行列式的计算方法小结

孙黎明+许秋滨

摘 要 文章从行列式的定义出发，通过实例来介绍常用的行列式求解的方法如定义法、三角行法、归一法、降阶法，加边法、数学归纳法等。

关键词 行列式 计算 数学归纳法

中图分类号：O17 文献标识码：A   DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.11.022

Calculation Method Summary of Determinant

SUN Liming， XU Qiubin

（College of Science， Nanjing Audit University， Nanjing， Jiangsu 211815）

Abstract Starting from the definition of the determinant， to introduce common methods for solving the determinant as defined in law， triangle line method by way of example， normalization， reduction method， plus side method， mathematical induction， etc.

Key words determinant; calculation; mathematical induction

行列式的计算是线性代数的一个重点内容，也是学习的难点内容。行列式的计算有一定的规律和技巧可寻。本文通过一些实例来对常用的计算行列式的方法进行总结，通过分析行列式的结构特点来找到解决它们的方法。

计算行列式的总体思想。行列式总体来分有两种类型：（1）低价的行列式;（2）高阶的行列式。

对低价的处理方式，直接应用行列式的定义或性质来进行计算。高阶的处理方式形式多样，我们重点来看这部分内容。

在计算行列式中，通过适当的方法，使行列式里面含有尽可能多的零，越多越好。下面来具体讨论下行列式的计算方法。

1 定义法

按某行（列）展开的定义。

=  +   + … +   =

例1 设，求

解：

分析：定义法比较明了，直接应用定义来操作。

2 化三角形的方法

利用行列式的定义和性质把行列式转化成上三角形式或下三角形式，形式如下：

（1）         （2）

例2

解：

3 归一法

元素排列有规则的  阶行列式，每行（列）元素之和相等，把所有的列（行）都加到第一列（行），然后利用定义和性质进行计算。

例3 计算 解行列式

解：

例4

解：

4 降阶法

运用行列式的定义和相关理论把高阶行列式转化为低价行列式来进行计算。

例5 计算阶行列式

解：根据行列式的定义，将按第一列展开，则

5 加边法

在原行列式的基础上，增加一行一列且保持行列式的值不变，增加的元素一般为0和1构成，称为加边法。

例6 计算 阶行列式

解：

从第二行开始，每一行都减去第一行得

若划去第一行和第一列得到是一个对角行列式，如果能把第一列的-1 消去，那么行列式就得到求解。

从第二列开始，将各列的（ = 1，2，…，）倍加到第一列

6 递推法

把行列式通过适当的变换化为同样形式和比其阶数更低的行列式，从而建立递推公式，求出原行列式的值。

例7 计算阶行列式

解：将按第一行展开得 = 2

推得 =  = … =  = 1

从而 = 1 +  = 2 +  = … =  +  =  + 1

7 拆行（列）法

将行列式的某行（列）写成两个（列）或多个元素之和，从而将行列式分成两个行或多个行列式进行计算的方法，称为拆行（列）法。

例8 计算阶行列式

解（1）若 = ， = （ + （））

（2）若 ≠ ，把分成两个行列式之和

（1）

（2）

（1）€祝ǎ？）（）得 =

8 数学归纳法

利用自然数 有关的数学归纳法来进行计算，常用于行列式值的证明。

例 9 证明：

证明：

当 = 1时， = ，左边等于右边，结论成立。

当 = 2时，，结论成立。

假设对阶数小于的行列式，结论都成立，即 = 。

对阶数为的行列式，按最后一列展开有

= 2

= 2（）（）

= 2（）[（）]

= （）（）

=

故对一切结论都成立。

9 范德蒙行列式法

利用范德蒙行列式计算行列式的值。

例10 计算阶行列式

解：引入变量使之变成范德蒙行列式的形式

（）是关于的次多项式，的系数为与（）中系数比较得。

10 析因子法

行列式中含有变量，那么此时行列式为一个关于的多项式（），对行列式进行适当的变换，求出多项式的互素的一次因式，使得（）与因式乘积（）下列关系成立（） = （），从而求得 = （）。

例11 计算行列式

解：为关于的多项式（）当 = €？时

当 = 时（）= 0。

从而多项式（）的因式为，，，。从行列式中可知多项式为4次多项式，故 = （）（）（）（）。

令 = 0，  = ，求得 = ，

故 = （）（）（）（）。

行列式的形式多种多样，方法比较多，但是只要掌握计算行列式的总体思想，根据具体问题具体对待，仔细观察行列式构造的特点，做适当的变形或几种方法的总合来进行计算，造出更多的零，转化成已知的方法，从而进行求解。

参考文献

[1] 北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 王品超.高等代数新方法[M].徐州：中国矿业大学出版社，2003.

[3] 卢刚.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint