欧拉公式在含参量积分中的应用

何其祥

摘要：欧拉公式是复变函数里一个著名而又简单的公式，它将定义和形式完全不同的指数函数与三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其应用性质架起了一座桥梁，特别是对某些类型的积分很是实用。本文将通过实例介绍了该公式在含参量积分中的应用，欧拉公式的应用可以大大简化计算的复杂性。

关键词：欧拉公式；三角函数；积分；含参量积分

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）15-0149-02

一、引言

1748年，欧拉在其著作中陈述出公式：eix=cosx+isinx，其中x为任意实数，i为虚数单位。这就是著名而又简单的欧拉公式，它自于复指数函数。可以容易得到如下公式：

该公式给出了指数函数与实三角函数的联系，从而就有了在某些含三角函数的积分中应用此公式把积分变为指数函数的积分的可能，并能使计算简化，先看下例。

从上例中，我们可以看出用欧拉公式的来计算积分比直接采用分部积分进行计算更为简便。此外，该公式在含参量积分中有许多应用。

二、欧拉公式在含参量积分中的应用

1.含参量正常积分。

例2.计算含参变量积分。

于是有：

可以看出，本例中先引入含参量正常积分，再通过交换积分次序后利用欧拉公式一下算出两个积分，也要比用分部积分法简单。

2.含参量反常积分。有些反常积分同样可以利用欧拉公式计算，可以使计算简化。

例3.计算含参变量反常积分。

三、小结

从以上例子可以看出欧拉公式可以用来计算一部分含参量的积分，并能使计算大大简化。当然，欧拉公式也可以用来计算一般的定积分、不定积分等，这里不再赘述。

参考文献：

[1]姜志基.欧拉公式及其应用[J].甘肃教育学院学报（自然科学版），1997，（1）：62-65.

[2]徐光甫，张邦基.欧拉公式中的数学美[J].东疆学刊，1998，15（4）：33-34.

[3]赵永强，申玉发，何文杰，易炜.欧拉公式的一个应用[J].河北省科学院学报，2006，23（2）：1-4.

[4]李劲.欧拉公式eix=cosx+isinx的几种证明及其在高等数学中的应用[J].河西学院学报，2008，24（5）：1-6.