吉林省中考试题中数学思想方法的研究

郑 晨，李淑文

(1.东北师范大学 数学与统计学院，吉林 长春130024;2.吉林师范大学 数学学院，吉林 四平136000)

0 引言

从2000年开始，我国进入了课程改革阶段.新的教育教学理念不断冲击各门学科的调整，数学教育在这场改革浪潮中发生了翻天覆地的变化.伴随着课程改革，我国的考试理念、考试命题以及组织形式也在不断完善.特别是数学思想方法逐年不断地渗透到数学教材、教学和考核评价中.数学思想方法是对数学知识体系的一般性认识，一种指导性原则，是发展学生数学能力形成数学思想，体会“数学化”意识的一种基本能力.

1 问题的提出

本文通过对2005－2014年吉林省中考试卷题目类型进行分析，将其变化发展分为三个阶段:第一阶段为基础性阶段(2005－2006年)，此阶段是课程改革的过渡期，中考试题立足于基础题目，重点考查核心概念、重要定理和基本解题方法及常见数学思想方法;第二阶段为发展探索阶段(2007－2011年)，此阶段试题进入了逐步调整时期，突出考查学生的探究能力和数学猜想能力，没有较大形式的变化;第三阶段为转型阶段(2012－2014)，以《义务教育数学课程标准(2011 版)》为指导［1］，重点考查学生数学思考、问题的提出和解决能力，突出人文性和科学性，在考核形式上不仅改革了试题数量，也开始采用网上阅卷.基于以上分析，本文主要研究吉林省2005年－2014年中考试题中数学思想方法的类型研究，并尝试给出对未来中考命题及中学教学的建议.

2 吉林省2005年-2014年中考试中数学思想方法的类型研究

在初中阶段，学生主要接触并使用的数学思想方法包括分类讨论思想方法、函数与方程思想方法、转化思想方法、建模思想方法、数学猜想思想方法等［2］.这几种思想方法在中考试题中均有广泛地应用.其中在选择题和填空题中体现更多的是转化思想方法、数形结合思想方法、函数与方程思想方法;而在简答题中更多渗透了数形结合思想方法、分类讨论思想方法、函数与方程思想方法、建模思想方法、数学猜想思想方法.

2.1 吉林省2005－2014年中考试题中体现数学思想方法的分数与题型情况

表1 吉林省2005－2014年中考试题中体现数学思想方法题目情况

通过表1的分析，可以看出吉林省至2005年开始，对初中数学内容中数学思想方法的考察逐年增加，个别年份考查的题数和分值数稍有变动，但从总体来看，中考试题的整体编写紧紧围绕数学思想方法，内容是逐渐加深的.2012－2014年试题数目减少，但数学思想方法的渗透并没有减弱.在中考试题的考查中，明则考查学生对基本知识和基本能力的掌握，实则更加关注学生数学思想方法的生成与运用情况.

2.2 吉林省2005－2014年中考试题中数学思想方法体现的类型

表2 吉林省2005－2014年中考试题中体现数学思想方法的题数与知识点类型

续表2

从表2中，我们可以发现，吉林省在2005－2014年的中考试题中，对初中阶段典型数学思想方法的考核是较为全面的.特别是函数与方程思想、转化思想、数形结合思想这三种思想方法在出题数量上较为稳定，并且数量较大，多以实际问题和函数角度出题;而分类讨论思想方法在课改的基础阶段和探索阶段稍有变动，在转型阶段出题数量较多，类型较广，该思想方法多以压轴题出现，较有难度，主要考查学生分析问题和提出问题的能力，切合课程改革目标;建模思想在初中数学教学中占据着重要地位，但在日常初中教学中常常被教师忽视，中考试题涉及类型多样，多结合函数与方程思想出题，值得教育者注意，这种思想方法对学生的问题提出与解决问题能力的培养十分关键;数学猜想思想方法在课改初期涉及较多，近几年关注有所减弱，往往以压轴题、动点问题、网格作图题出现，考查学生的探究能力，而题型的改革将个别需要解题过程的问答题目变成了填空题，这样难以从试卷中看到学生作答时数学思考的过程，不利于学生数学思想方法的养成.

2.3 数学思想方法及典型试题举例

2.3.1 分类讨论思想方法

以2013年中考试题为例，在此次命题中针对分类讨论思想的题目共有8 个，题型涉及选择、填空、解答题，是十年中考查力度最大的一年.

(2013 吉林)第25 题 如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D，E，F 分别是边AB，BC，AC 的中点，连接DE，DF.动点P，Q 分别从点A，B 同时出发，运动速度均为1cm/s，点P 沿A→F→D 的方向运动到点D 停止;点Q 沿B→C的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动.在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M，以点P，M，Q 为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分图形的面积为y(cm2)(这里规定:线段是面积为0 的几何图形)，点P 运动的时间为x(s).

图1

(1)当点F 运动到F 点时，CQ=________cm;

(2)在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上.求此线段BQ 的长度;

(3)当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式.

