论重合度与齿轮参数的关系

叶素娣 徐敬华 徐圣伦

（1.芜湖职业技术学院 安徽芜湖241006；2.浙江大学 浙江杭州310027；3.郑州大学 河南郑州450000）

齿轮传动在工业、汽车、航空等领域得到广泛应用，在渐开线直齿圆柱齿轮传动中，主动齿轮与从动齿轮必须模数相等、压力角相等，这是齿轮正确啮合的条件，是齿轮正常传动的必要条件但非充分条件。由于轮齿的高度有限，啮合的区间有限，齿轮能否连续传动还要看轮齿对能否及时接替，即前一对轮齿脱离啮合时，后一对轮齿是否已进入啮合，这样就引入了重合度的概念。

重合度是齿轮传动中一个非常重要的性能指标，重合度小于1，表明前一对轮齿即将分离而后一对轮齿尚未进入，传动就会中断，所以必须使重合度大于等于1[1,2]，传动才能继续。重合度表示在齿轮转过一个齿距时间内，参与啮合的轮齿的平均对数，该值越大，表明同时参与啮合的轮齿对数多，在相同的载荷作用下分摊到每对轮齿的载荷就小，负荷变动量小，从而提高了整个齿轮的承载能力，且传动平稳，减小振动和噪声，改善传动性能，因此重合度越大越好。文献[3]和[4]说明重合度对齿轮刚度和载荷大小有影响，而刚度是齿轮非线性振动特性的重要因素之一,当重合度一定时，齿轮机构的响应在不同载荷条件下是完全不同的，轻载比重载情况更容易发生混沌响应。[3-4]文献[5]论述了重合度越大，齿轮传动噪声越小，而随着齿顶高增大重合度增大，此时齿根弯曲疲劳强度也增大，齿面接触强度的许用载荷随着重合度的减小而减小。[5]

一、影响外啮合直齿圆柱齿轮重合度的参数分析

重合度ε 计算公式为：

式中i—传动比，

a—标准中心距，

b—a',—实际中心距，

c—Δ—中心距相对误差。

从式（2）（3）（4）（5）可知，重合度的大小取决于齿数、压力角、齿顶高系数以及中心距相对误差，而与模数无关。

（一）齿数越大，重合度越大。由公式（2）可知，重合度的大小与齿数成正相关，当标准直齿圆柱齿轮传动中的一个齿轮齿数大到无穷时，由渐开线性质可知此时的齿形将变成直线，齿轮变成齿条，在其它基本参数取为标准值时，重合度大到极限，所以重合度的极大值应该出现在齿轮齿条的传动中。图1为标准直齿条的几何图形，A点为齿条齿顶线与公法线的交点，P点为分度线与公法线的交点，则AB表示实际啮合线的长度。

图1 齿条的几何图形

公式推导如下：故：AB=2ha*×m/sinα

将标准齿顶高系数ha*=1，压力角α=20°代入上式，得到εmax=1.981；若用短齿的齿顶高系数ha*＝0.8代入，得到εmax=1.585，因此标准的齿轮齿条传动比短齿的齿轮齿条传动的重合度大。

εmax=1.981的物理意义：在一个基圆齿距的时间内有98.1%的时间是双齿啮合，只有1.9%的时间是单齿啮合，因此齿轮齿条机构能够承受大的载荷并且传动平稳。

（二）齿顶高系数越大，重合度ε 越大。由公式（3）和（4）可知，齿顶高系数影响齿顶角的大小，从而影响重合度。

图2 重合度与齿顶高系数的关系

从图2可以看出，增大齿顶高系数可以显著提高齿轮副的重合度，但齿顶高系数过于增大将直接导致齿顶变尖，从而引发崩齿，因此该系数不宜过大。标准齿轮取1，短齿取0.8。在相同传动比时，齿数越大重合度越大；而在相同齿数时，传动比越大，重合度越大。

（三）中心距相对误差越小，重合度越大。由公式（5）可知，当实际安装中心距α'与标准中心距a一致，即Δ＝a'-a=0时，有α'=α 成立；当a'>a，即Δ莛0时，α'莛α，ε 减小。

