追溯高中数学美的源泉 助力高中数学教学

张健

摘要：高中学生还不是发明家，但不一定未来不是。从学生到发明家有个过程，在高中階段对学生适时地进行创造美的意识培养，应是这个过程中不可缺少的一环。数学的产生源于美，数学的发展趋于美，因此培养学生对数学美进行鉴赏、发现的能力以及创造美的意识成了我们从事数学教学工作的人的重要任务，这就要求我们在教学活动中要时时处处、不懈努力地为学生展示数学中的美，鼓励学生大胆发现数学中的美，最终形成创造数学美的意识，只有这样才能更好地完成素质教育的任务。

关键词：美的发现；美的培养；美的创造

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）30-0230-02

凡接触过数学的人，都有感受到美的经历。在数学教学中，使学生了解数学的美学价值，提高审美情趣，是数学课程目标的重要组成部分。数学美是数学本身的某种客观品性（如简单性、对称性、相似性等）被人感知而产生认可的心理体验。古希腊数学家普洛克拉斯说：“哪里有数，哪里就有美。”德国数学家彭加勒说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美。”在高中数学中处处展现着数学的美，教师在数学教学中正确把握数学美，引导学生去认识美、发现美、欣赏美、创造美，找出发挥数学美的功能的途径，将会有效地提高数学教学的效果，提高学生的数学素养。追溯高中数学美的源泉，助力高中数学教学是每一个数学教师应尽的责任，更是素质教育的必然要求。

一、把努力发现高中数学教材中美的诸多品性作为我们课前准备的出发点

1.数学的产生源于美。我们都知道人类知识的产生是人类心理活动的结果，而人的心理活动是人脑对客观现实的能动反映。人的大脑天天都在接受大量的外界刺激，但真正能够留下来，经得住我们进行分析、综合并上升为理论知识的刺激却不多。那么到底哪些刺激被保留下来了呢？我认为应该是那些对人脑作用之后给人以美的感受的刺激。而这些富有美感的刺激能够成为形成知识的一分子，还要经得起人类实践的检验以确定其是否有用之后，才最终流传下来，因此知识是美的。那么作为人类文化知识重要组成部分的数学，也应该而且当然是富有美感的。

2.数学本身的发展完善趋于美。数学知识结构的组建体现着美感。人类最早认识的数是自然数、正数、零，以后才有了负数，这就是对称美的一种体现。复数的产生出现于求形如x2=-1的方程的根的问题。我们知道该方程在实数范围内无解，而要让它有解，必然引入使它的平方等于-1的新数——i.复数产生的关键一点是对方程x2=-1“有解”与“无解”的认识，这又体现出对称美的作用。进一步看，复数的研究内容与实数的研究内容的相似，又体现出了它们极端的统一性，给人以和谐美的感受。可见数学知识随着人类对美的追求在不断完善和发展，而同时与之伴随而来的副产品——数学思想方法又何尝不具有美的因素呢？分解与组合的思想、数形结合的思想、割与补的思想、特殊化与整体性思想，甚至静与动的思想等等。

3.发现教材美的诸多品性能够达到课前准备的目的。由以上分析可以发现我们上课所用的课本应是前人的思维在感受美的条件下的产物。它本身并不是美，所以教材中所内含的美的品性需要我们去发现。发现它的美的因素，就等于找到了它之所以现在还存在于课本上的原因，就等于清楚地看到了前人为之用尽心力进行思考的理由，当然就能更深地把握教学大纲中所要求我们达到的教学目的，所要仔细分析的重点与难点问题，因为这正是前人在美的感召下已经达到的目的，已经排解了的重点和难点问题。例如看过高一代数第一章函数一节的人，无不为函数符号“y=f（x）”的简单之美而感叹不已，它已简单到不能再简的地步了，甚至可以说它就是函数定义最美的“速写”：不论变量x在某个范围（定义域）内如何变化，在f（对应法则）的“加工制作”下，与另一个范围（值域）内的变量y产生了联系。这个符号正是体现出了函数的三个组成部分之间的那种依存关系，这也是函数这节课要讲的重点问题。另一方面，要真正体会它的简单之美，还在于“f”的万能性。它能代表所有的函数，不论它是有解析式的，还是没有解析式的，也不论是连续的，还是分段的，等等，这就要求上课时要举出形形色色的例子来反映这一点，而要列举的函数不正是课本上的例题吗？这是因为前人正是总结了上述形形色色的函数实例，发现了它们本质上的相似之处，或者已体验了它们的相似美之后，才抽象出了那个如此简单的函数符号！

