《信号与系统》中信号运算的教学探讨

谢自梅　段新涛　岳冬利

摘要：《信号与系统》中信号的分析与处理均是对信号进行某种或一系列运算。本文对信号综合运算使用不同方法进行求解，并用MATLAB编程实现。在教学中，教师鼓励学生一题多解，灵活选用方法，注意各种方法的使用注意点及适用范围。

关键词：尺度变换；翻转；平移；MATLAB

中图分类号：TN911.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）31-0193-02

在电子信息类专业教学中，《信号与系统》是一门核心课程，只有对信号分析清楚了才能更好地分析系统，而信号的分析与处理均是对信号进行某种或一系列运算。信号运算包括信号的尺度变换、翻转、平移、相加、相乘、微分和积分[1，2]，实际应用中由上述运算组成的综合运算尤为常见，方法有多种。

一、信号的综合运算

综合运算是指当f（t）的自变量t变为±at±t0时

f（±at±t0）（a，t0是给定的正实数）的运算，可以是扩展（0

已知f（t）的波形如图1（a）所示，如果将自变量t变为-t/2+1，那么f（-t/2+1）的波形可以通过以下方法获得：

解法1：先翻转，再尺度变换，最后平移。

首先，把f（t）的波形以纵轴为中心翻转180°得到

f（-t）的波形，如图1（b）所示；然后，把f（-t）的波形以纵轴为中心，在t轴扩展为原来的2倍，得到f（-t/2）的波形如图2（a）所示；最后，把f（-t/2）的波形进行平移运算。这里需要注意的是，平移方向是向左还是向右？平移单位是多少？先将f（-t/2+1）改寫成f（-1/2*（t-2）），在已知f（-t/2）波形的前提下，只需将f（-t/2）的波形沿t轴正方向移动2个单位，得到f（-1/2*（t-2））的波形，即f（-t/2+1），如图2（b）所示。

解法2：先尺度变换，再平移，最后翻转。

首先，把f（t）的波形以纵轴为中心，在t轴扩展为原来的2倍，得到f（t/2）的波形如图3（a）所示；然后，把f（t/2）的波形向左平移2个单位得到f（（t+2）/2），即f（t/2+1），如图3（b）所示；最后，把f（t/2+1）的波形以纵轴为中心翻转180°，得到f（-t/2+1）的波形如图2（b）所示。

解法3：先平移，再翻转，最后尺度变换。

首先，把f（t）的波形向左平移1个单位得到f（t+1）的波形，如图4（a）所示；然后，把f（t+1）的波形以纵轴为中心翻转180°得到f（-t+1）的波形，如图4（b）所示；最后，把f（-t+1）的波形以纵轴为中心，在t轴扩展为原来的2倍，得到f（-t/2+1）的波形，如图2（b）所示。

解法4：端点法。

根据变换前后端点函数值不变来确定变换后波形中各端点的位置。设t1和t2对应变换前f（t）的左右端点坐标-2，2，t11和t22对应变换后f（-t/2+1）的左右端点坐标。由变换前后的端点函数值不变有：

f（t1）=f（-t11/2+1）

f（t2）=f（-t22/2+1）

由上述关系可求解出变换后信号的左右端点坐标t11和t22

t1=-t11/2+1？圯t11=-2（t1-1）=6

t2=-t22/2+1？圯t22=-2（t2-1）=-2

即f（t）的端点坐标t1=-2和t2=2分别对应变换后

f（-t/2+1）的端点坐标t11=6和t22=-2.

当然，也可改变翻转、平移和尺度变换的先后顺序得到其他三种方法，最终得到f（-t/2+1）的波形，结果相同。这里要注意一点，就是所有运算都是针对自变量t来进行的。但是端点法最为简单，特别适用于从f（±a1t±t1）到f（±a2t±t2）的运算，a1，a2，t1，t2为正常数。

二、信号运算的MATLAB实现

三、总结

信号运算是信号分析与处理的重点。本文分析了信号综合运算的求解方法，并用MATLAB编程实现。前三种解法通过改变翻转、平移和尺度变换的顺序来实现，需注意所有运算都是针对自变量t来进行的，而且要以相应的参考点为中心进行变换。解法四根据变换前后端点函数值不变来确定变换后信号各端点的位置，最为简单。总之，上述方法都可用于求解信号运算，使用者可以选择自己最擅长的方法，能够做到举一反三。

参考文献：

[1]陈后金，胡健，等.信号与系统[M].北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2008：35-40，48-50.

[2]吴大正，杨林耀，张永瑞.信号与线性系统分析[M].北京：高等教育出版社，2009：30-35.

[3]薛山.MATLAB基础教程[M].北京：清华大学出版社，2011：209-213，227-236.