解方程（4+15）x+（4-15）x=8

分析4+15·4-15=1，∴（4+15）x与（4-15）x互为倒数.

解设（4+15）x=t，则（4-15）x=1t，于是原方程化为t+1t-8=0，即t2-8t+1=0，解得t=4±15.

当（4+15）x=

4+15时，x=2；

当（4+15）x=4-

15时，x=-2.

点评解此题用了互为倒数的两数的特点，巧用了这一特点换元，使问题得解，值得一学.

四、设比值换元

例4设x、y、z有关系x-1=

y+12=z-23，试求w=x2+y2+z2的最小值，且求出此时x、y、z的值.

解令x-11=y+12=z-23=k，则x-1=k，y+1=2k，z-2=3k，即x=k+1，y=2k-1，z=3k+2.

∴w=x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14（k+514）2+4314.

故当k=-514，即x=914，y=-157，z=1314时w取最小值4314.

五、代数换元

例5求函数f（x）=（a+sinx）（a+cosx）（a>0，0≤x≤π2）的最小值.

解y=sinx·cosx+a（sinx+cosx）+a2

设t=sinx+cosx，两边平方解得t2-12=sinxcosx

∴y=t2-12+at+a2=t2+2at2+a2-12=（t+a）22+a2-12

由0≤x≤π2知π4≤x+π4≤3π4.

而t=sinx+cosx=2sin（x+π4）

12≤sin（x+π4）≤1

∴1≤2sin（x+π4）≤2

∴1≤t≤2

当t=1，即sin（x+π4）=22，x=0时，函数f（x）取得最小值a2+a.

六、三角换元

例6求函数y=1+x-x的最值.

解函数的定义域为[0，+∞）.

令x=cot2θ，θ∈（0，π2]，则1+x=1+cot2θ=csc2θ.∴原函数转化为

y=csc2θ-cot2θ=cscθ-cotθ=1sinθ-cosθsinθ=1-cosθsinθ=tanθ2.

∵0<θ≤π2，∴0<θ2≤π4，∴0

∴ymax=1，但没有最小值.

例7已知锐角α、β满足条件

sin4αcos2β+

cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.

分析注意到已知条件满足公式sin2α+cos2α=1，可进行三角代换，即可换元.

证明由已知可设

sin2αcosβ=cosθ，

cos2αsinβ=sinθ，则sin2α=cosθ·cosβ，cos2α=sinθ·sinβ

上两式相加，得

sin2α+cos2α=cosθ·cosβ+sinθ·sinβ=1

∴cos（θ-β）=1，

∴θ-β=2kπ（k∈Z）

∴θ=2πk+β（k∈Z）

∴sin2α=cosβcosθ=cos2β，

cos2α=sinθ·sinβ=sin2β

∵α、β为锐角，

∴sinα=cosβ=sin（π2-β），

∴α=π2-β，即α+β=π2.

点评三角代换既可解代数题，又可解三角题，关键是抓特点，引进三角函数.

七、增量换元法

例8已知a>b>c，求证1a-b+1b-c+1c-a>0.