该题中前两个问题较为简单，在问题(3)的作答中，需要讨论当点P 运动时重叠图形的形状，即3＜x＜4当时，重叠部分图形为平行四边形;当4≤x＜11/2 时，重叠部分图形为矩形;当11/2≤x＜7 时，重叠部分图形为矩形，在此基础上寻找x 与y 之间的函数关系式.中考试题的很多题目需要根据问题中的条件与要求进行分情况讨论，这种按照不同情况与条件讨论的数学思想方法，对于培养学生分析问题并解决问题的能力极为重要.这种思想不仅是一种单纯的解题策略，也是一种数学能力.蕴含这种思想方法的题型多为解答题中的高分值题目，需要学生对题目认真分析思考，考虑多种情况，不能疏漏各条件与考点，尽可能将问题分析详尽，做到不重不漏.

2.3.2 函数与方程思想

函数与方程的思想是以动态变化与静态思考相结合的观点，分析数学问题中的数量关系，进而构建函数或列出方程，并运用函数与方程的性质、图像分析解决问题.掌握这种思想方法是要从本质上认识数量关系之间的联系，同时要形成一种函数意识.初中数学内容中的函数关系较为简单，以一次函数(包括正比例函数)、反比例函数、简单的二次函数，以及应用函数性质的实际应用题为核心内容，往往结合几何内容中的直线、三角形、矩形、圆和动点问题命题，在2007年的中考试题中，有11 道题目设计该思想方法，对其重视程度可见一斑.

(2007 吉林)第27 题 今年4月18日，我国铁路第六次大提速，在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车.已知每隔有1h 一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城.如图2所示，OA 是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位:km)与运行时间t(单位:h)的函数图象，BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位:km)与运行时间t(单位:h)的函数图象.请根据图中信息，解答下列问题:

图2

(1)点B 的横坐标0.5 的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间________h，点的纵坐标的意义是________.

(2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s(单位:km)与时间t(单位:h)的函数图象.

(3)若普通快车的速度为100km/h，

①求的解析式，并写出自变量t 的取值范围.

此题结合实际问题背景，并以经典的相遇问题，考查学生分析问题解决问题的能力.在问题(1)和(2、)中，直接根据图像即可作答;问题(3)要结合题中所给条件，以及图中信息，利用一次函数解析式与方程解法解答，即设直线BC 的解析式为s=kt+b.因为B(0.5，300)，C(3.5，0)，所以有

于是有s=－100t+350(自变量t 的取值范围是0.5≤t≤3.5).

2.3.3 转化思想

转化思想又称为化归思想.通常理解为，将要解决的问题通过某种方式的转化，转变成符合自身知识体系又较为容易解决的问题，进而将问题解答清楚的一种方法.简单的说，就是把未知转化为已知、复杂变成简单、抽象化成具体、非数学到数学问题的一种手段.

近十年的中考试题中，转化思想方法的运用分布于各种题型之中，应用广泛.

(2008 吉林)第8 题 如图，若将飞镖投中一个 被平均分成6 份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是________.

图3

此题要求飞镖落入阴影部分的概率，只需将问题转化为阴影部分面积在整个圆中的面积比即可，在作答时要求学生认真读题，明确题中将圆形靶子平均分成了6 份(见图3)，通过观察图形，可知阴影部分面积占总面积的1/2.

2.3.4 数形结合思想方法

代数和几何图形是数学学科领域的两大核心内容，而数形结合思想是“以数定形，以形释数”的完美结合.数形结合思想贯穿于中小学数学学习的始终.具体表现为用数量关系描绘图形特性，展示图形性质，即为“以数定形”;另一种“以形释数”则可采用能够加以计算的几何图形来解释复杂的代数问题，将问题清晰化［3］.在吉林省2005－2014年中考试题分析中，数形结合思想的题目数量是最为稳定的，足以看出它在初中数学教学中的核心地位.以2006年中考试题为列:

(2006 吉林)第22 题如图4，圆心为点M 的三个半圆的直径都在x 轴上，所有标注A 的图形面积都是SA，所有标注B 的图形面积都是SB.

图4

(1)求标注C 的图形面积SC;(2)求SA∶SB.

该题目将半圆建立在直角坐标系中，通过观察坐标轴数值，可以得到各半圆的直径，以直角坐标系将图形与数量关系结合在一起，题目难度适中，且环环相扣，要想求得整体SA的面积，必先求得部分SC的面积;要想求得整体SB的面积，必先知道SA和SC的面积，以数定形，以型释数，考查学生数形结合的思维能力.

2.3.5 建模思想方法

建模思想方法是一种数学的思考方式，面对实际问题时，能够以数学的视角，运用数学的语言和方法，将实际问题用抽象的方式将其转化为数学问题，并解决的一种手段［4－5］.数学建模思想广泛应用于目前的各大科学领域，在初中阶段培训学生建模思想有助于分析问题、解决问题能力的形成.中考试题中多体现方程模型、统计模型、模型和函数模型［6］.其中，方程类型在中考试题中是最为常见的类型之一.

(2009 吉林)第14 题A 种饮料B 种饮料单价少1 元，小峰买了2 瓶A 种饮料和3 瓶B 种饮料，一共花了13 元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是( )

A.2(x－1)+3x=13 B.2(x+1)+3x=13

C.2x+3(x+1)=13 D.2x+3(x－1)=13.

