基于三元组的扩频码构造及其性能分析

王 慧，吴成茂

（1.西安邮电大学 研究生院，陕西 西安710121；2.西安邮电大学 电子工程学院，陕西 西安710121）

0 引 言

随着民用通信的频带日益拥挤，扩频通信被广泛应用于民用领域，并以扩频通信技术为基础开发了第三代移动通信 （3G）和第四代移动通信 （4G），扩频技术传输高速数据的能力需要更大的拓展。扩频技术高速传输数据能力的关键是传输数据的带宽，而传输信号的带宽主要由扩频函数决定。因此，探索高效、可靠和安全的扩频码［1，2］是扩频通信研究中的重要使命。

常用的伪随机序列有线性反馈移位寄存器序列、混沌序列和同余序列。线性反馈移位寄存器序列以m 序列和Gold序列为代表，以其理论简单、发展完善的特点得到广泛使用，是扩频通信中最常使用的扩频码。但是其采用线性反馈逻辑，输出序列完全由初始状态和反馈函数唯一确定，容易被敌人破译，即保密性、抗截获性差。m 序列具有周期性且数量有限、线性复杂度低、第三方易于从扩频码的一小段去重建整个序列的问题，其可靠性存在一定的风险，不能满足大规模通信系统的要求。选用具有混沌特性的序列作为扩频序列的动态特性会更好［3－5］。

由于Logistic、Tent等混沌序列的初值敏感性和强随机性，混沌序列构成的扩频码也常被使用于扩频通信。然而由于计算机的计算精度、编译器、硬件、软件算法和编程语言的限制，导致在实际计算中混沌序列出现周期性且周期较短的问题。混沌模拟实值序列在传输过程中有无限多个状态，幅度在有限范围内连续，离散混沌序列是将混沌模拟实值序列进行离散化得到的，但其随机性和复杂性有了显著 程度的降低［6－8］。

同余序列与混沌序列一样，具有初始值和算法参数变化的随机性，但算法本身是固定的，即一旦初值和算法参数给定，则其生成的随机序列具有唯一性。同余序列发生器本质是有限域的随机发生器，不同初始参数所对应的同余序列必然存在短周期性［9］。

三 元 组 随 机 数［10，11］是 一 种 基 于 真 随 机 熵 源［12－14］的 新 颖的随机数，具有良好的统计特性，将其使用于文件加密、图像加密和文件传输中，得到了较好的实际应用效果并取得了国家专利［15，16］。将三元组随机数序列引入扩频通信，以此为基础，经同态均匀映射或正交变换进行改进［17－19］，得到同态三元组扩频码或正交三元组扩频码。以m 序列、分段Logistic序列［20］和线性同余序列为例，与正交三元组扩频码和同态三元组扩频码参与仿真，在蒙特卡罗直接扩频通信模型［21］和直接序列码分多址系统DS－CDMA［22，23］中计算误码率。实验结果表明，同态三元组扩频码在不同幅度的正弦干扰下的误码率很小，正交三元组扩频码可以承载的用户数更多。同态三元组扩频码和正交三元组扩频码可以降低通信系统的误码率，提高可靠性。

1 三元组随机数序列

三元组随机数将传统的二元结构KS＝ （m，IV）扩展为由生成算法、初值和背景空间构成的三元结构KS＝ （m，IV，Key），使每次使用都会产生不同的序列。其中m 为生成算法，IV 为初始参数，Key 为用户选择的背景空间。该三元组随机数序列由真随机熵源提供初始值，以多轮重构技术构造背景，通过周期性变轨、控制空间映射和约束判断等方法实现离散轨迹变换产生的。

1.1 重构背景信息

三元组随机数序列又称为基于广义信息域离散轨迹变换的随机数序列。广义信息域是所有可以表示为二进制编码的数据所构成的空间GI，所以三元组随机序列以用户选择广义信息域的信息为熵源，通过多轮重构消除对熵源内容和大小上的依赖，得到满足一定规模且编码出现次数均匀的数据空间——背景BG。

Key＝ （GI，M，L，D）为用户选择的秘钥空间。用重构初始位置M （mi∈Z＋）、重构长度L （li∈Z＋）对用户选择的广义信息GI （记为PB0）经过S 轮重构生成PBS，即BG （背景）。计数器向量c （c0，c1，…，c255）中ck是记录每次重构过程中编码k∈ ｛0，1，…，255｝（k 是8位的二进制数）出现的次数。j是每轮重构的长度，所以每轮重构前ck、j要初始化为零。为使生成的数据空间具有较好的统计分布特性，设置约束参数q （默认值为10），而使PBi中所有字节编码的出现次数相当。q越小，PBi中编码分布越均匀，约束条件越强。通过重构约束向量c与q 比较，使背景中所有字节编码的出现次数相当，具有良好的统计分布特性。

