一道“力电磁综合题”几乎“全军覆没”，ぴ因何在？

王俊　陈穆

高三复习到电磁感应这部分内容时，在一次练习中有一道“力电磁综合选择题”，学生解题结果出现惊人的一致性错误，全班几乎“全军覆没”.通过与学生进一步深入交流、讨论，笔者发现他们的解法看似有一定的道理，却有着很深刻的隐蔽性错误，现一一分析如下：

图1

原题呈现 如图1，矩形裸导线框abcd的长边长度为2L，短边的长度为L，在两短边上均接有电阻R，其余部分电阻不计.导线框一长边与x轴重合，左边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B.一质量为m、电阻也为R的光滑导体棒MN与短边平行且与长边接触良好.开始时导体棒静止于x=0处，从t=0时刻起，导体棒MN在沿x轴正方向的一拉力作用下，从x=0处匀加速运动到x=2L处.则导体棒MN从x=0处运动到x=2L处的过程中通过导体棒的电量为（ ）.

A. 8BL2 3R B. 4BL2 3R C. 2BL2 3R B. 2BL2 R

学生解法 因为导体棒MN将矩形线框分成MNab与MNcb两个回路，那么通过MN棒上的电量即为两个回路产生的电流分别通过导体棒MN电量之和，由法拉第电磁感应定律E= Δ Δt 且根据回路左右的对称性得：

Q=2q=2I =2 Δ Δt · 1 2R ·Δt=2 Δ 2R = 2BL×2L 2R = 2BL2 R

因此，得出错误答案D.这就是几乎所有学生得出的惊人一致的错误结果.

错解分析 依据感应电动势产生的机理可知，电磁感应可分为动生电磁感应和感生电磁感应，动生电动势和感生电动势统称为感应电动势.此题中，导体棒MN做切割磁感线运动，其实是动生感应产生的电动势，其产生电动势的本质是：作用在导体棒内部电荷上的洛仑兹力充当“搬迁”电荷的非静电力（严格意义上讲是洛仑兹力的一个沿棒的分力）.如果将导体棒左右回路作为两个因磁通量变化而产生的电动势就不是洛仑兹力“搬迁”的结果而是变化的磁通量产生涡旋电场形成感应电动势及感应电流.但这两种情况往往也是互通等效，结果总是统一的.因此，要正确解决这一问题，我们应该从这上述两个角度去分析.

图2

正确解法1 从导体棒切割磁感线产生动生电动势角度分析：导体棒MN匀加速切割磁感线产生感应电动势，相当于电源接入电路（如图2所示的等效电路）.而棒从静止以加速度a由左端匀加速到右端，则导体棒MN从x=0处运动到x=2L处的过程中在此过程中的平均速度v = 0+v 2 ，通过棒的电量等于平均电流与时间的乘积，即Q=I ·t，其中，I = BLv R总 = BL 0+v 2 3R 2 = BLv 3R ，而t= 2L 0+v 2 = 4L v ，

v为导体棒达到右端的速度， BLv 为导体棒整个运动过程中的平均动生电动势，最终得出结论：

Q=I ·t= BLv 3R · 4L v = 4BL2 3R

这就是正确答案B.

正确解法2 从感生电动势产生的机理来分析：

则应该将MadN与MbcN看成两个独立的回路，当导体棒MN做匀加速运动过程中，MadN的磁通量减小，MbcN的磁通量增大，那么这两个独立回路所产生的感生电流方向如图3所示，它们产生的原因，可以将导体棒MN产生的电动势等效为两个电源的并联结果，即图3中的虚线框部分，两电源分别与左右两电路构成回路，注意由于棒MN的电阻为R，那么等效为两个并联电源的内阻应分别为2R，通过棒MN上的电量则应该是通过两回路中的电量之和，即： Q=Q左+Q右=2Q左=2×I左t=2× BLv 2R+R · 2L v = 4BL2 3R

图3

正确解法3 从相对运动角度来分析：

导体棒MN向右的匀加速运动可等效为棒MN不动，线框中的ad部分和cb部分（连同与它们连接的电阻）分别向左做初速为零的匀加速运动，则原电路可等效为如图4的电路，其中ad部分和cb部分切割磁感线产生相同的电动势E=BLv =BL 0+v 2 = BLv 2 ，且并联，它们内阻皆为R，则通过MN的电流为I = E R总 = BLv 2 3R 2 = BLv 3R ，又T= 2l 0+v 2 = 4L v ，同样得出结论：Q=I ·t= BLv 3R · 4L v = 4BL2 3R .

图4

正确解法4 如果从楞次定律角度考虑：Q= Δ R总 = BL·2L 3R 2 = 4BL2 3R ，其中，Δ为棒MN扫过的面积所通过的磁通量.

通过分析比较，显然第四种解法简，其它解法也各有千秋.