这种题型是中考试题中必考的题目，难度较低，考查学生分析问题、理解问题的能力.在解答题中也会有相类似题目，考查学生能够根据题意找到合理解题模型.

(2009 吉林)第27 题 某数学研究所门前有一个边长为4 米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图5所示的图案，图案中AE=MN.准备在形如Rt△AEH 的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△AEH 的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下:红色花草:60 元/米2;黄色花草:80 元/米2;紫色花草:120 元/米2.

设AE 的长为x 米，正方形EFGH 的面积为S 平方米，买花草所需的费用为W 元，解答下列问题:

图5

(1)S 与x 之间的函数关系式为S=________;

(2)求W 与x 之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元;

该题目的问题(1)求S 与x 之间的函数关系即考查学生建立函数模型的能力，题中条件较多，如何能从较多已知条件寻找出有利于解题的条件考查了学生分析问题的能力;问题(2)同样是求函数关系，也要建立函数模型，同时也考查了利用函数性质求得最值问题，同样也利用到了建模思想，可见，建模思想在初中数学教学中的重要地位.

2.3.6 数学猜想

数学猜想是一切数学思想方法的源泉，是数学发展的动力.从数学史和数学文化中可以看出，数学家的一切发明和验证，都源于对数学的大胆猜想，在这种过程中产生了数学思想方法.新的课程标准中提倡，让学生大胆进行实验、猜测、验证，积极开展数学活动，这些都是鼓励学生发挥数学猜想的能力，在“猜”的过程中形成推理能力，在“想”的过程中体会数学逻辑的奥妙，在“做”的过程中养成动手实践的习惯.数学猜想思想方法多体现在解答题中，近几年在填空题和选择题中也经常出现，以2011年中考试题为例:

(2011 吉林)第10 题 用形状相同的两种菱形拼成如图6所示的图案，用an表示第n 个图案中菱形的个数，则an=________ (用含n 的式子表示).

图6

通过观察图形变化规律，猜想问题的答案，并能够进行验证，考查了学生观察能力和推理能力.再如2012年中考试题第26 题:

(2012 吉林)问题情境 如图7，在x 轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n＞m＞0).分别过点A，点B 作x 轴的垂线，交抛物线y=x2于点C，点D.直线OC 交直线BD 于点E，直线OD 交直线AC 于点F，点E，点F 的纵坐标分别记为yE，yF.

特例探究

填空:

当时m=1，n=2 时，yE=________，yF=________;

当时m=2，n=5 时，yE=________，yF=________.

归纳证明

对任意m，n(n＞m＞0)猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想.

拓展应用

图7

(1)若将“抛物线”y=x2改为“抛物线y=ax2(a＞0)”，其它条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系;

(2)连接EF，AE 当S四边形OFEB=3S△OFE时，直接写出m 与n 的关系及四边形OFEA 的形状.

该题目直接明确给出探究思路，让学生填空补充，引导学生进行数学猜想，同时让学生归纳证明，并能够拓展应用，发展学生演绎推理、归纳总结的能力.

3 研究启示

3.1 吉林省中考数学命题展望

随着课程改革的发展，对学生素质的考查越来越凸显其重要性.从吉林省十年的中考试题分析中可以看出，数学的命题继承了原有传统中对学生基本知识、基本技能的重视［5－6］，如对有理数的认识、计算、比较，对数学符号的表达，对图形的认识，对数据的收集、整理、和描述，同时也发展了学生的基本思想、基本活动经验，如突出“数感”、“符号感”的理解，对几何直观和空间观念的理解、对统计数据的分析观念等.整体的数学试卷命题思路以基本知识为主线，以能力、方法为核心，以学生的素质发展为目标建立试卷结构.

3.2 对初中数学教学的启示

中考试题注重对学生基本知识和基本技能的考察，对初中数学教学已经起了导向作用，而学生是否真正了解知识内容背后的数学思想方法，仅仅通过试卷的作答是体现不出来的.最为重要的是，每一种思想方法并不是独立存在的，往往伴随着彼此之间的相互影响而交织使用.“授人以鱼不如授人以渔”，只有让学生理解数学问题的核心思想，学生才能发现解决问题的方法和规律，在不断思考、实践中灵活运用，形成数学能力，提升数学素养，为更好地认识数学世界打下基础.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)［M］.北京:北京师范大学出版社，2012.

［2］钱珮玲.中学数学思想方法［M］.北京:北京师范大学出版社，2002.

［3］于永莲.数学思想方法在初中数学问题解决教学中的应用［J］.内蒙古师范大学报，2012，25(2):145－146.

［4］顾泠沅.数学思想方法［M］.北京:中央广播电视大学出版社，2004.

［5］金月波.由高考阅卷引发的数学教育思考［J］.琼州学院学报，2011，18(2):109－112.

［6］王奋平.美国Glencoe/McGraw－Hill 高中数学教材内容设置及其启示［J］.琼州学院学报，2014，21(5):117－122.