底面为直角三角形的直三棱柱有关外接球半径的结论

罗文军

在历年高考题中，出现过有关直三棱柱外接球的题，如2009年全国卷Ⅰ理科数学第15题和2010年全国新课标卷理科数学第10题.文[1]中给出了直角三角形内有关外接圆半径的一些结论，笔者读后受益匪浅.受该文启发，笔者通过类比和联想，得到了底面为直角三角形的直三棱柱有关外接球半径的一些结论.现介绍如下，以供参考.

结论1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，侧棱AA1=d，CD、C1D1分别为AB和A1B1边上的高线，球O、球O1、球O2分别为直三棱柱ABC-A1B1C1、ADC-A1D1C1和BDC-B1D1C1的外接球，其半径分别为R、R1、R2，则[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]=R2-（ d 2 ）2.

证明 设三角形A1B1C1的外心为M1，

则O在底面A1B1C1上的射影是M1，

A1M1= c 2 ，OM1= AA1 2 = d 2 ，R2=A1M21+OM21=（ c 2 ）2+（ d 2 ）2，

在三角形ABC中， AD AC = AC AB ， AD b = b c ，AD= b2 c ，CD= AC·BC AB = ab c .

设N1为三角形A1D1C1的外心，

则O1在底面A1D1C1的射影是N1，A1N1= b 2 ， R21=A1N21+O1N21=（ b 2 ）2+（ d 2 ）2

同理可求得R22=（ a 2 ）2+（ d 2 ）2，

在三角形ABC中，根据勾股定理，a2+b2=c2，

[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]=（ b 2 ）2+（ a 2 ）2=（ c 2 ）2=R2-（ d 2 ）2

结论2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c，侧棱AA1=d，CD、C1D1分别为AB和A1B1边上的中线，球O、球O1、球O2分别为直三棱柱ABC-A1B1C1、ADC-A1D1C1和BDC-B1D1C1的外接球，其半径分别为R、R1、R2，则 1 R21-（ d 2 ）2 + 1 R22-（ d 2 ）2 = 4 R2-（ d 2 ）2 .

证明 由结论1的证明过程可知R2=（ c 2 ）2+（ d 2 ）2.

设三角形A1D1C1的外心为N1，则O1在底面A1D1C1上的射影为N1，

在三角形A1D1C1中，sinA1= a c ，由正弦定理得2C1N1= C1D1 sinA1 ，

C1N1= c 2 2 a c = c2 4a ，R21=C1N21+O1N21=（ c2 4a ）2+（ d 2 ）2，

同理可求得R22=（ c2 4b ）2+（ d 2 ）2，

1 R21-（ d 2 ）2 = 16a2 c4 ， 1 R22-（ d 2 ）2 = 16b2 c4 ，

1 R21-（ d 2 ）2 +

1 R22-（ d 2 ）2 =

16c2 c4 = 16 c2 ，

而 1 R2-（ d 2 ）2 = 4 c2 ，所以

1 R21-（ d 2 ）2 +

1 R22-（ d 2 ）2 = 4 R2-（ d 2 ）2 .

结论3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，AB=c， 侧棱AA1=d，CD、C1D1分别为∠ACB和∠A1C1B1的角平分线，球O、球O1、球O2分别为直三棱柱ABC-A1B1C1、ADC-A1D1C1和BDC-B1D1C1的外接球，其半径分别为R、R1、R2，则[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]= 2[R2-（ d 2 ）2] （sinA+cosA）2 .

证明 由结论1的证明过程可知R2=（ c 2 ）2+（ d 2 ）2.

因为CD为∠ACB的平分线，根据角平分线

定理得，

AC BC = AD DB ， b a = AD c-AD ， AD= bc a+b ，BD=c- bc a+b = ac a+b ，

设N1为三角形A1D1C1的外心，则O1在底面A1D1C1的射影为N1，

由正弦定理得2A1N1= A1D1 sin∠A1C1D1 ，

A1N1= bc a+b 2 = bc 2 （a+b） ，R21=A1N21+（ d 2 ）2=[ bc 2 （a+b） ]2+（ d 2 ）2=[ bc 2 c（sinA+cosA） ]2+（ d 2 ）2

=[ b 2 （sinA+cosA） ]2+（ d 2 ）2.

同理可求得

R22=[ ac 2 （a+b） ]2+（ d 2 ）2=[ a 2 （sinA+cosA） ]2+（ d 2 ）2，

所以[R21-（ d 2 ）2]+[R22-（ d 2 ）2]= a2+b2 2（sinA+cosA）2 = c2 2（sinA+cosA）2 = c2 2 （sinA+cosA）2 = 2[R2-（ d 2 ）2] （sinA+cosA）2

[1]谢星恩.直角三角形内有关外接圆半径的结论，数学通讯，2010（10）（下半月）.

（收稿日期：2015-06-22）