重构生成PBi（bi0，bi1，…，bili）的产生过程：

步骤1 每轮的重构长度j、计数器向量c初始化为0。

步骤2 PBi－1中 的 第 （mi＋j）modli－1项 记 为bi－1（mi＋j）modli－1，并将其循环左移 （mi＋j）／li－1位，得到bj′。

步骤3 用cmin记录c 中最小的值，记录c中bj′出现的频次为cbj′。若cbj′－cmin＜q，则令PBi的第j 位bij＝bj′；若cbj′－cmin≥q，则令bij＝｛k｜ck＝cmin｝。

步骤4 cbij＝cbij＋1，j＝j＋1。

步骤5 当j与本轮重构长度li相等时，则结束该轮重构。否则，返回步骤2。

1.2 三元组随机数序列生成过程

IV＝ （t，v，u）为初始随机动态因子。t、v 由系统生成，分别为系统时间戳和系统随机数，u 为用户输入的初始个性化信息。可见，每次生成的不重复随机的初始点由IV 决定，也是每次生成不同三元组随机序列的关键决定因素。轨迹变换参数D（d0，d1，…，dm－1）构造地址映射函数，定义了逻辑地址的最大值。设每次析出w bit数据，则Ck′是计数器向量C′（C0′，C1′，…，C2w－1′）中记录生成随机数序列过程中编码k∈ ｛0，1，…，2w－1｝出现的次数，即C′要初始化为零向量。设置轨迹变换参数q′ （默认值为10），利用C′与q′的比较，避免了小周期的存在，而且增加了平衡度，实现了约束判断。

生成三元组随机数的过程：

步骤1 初始计数器向量C′为零向量。将由用户的任意输入初始信息u、系统时间戳t、系统随机数r构成初始随机动态因子IV，经hash函数单向映射为一个长度为32×m bit的二进制字符串，并分割为 ［32×m］的向量组，定义为泛空间地址AI（x0，x1，…，xm－1）。

步骤2 AI经轨迹变换地址D（d0，d1，…，dm－1）模约束 后，得 到 逻 辑 地 址A（a0，a1，…，am－1），其 中ai＝ximoddi。

步骤4 从的第ma 位顺序析出w bit二进制数，记为M。若CM′－Cmin′＜q′，M 加入随机序列KS。若不满足，则ma＝ma＋1，重复步骤4。

步骤5 当KS为64的整数倍时，｛k｜Ck′＝Cmin′｝替换M 加入背景BG。

步骤6 若KS的长度达到要求，则停止。否则，将AI逻辑左移M，更新AI，返回步骤2，实现周期变轨。

2 三元组扩频码

通过2种方案对三元组随机序列进行改进，使三元组随机数序列具有更好的自相关和互相关等随机统计特性，满足扩频通信的使用，并使三元组扩频码适用于不同的使用环境。

2.1 三元组扩频码构造

方法一是将三元组随机数序列KS 经过均匀映射，变为同态三元组扩频码KC，使三元组随机数序列轨道和获得同态三元组扩频码的轨道可以相互拓扑等价，同态三元组扩频码KC 具有更强的随机性，来保证三元组系统最大的动态性。同态三元组扩频码KC 有优良的平衡度，可以增强系统的载波抑制度。

将二值三元组随机数按顺序析出n bit，变为一个十进制数，得到序列xn＝ ｛x0，x1，x2…｝，即若KS 的长度为L，则序列 ｛xn｝的长度为L－n＋1。均匀映射g （·）定义为

式中：N—— ｛xn｝的长度，K（xn）——xn在 ｛xn｝中按升序排列的序号。将实值序列转换为二值序列，引入转换函数为

式中：2 m——正整数，B2m0，B2m1，B2m2，…，B2m2m——在 ［0，1］上连续相等的2 m 个子区间。s（n）——同态三元组扩频码KC。

方法二是利用正交变换具有可以去除信号中的相关性和让信号能量集中的功能，通过正交变换使三元组随机数序列KS变为正交三元组扩频码KQ，可以使正交三元组扩频码具有更好的互相关特性。

m 序列通过模2 加变为Gold序列，在Gold序列后加一位0或1变为正交Gold序列，而正交Gold序列具有良好的自相关性和互相关性。同理，我们利用此方法使2个三元组随机数序列变为一个正交三元组扩频码KQ，使正交三元组扩频码KQ 具有良好的统计特性。若三元组随机数序列KS 的长度为L，则正交三元组扩频码KQ 的长度为L＋1。

