关于小学数学五年级“游戏公平性”教学的思考

余建淳

摘要：如果不深思、不深刻钻研教材，不刨根问底地探寻知识的来龙去脉，教学经验丰富的教师也容易犯“科学性”的错误。在一次“中小学课堂教学有效衔接主题研讨活动”中，我便犯了这样的错误。笔者研究的内容是五年级上册的《可能性——游戏公平》。该内容要求学生能计算简单事件发生的可能性大小；经历具体的活动，体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性。笔者想通过本次研究，让学生知道游戏规则的公平性是建立在每个人获胜的可能性相等的基础上。

关键词：可能性；公平性；科学性

中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2015）13-0224-02

【案例回放】

（课的最后一个环节：自主创作）

（一）出示情境：四人玩游戏

师：“现在4位小朋友玩游戏，在商量谁先走。”

“如果现在以转盘为例，你能给他们设计一个公平的方案吗？”

（出示转盘）

（二）学生进入电脑自主创作系统设计方案

（说明：同桌两人一台电脑，电脑中有学生自主学习的课件。这环节中学生可以自主把一个圆等分若干份，可以进入画图软件涂色）

（三）汇报方案

（一般的学生都是设计成4的倍数，其中有位同学将转盘设计成了9份）

展示方案（见图）。

这时有个学生站起来说：“老师，她这个方案不公平的，这里一共9份。”

其他学生也窃窃私语、纷纷交流。

“那我们请这位学生自己介绍一下方案，好不好？”

（这个想法也是我事先没预设到的，不知道学生怎么想，先采用缓兵之计）

这位学生说：“老师，我是把它平均分9份，这样的话四个人分别选红、黄、黑、绿四种颜色，每个人转到的可能性都是2/9，如果转到蓝色重新转。”

师：“哦，她是这样想的，哪位同学明白他的意思？”

生2：“她的意思是平均分成9份，如果转到蓝色重新转一次。”

老师：“那你们看这个方案公平吗？”

生3：“我觉得是公平的，因为每人选中的可能性一样。”（大部分同学纷纷点头表示赞同）

生4：“我觉得不公平，因为那个人转到蓝色重来的话，他就多一次机会了。”

（这时又有部分同学立场发生变化了，也认为不公平了）

生5：“老师，我有不同意见。你看，如果一开始转到红色，他的可能性是2/9；如果他第一次转到蓝色，第二次选中的话，他的可能性就变成了3/9了，所以不公平。”

生6：“对对，如果他一直转到蓝色，总是重来，那他的机会很多，所以不公平。”

这时我提醒大家：“通过今天的学习，大家认为在什么情况下就会公平？”

生：“只要大家发生的可能性一样就可以了。”

这时另外一个学（下称生B）说：“我认为是公平的，因为四个人一共8份，每人都有2份，蓝色不用管，那么每个人选中的可能性都是2/8，所以是公平的。”

师：“每个人选中的可能性一样不一样？他认为每人可能性是2/8？”（时间关系，学生在迷糊中认同可能性一样）

生：“是2/9。”

师：“那我们看，黄色选中的可能性是多少？红色、黑色、绿色呢？”

生：“它们都是2/9，所以是公平的。”

……下课时间到，在仓促之中，匆匆结束了。观看结束后，一位专家（某师范学院教授，下称F教授）对此规则也提出了否定的看法。F教授说：“一个圆平均分成9份，蓝颜色是1/9，你到了最后的结论是红颜色2/9，黄颜色2/9也是公平的。但是有两三个同学站起来讲我摇到蓝色，再摇一次，也就是摇到红的就算了，摇到蓝的再摇一次，学生认为这样也是公平的。但是你老师没有提出这样公不公平，抛开了蓝颜色1/9。学生说摇到蓝的再摇一次，也是公平的，你没有告诉学生这是不公平的。学生回去就会带着这样一个疑问或想法，再摇一次也是公平的。其实再摇一次概率越来越小，乘法原理。”本来对于学生这种方案课前我是有预设的。经验告诉我这个规则毫无疑问是公平的，对学生提出每个人获中的可能性是2/9也没有多去思考和研究，所以当初也没有提出疑问，反而对生B说可能性是2/8提出了疑问。听了F教授的质疑，我当时就简直像被当头一棒，犯晕了，有点无地自容。

【反思诊断】

后来细细回味专家的质疑：一是这个方案不公平；二是转到蓝色1/9再转，选中的概率越来越小（无法计算）。便坐下来认真思考了这两个问题。

一、方案究竟是否公平？

如果学生第一转到蓝色再摇一次，是真的不公平吗？“抓阄”是否公平这个看来再明白不过的、并且全人类一直都在使用的问题，进入数学课堂后便糊涂起来了。

那么我们来看看生活中的常识：判断是否公平，应该看每个人在最初面临的情况是否一样。所有人面临的选择一样即公平。比如五个人摸A、B、C、D、E五张卡片，任何人都有同等的机会先摸和后摸，都有等同的摸到和摸不到的可能性，任何人都有挑选卡片的权利，先摸的不一定赢，后摸的不一定输。先后顺序不影响每个人的“运气”，因为不同时是绝对的，同时是相对的！——事实上，不可能做到“同时”，就算喊“1-2-3-开始”大家齐摸，也不可能做到“真正意义上的同时”。

再看上述转盘，显而易见，对于4个同学来说，每个人面临的选择是相同的，谁先谁后也不会影响获胜的可能性，谁都有1/9的可能性转到“再转一次”，毫无疑问是公平的。

那么，为什么学生认为不公平？从他们的直觉可以看到，最初他们认为是公平的，认为不公平的原因是“每个人获胜的可能性等于2/9，但是先转的同学的可能性大于2/9，而不等于2/9”。

二、可能性究竟是多少？

通过运用全概率公式计算，非常惊奇地发现，这个可能性竟然恰好等于1/4！正好是生B的直觉：“我认为是公平的，因为四个人一共8份，每人都有2份，蓝色不用管，那么每个人选中的可能性都是2/8”。下面概述思考计算过程。

获胜者获胜分两种情况：第一种情况直接转到规定色，可能性是2/9。第二种情况：第一次转到蓝色，重来。如果第二次转到了红色，那么概率由乘法原理得： × 。但第二次又要遇到两种情形即转到红色和蓝色，所以又分两种情况计算。由乘法原理和加法原理得第二种情形现在概率为：

如果第一、第二次都转到蓝色，那么需要第三次又分两种情况计算。可得第二种情形现在概率为 ×（ + （ + ））。依此类推，如果第三次还是转到蓝色，可得第二种情形概率为 ×（ + （ + （ + ）））。继续类推，可得获胜概率等于

+ ×（ + （ + （ + （ + （…）））））= + × + × × + × × × +…+ × × ×… × …（全概率公式）

= ÷（1- ）= = （无穷等比数列求和公式）

【反思感悟】

学生们的直觉竟完全正确！本应该得到老师的欢呼和赞赏！但我当时却认为他是错误的！我从教十年，至今沾沾自喜地认为自己的课堂绝对不犯科学性错误。自以为有了一定教学经验，很多时候就凭经验来决定教学，可今天给我敲响了警钟：教学相长永无止境。教到老，学到老，决不是一句空话。endprint