函数的间断点及其分类

黄玉兰

摘  要：本文通过举例的形式介绍了间断点的不同类型，用图表归纳的形式对间断点的分类进行了总结，并分情况概况了判断初等函数和分段函数间断点及其分类的方法步骤。

关键词：间断点;分类;判断方法

由函数的定义可知，引发函数在某点间断的原因有多种，如何判断函数间断点的类型是学生学习的一个重点和难点，本文通过例题并结合图形介绍间断点的分类，并用归纳总结的方式对间断点的分类和如何判断间断点进行了介绍。

一、函数间断点的定义

根据函数在连续的定义，函数f（x）在x=x0处连续需满足三个条件：（1）f（x）在x0及其领域有定义。（2） f（x）存在。（3）

f（x）=f（x0）。上述条件中，若至少有一个不满足，则称f（x）在x0处间断，即不连续;为的间断点。由函数的定义可知，引发函数在某点间断的原因有多种，如何判断函数间断点的类型是学习的一个重点和难点，接下来结合图形介绍间断点的分类，并归纳总结如何判断间断点的方法.

二、间断点的分类

造成函数f（x）在x0处间断的原因有多种，由于 f（x）存在的充要条件是f（x0+0）、f（x0-0）都存在且相等，下面通过举例从左右极限的角度出发对间断点进行分类：

例1、 讨论函数                                     在x=0处的连续性

分析：函数图像如下图1所示

图1

解：在x=1处：f（1+0）=f（1-0）=1，左右极限都存在而且相等，可知 f（x）=1，但f（1）=1≠ f（x）=1，所以x=1为函数的间断点。

左右极限都存在且相等的间断点称为可去间断点.可去间断点在图形上的特点是：相当于连续的曲线去掉了这一点，或者说只要定义这点的函数值等于极限值，则函数在该点连续。

例2、 讨论函数                                        在x=1处的连续性

分析：函数图形如下图2所示

图2

解：在x=1处：f（1+0）=2，f（1-0）=1左右极限都存但是不相等，可知 f（x）=1不存在，所以为函数的间断点。左右极限都存在但不相等的间断点称为跳跃间断点.跳跃间断点在图形上的特点是：由于左右极限存在但是不相等，曲线轨迹在这点发生了一个跳跃性的改变。可去间断点和跳跃间断点的共同特点是左右极限都存在，这两类间断点统称为第一类间断点。相对应的，若左右极限至少有一个不存在的间断点统称为第二类间断点，在第二类间断点里，我们来熟悉一下以下两种间断点：

例3、 分析函数f（x） 的连续性。解：函数在x=0处没有定义，所以x=0为函数的间断点，在x=0处 f（x）=∞，可知x=0为第二类间断点。在数学上我们把极限为无穷大的间断点称为无穷间断点。

例4、 分析函数f（x）sin 的连续性。解：函数在x=0处没有定义，所以x=0为函数的间断点，在x=0处左右极限都不存在，可知x=0为第二类间断点.当趋近于0时，函数在-1和1之间取值，这样的间断点称为振荡间断点

无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点.

便于理解和记忆，间断点的分类概括如下：

三、如何判断函数的间断点

判断函数的间断点是一个难点问题，我们先通过例子来熟悉如何判断函数的间断点，然后再概括判断函数间断点的方法.

例5、 求f（x） 的间断点并判断其类型。解：因为函数在x=0处无定义。所以x=0是它的间断点。

例6、求                                      的间断点并判断其类型

根据我们常见的判断函数间断点的形式，大概分为两种情况，函数为初等函数或分段函数.下面通过图表的形式分情况概况判断间断点的步骤：

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2000：76-85.

[2] 梁慧.函数的间断点的分类及应用[J].课程教育研究，2013，11（2）：166-167.