正交三元组扩频码KQ 的生成，如图1所示。

图1 正交三元组扩频码KQ 的生成

2.2 三元组扩频码的性质

三元组扩频码通过C′与q′的比较和当序列长度为64整数倍时更改当前编码等周期性变轨控制，使序列具有周期不重复性。

引入基于用户U 盘、手机和计算机等电子设备中存储的数字信息的广义信息域，作为三元组扩频码的熵源空间，使得随机序列具有了真随机性，更不可预测。即使用户的输入初始信息相同，与系统自动生成的随机数和系统时间戳经hash函数共同映射后，得到的初始参数也会不同，并通过反馈迭代机制，可输出大量完全不相关的序列，具有初值敏感性。

由于三元组扩频码对初始条件极为敏感，2 个几乎相同的系统，即使处于完全相同的用户初始值也会迅速变为完全不同的状态。同时增加了系统的抗碰撞性，消除了用户输入初始值的重复性或相似性的影响。

周期性变轨、控制空间映射和约束判断等方法的离散轨迹变换，使三元组扩频码的算法具有随机性。相比于混沌序列只有初值具有随机性，使产生的三元组扩频码具有更强的随机性。

经验证三元组扩频码具有良好的初值敏感性、周期不重复性、平衡度、混沌特性、抗碰撞性和强随机性，通过了严格的NIST SP800－22随机性测试，且其产生速度可以满足实际中应用的需要。

经同态均匀映射得到的同态三元组扩频码，有很强的载波抑制度，可以在通信系统中抵抗较强的噪声干扰。正交三元组扩频码经正交变换而有更好的自互相关性，具有较强的抗码间多址干扰特性，适合扩频通信多用户使用。

2.3 扩频码的性能分析

常用的扩频码以Logistic序列为例，与同态三元组扩频码KC 和正交三元组扩频码KQ 分析比较其性能，验证了三元组扩频码适合用于扩频通信系统。

2.3.1 平衡性分析

平衡度测试是随机性测试中非常重要的环节，扩频码的平衡性与系统的载波抑制度有关。若不平衡，则通信系统的载波泄漏变大，降低系统性能。平衡度E 的定义为

式中：L——序列的长度，P、Q——序列中1 和0 的总个数。E 值越小，平衡度越好，则该序列的性能越好。

由图2分析同态三元组扩频码KC 和正交三元组扩频码KQ 的平衡度优于Logistic的，且受序列长度影响较大，序列的长度越长，序列平衡性越好。经仿真得，当同态三元组扩频码KC 的长度为偶数时，其平衡度等于析出位数n；而长度为奇数时，其平衡度等于2n－1，所以同态三元组扩频码KC 具有非常良好的平衡性。

图2 扩频序列的平衡度

2.3.2 相关性分析

在扩频通信系统中，良好的序列相关性是选择扩频码的关键，包括自相关、互相关和部分相关。自相关性能好便于检测，例如接收端的捕获和跟踪；互相关性能好，可减少码间串扰，实现更多用户的使用，即多址通信。

图3、图4是同态三元组扩频码KC 和正交三元组扩频码KQ 的相关性，验证了其具有同传统扩频码一样的良好的相关统计特性。统计不同长度的Logistic序列与同态三元组扩频码KC 和正交三元组扩频码KQ 的互相关均方差和平均最大互相关值，见表1和表2。递增序列长度，扩频序列的互相关均方差和平均最大互相关值递减。同态三元组扩频码KC 和正交三元组扩频码KQ 的互相关均方差与Logistic序列的相差不大，但平均最大互相关值上，正交三元组扩频码KQ 要优于Logistic序列，同态三元组扩频码KC的略差。

图3 同态三元组扩频码KC 的相关性

图4 正交三元组扩频码KQ 的相关性

表1 扩频序列的互相关均方差 （归一化）

表2 扩频序列的平均最大互相关值 （归一化）

2.3.3 Lyapunov指数测试

Lyapunuv指数的正、负，被用来描述相邻离散点之间经系统多次迭代后所引起的离散或靠拢情况，即Lyapunuv指数大于0，是判断序列具有混沌性的一项依据。

选择两张不同的照片的任意1000个像素值作为广义信息，经过一轮重构，仿真中变换不同的参数组合，计算同态三元组扩频码和正交三元组扩频码的Lyapunuv指数见表3和表4。得到的Lyapunuv指数均为正，表明同态三元组扩频码KC 和正交三元组扩频码KQ 都具有混沌特性。

