Cochran分解定理的应用

王丽琦　张成

摘要：本文利用Cochran分解定理证明了统计学中Fisher引理，并对正态总体的两个样本平均值之差的抽样分布的证明进行了严格的补充。

关键词：Cochran分解定理；Fisher引理

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）13-0183-02

在数理统计中，正态分布占据非常重要的地位，一方面在应用中，许多随机变量都服从或近似服从正态分布；另一方面，正态分布具有许多优良性质，便于进行深入的理论研究。而Fisher引理恰恰给出了正态总体下，最重要的统计量样本均值X和样本均值S2的抽样分布定理。Fisher引理明确提出了关于统计总体概念和统计方法目标，为现代推断统计学奠定了理论基础。鉴于此，Fisher引理的证明在学习中显得尤为重要。Cochran分解定理是谢邦杰教授在上世纪70年代末所做的一系列重要研究成果中的一部分，他的这一结果揭示了体上矩阵与行列式更本质的性质，对近代矩阵论中某些进展不大的课题，起了推动作用，同时Cochran分解定理也是方差分析的基本定理，是研究多元正态变量的二次型分布的主要依据。

定理1 （Cochran分解定理）设X1，X2，L，Xn独立同分布于N（0，1）.如果Q= X = Q ，其中Q 是秩为n 的X1，X2，L，Xn的二次型，则Q1，Q2，L，Qk相互独立，且Q ～χ2（n ），j=1，2，L，k成立的充分必要条件是n1+n2+L+nk=n

以矩阵和向量的形式表述上述定理，令X=（X1，X2，L，Xn）'，则X～Nn（0，In）.此时有Q=X′X，Qj=X′AjX，A'j=Aj，j=1，2，L，k且 ' ～χ2（n ）

定理1 （Cochran分解定理）设X～Nn（0，In），若有X'X= X'AjX，其中A'j=Aj，rank（Aj）=nj（j=1，2，L，k）.则X'A1X，X'A2X，L，X'AkX相互独立，且X'AjX～χ2（n ）（j=1，2，L，k）成立的充分必要条件是 n =n

下面利用定理1或定理1来证明如下结论：因为对于一般的正态分布都可以通过一个平移和尺度变换化为标准正态分布，所以不失一般性在下文中所涉及到定理中的正态分布都取作标准正态分布。

定理2 （费歇定理）设X1，X2，L，Xn独立同分布于N（0，1），则（1） ～N（0， ）；（2）nS2～χ2（n-1）；（3） 与S2相互独立.其中 = Xi，S2= （Xi- ）2，分别称为样本均值与样本方差。

证明 对于（1），根据独立的正态分布的线性组合仍为正态分布可直接证得。

下证（2）与（3）。

令A是n行元素均为 的正交阵，（Y1，Y2，L，Yn）'=A（X1，X2，L，Xn）'，则Y1，Y2，L，Yn独立同分布于N（0，1），且 Y = X ，Yn= 。而nS2= X -n 2，故nS2= X -n 2= Y -Y = Y

令Q1=nS2，则由上式可知Q1的秩为n-1关于X1，X2，L，Xn的二次型。而 = Xi= X'1n= 1'nX，（其中1n是分量均为1的n维向量），故Q2=n 2=n（ X'1n）（ 1'nX）=X' （1n1'n）X可视为秩1关于X1，X2，L，Xn的二次型。由于Q= X =Q1+Q2，且rank（Q1）=n-1，rank（Q2）=1

所以rank（Q1）+rank（Q2）=n。由定理1可知，Q1～χ2（n-1），Q2～χ2（1），且Q1，Q2相互独立。即n 2与nS2相互独立，从而 与S2相互独立。

定理3 设X1，X2，L，X 独立同分布于N（0，1），Y1，Y2，L，Y 独立同分布于N（0，1），而且它们均是相互独立的，记 = X ，S = （X - ）2； = Y j，S = （Y - ）2 则有（1） ～F（n1-1，n2-1）

即左端的统计量服从第一自由度为n1-1、第二自由度为n2-1的F-分布；

（2） · ～t（n1+n2-2）

证明：（1）由n1S = （X - ）2= X -n 2

令Q1=n1S ，而Q2=n1 2=n1（ X'1n）（ 1'nX）=X' （1n1'n）X可视为秩1关于X1，X2，L，X 的二次型。由于Q= X =Q1+Q2，且rank（Q）=n1，rank（Q2）=1；所以rank（Q1）=n2-1

则n1S ～χ2（n-1），令Q3=n2S ，同理n2S ～χ2（n-1），又它们均是相互独立的，则由F-分布的构造可知

= ～F（n1-1，n2-1）

（2）由于n S +n S =Q1+Q3，其中Q1，Q3分别服从χ2（n1-1）和χ2（n2-1），且相互独立，则由Cochran分解定理知，n S +n S ～χ2（n1+n2-2）

由 ～N（0， ）， ～N（0， ），又 与 相互独立，故 - ～N（0， + ）

由独立性假设知， - 与n S +n S 相互独立，因而

通过上述论述，可以看出利用Cochran分解定理对费歇定理进行证明，思路清晰、简洁明了，值得在教学中推广，同时柯赫伦分解定理在方差分析也有着较好的应用。总之，Cochran分解定理值得在教学中加以重视。

参考文献：

[1]邓集贤，等.概率论及数理统计[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]郭明乐，黄旭东.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2011.

[3]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.endprint