图3 重合度与中心距相对误差的关系

将重合度随着中心距相对误差的变化而变化的趋势用图3直观表达，从中可以看出重合度变化的总体趋势是随中心距相对误差的增大而减小，并在传动比不变而齿数变大以及齿数不变而传动比变大时呈现加速下降趋势。

虽然传动比的不变性和中心距的可变性是渐开线齿轮传动的一大特色，但中心距的变大将导致重合度的明显减小，因此在齿轮安装时，应保证中心距相对误差Δ＜1%。

（四）压力角越小，重合度越大。由公式（3）（4）（5）可知，压力角影响着齿顶角和啮合角的大小，从而影响重合度的大小，如图4所示，重合度随着压力角的增大而减小，从这点上讲，应取较小的压力角，但在齿轮设计中为了减小弯曲应力和接触应力，提高齿轮传动的强度，应尽量在满足重合度的基础上取较大的压力角。国家标准规定标准齿轮分度圆上的压力角取20°。

图4 重合度与压力角的关系

二、影响渐开线斜齿圆柱齿轮重合度的因素

在充分理解了渐开线直齿圆柱齿轮重合度基础上，分析渐开线斜齿圆柱齿轮的重合度就比较简单，我们只需搞清楚两者在传动过程中的区别点就可以了。直齿传动的特点是整个齿宽同时进入啮合，又同时退出啮合；而斜齿因为齿廓接触线是斜线，故传动的特点是逐渐从前端面进入啮合并逐渐从后端面脱离啮合，显然这与齿宽和螺旋角有关。

从图5可知，FG之间的区域为齿轮的啮合区，对直齿传动来说，轮齿整个齿宽同时在F点进入啮合，在G点脱离啮合，其重合度用εα表示。对于斜齿传动来说，其轮齿在进入啮合和脱离啮合时不是整个齿宽，G仅是轮齿的一端开始脱离啮合，而到整个轮齿全部脱离还要继续啮合长度为GH=B×tgβ 的距离，故斜齿轮传动的重合度可以表示为ε=εα+εβ，是在直齿重合度εα的基础上外加一个轴向重合度εβ，

其中B—齿宽，β—螺旋角，pt—端面齿距

图5 斜齿轮的重合度

从公式（7）可知，斜齿轮传动的重合度随着齿宽B和螺旋角β 增加而增加，这就是斜齿轮传动平稳，冲击和噪声小，承载能力高的主要原因。

当齿宽B和螺旋角β 以及端面齿距一定时，标准渐开线斜齿轮齿条机构传动时所具有的重合度为

三、结论

（一）重合度是渐开线直齿圆柱齿轮中的重要概念，通过公式分析获知重合度的大小取决于小齿轮齿数、压力角、齿顶高系数以及传动比与中心距相对误差。

（二）由重合度公式分析出标准渐开线齿轮传动中其一为齿条时可获得重合度的最大值，并且通过齿条的几何形状求出渐开线直齿圆柱齿轮重合度的最大值为1.981，而斜齿轮重合度的最大值为εmax=1.981+B×tgβ/Pt。

（三）通过matlab绘图工具得出重合度与齿顶高系数、中心距相对误差以及压力角之间的关系，从而在齿轮设计中，在保证弯曲强度和疲劳强度以及不干涉、不根切、不变尖等条件下，合理、正确地选择这些参数提供理论依据。

[1]栾学钢.机械设计基础(第2 版)[M].高等教育出版社，2006.

[2]黄茂林，郑增铭，张清珍.机械原理[M].重庆大学出版社，1995.

[3]唐进元，王志伟，雷敦财.载荷与齿轮啮合刚度、重合度的关系研究[J].机械传动，2014(6).

[4]张祖芳，陈卫东，黄康.重合度对齿轮副非线性动力学特性影响研究[J].组合机床与自动化加工技术，2014(2).

[5]冯辉英，于兴芝.基于重合度对齿轮传动影响分析[J].现代机械，2009(4).