表3 同态三元组扩频码KC 的Lyapunuv指数

表4 正交三元组扩频码KQ 的Lyapunuv指数

综上，同态三元组扩频码和正交三元组扩频码与Lo－gistic序列相比，具有良好的平衡度、自相关、互相关和混沌特性，满足扩频通信的基本需要。且相比于混沌序列算法缺乏随机性，本文提出的三元组扩频码不仅在初始值和算法参数变化具有随机性，而且算法本身也具有很强的随机性，更合适应用于保密通信中。

3 扩频码的误码率分析与仿真

为检验同态三元组扩频码KC 和正交三元组扩频码KQ作为扩频码对扩频通信系统可靠性的提高，本文以降低误码率为准，使用三元组扩频码与传统扩频码进行对比。为多方面的检验，选用m 线性移位寄存器序列、分段Logis－tic混沌序列和线性同余序列作为传统扩频码参与仿真实验。

3.1 扩频码抗干扰性的仿真

使用同态三元组扩频码KC 与传统扩频码在蒙特卡罗直扩扩频通信模型中，在不同大小信噪比和不同幅度的正弦干扰下，仿真比较误码率的大小。在不同信噪比下，信号经扩频后发送，在信道中叠加方差为σ2＝N0／2的高斯白噪声和形式为i（n）＝Asinω0n 的正弦干扰，其中0＜ω0＜π，且仿真中令A＝0，3，7，12。接收后经解调解扩后进行输出判决，判决后的输出序列与原输入信号对比，计算误码率。为消除偶然性，取100 次的结果求平均，如图5所示。

图5 不同幅度正弦干扰下扩频序列的误码率

由图5分析可知，随着信噪比的提高，所有扩频码在扩频通信系统中的误码率均降低；在增大正弦干扰幅度下，相同扩频码的通信系统的误码率有所增加。在正弦干扰幅度为零时，即只有高斯白噪声的情况下，4种扩频码的误码率相当。在相同信噪比和相同幅度的正弦干扰下，同态三元组扩频码的误码率是最低的，并随着信噪比的提高，误码率保持相对快速、平稳的下降，明显优于其它3种序列。且随着正弦幅度增加，同态三元组扩频码对误码率降低的改善越为明显。综上，同态三元组扩频码应用在扩频通信系统，在不同幅度的正弦干扰、不同大小的信噪比下，甚至信号被噪声淹没时，都能保证其很低的误码率和通信系统的可靠性。

3.2 扩频码抗码间串扰性的仿真

在不同信噪比下，将同态三元组扩频码KC、正交三元组扩频码KQ 与传统扩频码用于多用户DS－CDMA 统中，比较通信系统的误码率，分析系统的稳定性。为消除随机性，取100次实验的平均结果，如图6所示。

由图6分析可知，相同信噪比下，随着用户数的增加，扩频通信系统的误码率降低。当扩频码的长度均为63时，在不同用户数的综合比较后，同态三元组扩频码KC 对误码率有所改善，但正交三元组扩频码KQ 的误码率最低。即在多用户的情况下，三元组扩频码的改善效果最好。由此可见，三元组扩频码更适合用于扩频通信中多用户的使用，增加带宽的利用率和通信系统的可靠性。

4 结束语

三元组随机数序列是一种新的随机数序列体系，申请并被授权了国家发明专利。

图6 不同用户数下扩频序列的误码率

本文基于三元组随机数序列改进，提出同态三元组扩频码和正交三元组扩频码，其是由真随机序列发生器产生的，以真随机熵源提供初始值，用户选择的广义信息提供背景，并以多轮重构背景、周期性变轨、控制空间映射、约束判断、同态均匀映射和正交变换等方法实现初值和算法的随机性，具有更强的不可分析性和不可预测性，以及抗攻击性和抗碰撞性。且三元组扩频码具有良好的平衡度、初值敏感性、周期不重复性、混沌特性、抗对抗性和强随机性，统计特性更贴近于白噪声。

同态三元组扩频码在较大的干扰、噪声下，仍能保证较低的误码率；正交三元组扩频码适合多用户的扩频通信，抗多径干扰性好。且其保密性好，无法从一小段构建整个扩频码。因此，本文所建议的三元组扩频序列构造法为高可靠性和高安全性的扩频系统广泛应用提供了坚实的理论基础。

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