电路实现lorenz混沌系统同步

郭丹伟 张景波

摘 要：若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。20世纪90年代以来，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡罗尔（P.L.Carroll）提出相同混沌子系统间，在不同的初始条件下，通过某种驱动（或耦合），仍然可以实现混沌轨道的同步化。该文就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的研究。

关键词：Lorenz 混沌 PC同步

中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）08（a）-0045-02

同步是自然界中的一种基本现象，它通常指：至少在两个振动系统相位间的协调一致现象。关于同步现象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯（C.Huygens）关于耦合单摆的同步现象的观察。实际上，若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。尤其是进入20世纪90年代以来，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡罗尔（P.L.Carroll）提出相同混沌子系统间，在不同的初始条件下，通过某种驱动（或耦合），仍然可以实现混沌轨道的同步化。他们提出了一种混沌同步的方法（简称P——C方法），并在电子线路上首次观察到混沌同步现象。他们的工作和OGY控制混沌的工作，极大地推动了混沌同步和混沌控制的理论研究，拉开了利用混沌的序幕。

该文仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的介绍。

1 Lorenz吸引子

一个系统的同步是以其条件李雅普诺夫指数来衡量的，当一个系统的条件李雅普诺夫指数为负时，称系统是同步的。Lorenz吸引子是一种典型的混沌系统，利用它可以证实以上的结论。

Lorenz系统是气象学家lorenz在研究流体是提出的动力学模型，随后人们给出了它的电路实现。其电路图如图1所示。

在电路中，由R1、R2、R3、R4以及运算放大器1构成了一个减法器。R5、C2以及运算放大器2构成一个积分器。R6、R7以及运算放大器3构成了一个倍乘器。乘法器9实现了U和W的相乘。乘法器10实现了U和V的相乘。R8、R9、R10、R11、R12以及运算放大器4构成了一个加法器。R13、R14以及运算放大器5构成了一个反向器。R15、C2以及运算放大器6构成积分器。R16、R17、R18、R19以及运算放大器7构成了一个减法器。R20、C3以及运算放大器8构成了一个积分器。

其输出V（T）—T，关系如图2所示。

2 线性状态反馈同步

下面讨论利用线性反馈的控制方法实现两个全同系统混沌运动的同步化。所谓两个全同系统，这里是指一个n维动力系统

（7）

对它的复制品

（8）

两式中的函数有完全相同的形式，只是用带撇的变量代替了不带撇的变量（参数u可以有微小的差别）。系统可称为原系统，系统可称为复制系统，为利用线性反馈方法使原系统与复制系统同步化，在复制系统方程中增加一反馈项，即

（9）

通过选择合适的），使得t→∞时，，就是说使式（9）的解渐进稳定地趋向方程（7）的解，从而使系统（9）与系统（7）同步化。

这样做的好处在于：一般来说是与的性质有关的一大类函数，使得有多种选择方法来实现这两个混沌系统的同步化，从而使应用这一现象的可行性更大。

下面对lorenz方程的反馈混沌同步进行說明。驱动系统为：

σ（v-u）

ru-v-uw

uv-bw

反馈加在响应系统的第二个方程上

σ（v-u）

ru-v-uw-λ（v-v）

uv-bw

其中的参数值与原系统的相同，σ=16，r=45.6，b=4。

电路图中需要在lorenz基本混沌电路的基础上，完全复制一套u、v、w，再加入一个由电阻及运算放大器组成的减法器，一个由电阻及运算放大器组成的倍乘器，驱动信号加在v中。

在驱动系统中，取电容的初始值为0.1v，响应系统中，取电容的初始值为0.11v。此时，研究者关心的是v、v随着时间的推移，是否能达到同步的问题。

该文还是利用pspice软件来检验v与v是否同步的问题，用与u驱动同样的方法来观察v与v的关系曲线。

3 结语

该文研究了两种实现两个系统混沌同步的方法，最终一个系统是可以达到同步的。

参考文献

[1] 陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京：科学出版社，2003.

[2] 庞寿全，刘永建，朱丛旭.超混沌Lorenz系统的电路实现与应用[J].计算机工程与应用，2013，49（7）： 235-239.