二、把对学生进行发现、认识数学美的能力培养作为课堂教学的主要任务

多数学生普遍感到数学太抽象，不容易理解，解题总是模仿老师不行，不模仿也不行，总感到对它花去了许多不见成效的时间而不值得。与之对应的是多数教师也认为教数学太疲惫，太费脑筋，讲多了时间不允许，讲少了学生不会，那只能是增加授课时间，抢占学生的自习时间。如何改变这种教与学的被动局面，如何走出这显而易见的恶性循环？我认为关键是让学生体会到所学知识已经具有的美的因素，唤起学生为获得美感去主动学习的激情。即在四十五分钟内，在老师的指导参与下，浓缩走过前人为获得美的知识所走过的艰难而有意义的历程。学生为何会出现上述左右为难的尴尬局面呢？关键是由于我们给予学生的往往是前人奋斗的结果——知识，它本身并不一定就是美，激励前人奋进的美的因素以及奋进过程中所享受到的美感，我们没能让学生亲身经历，而灌输给他们的都是些枯燥而抽象难懂的符号、公式及原理等，学生哪来的学习热情？

例如在立体几何第一章“三垂线定理”一节的讲授中，我采取了以下安排：

第一，在引入这节课要继续研究线线垂直的判定的必要性之后，先出示了以下两个练习题，让学生按照以前证明线线垂直的方法进行证明：

已知点P为△ABC所在平面外一点，点O是点P在平面ABC上的射影.

练习1：如果点O为△ABC的垂心，试证PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB；

练习2：如果PA⊥BC，PB⊥AC，试证O为△ABC的垂心.

（这一步的目的是让学生进一步体会前面证明線线垂直都要不厌其烦地证明线面垂直的那个过程，而这个过程也正是前人想克服该问题的弊端推出三垂线定理之前所经历过的）

第二，与学生一起分析并指明两个练习所证明的问题本质：练习1是“若斜线PA的射影AO与其在同一平面内的直线BC垂直，那么斜线PA也与BC垂直”；练习2是“若斜线PA垂直于平面内的直线BC，那么斜线PA的射影AO也与直线BC垂直”。然后把这两个问题加以抽象得到两个命题（即三垂线定理及其逆定理的叙述），接着提出“如何证明这两个命题”的问题，并在黑板上作出课本中的插图，学生一定会发现答案已经显示在两个练习题的证明之中了。

（这一步重演了前人经历困惑发现了类似问题的惊人的相似之处，感受到它们相似美后最终导致定理的产生过程）

三、把对学生进行创造数学美的意识培养作为完成素质教育任务的重要桥梁

高中学生还不是发明家，但不一定未来不是。从学生到发明家有个过程，在高中阶段对学生适时地进行创造美的意识培养，应是这个过程中不可缺少的一环。由前所述，数学的产生源于美，数学的发展趋于美，因此培养学生对数学美进行鉴赏、发现的能力以及创造美的意识成了我们从事数学教学工作的人的重要任务，这就要求我们在教学活动中要时时处处、不懈努力地为学生展示数学中的美，鼓励学生大胆发现数学中的美，最终形成创造数学美的意识，只有这样才能更好地完成素质教育的任务。

给学生所提供的美的素材不是无处可寻的，问题是我们能否发现问题中所蕴含的美的品性，而不一定就是极富美感的图形或式子。比如上面所述的“三垂线定理”一节，在课堂的末尾，进行课堂小结和作用布置以后，我就提出了下面的问题让学生课下思考：“前面我们在讲垂线段与斜线段长定理时，已发现点P在平面ABC的射影O为△ABC的外心时应满足的条件，今天我们又知道了点O为△ABC的垂心时所满足的一个条件，那么点O为△ABC的内心时又满足什么条件？如果PA、PB、PC两两互相垂直，点O为△ABC的什么心？这些问题都涉及到点P在平面ABC的射影与△ABC的关系，课下我们应该仔细研究研究。”你看，问题的提出显然与这节课很有联系，学生不会觉得突然，而且问题本身又带有明显的统一性，暗示着如果认真研究，将会得到和谐美的心理体验，这正是创造数学美的前奏。及时地鼓励与指导学生去创造数学中含有美质的东西，应该是我们在素质教育中起主导作用的一种体现。学生发现数学中极富美感的问题，往往局限于表面现象美的陈述，如果老师能够及时地帮助他们对问题本身所含美的本质进行分析，学生才能获得深层次的数学美的体验。

有人提出把美的教育作为现代教育改革的突破口，我同意这种观点，因为抓住了这一点，我们的课前准备将踏踏实实地落到了实处；对学生实施数学美育的培养是一个复杂的渐进过程，不能一蹴而就，要坚持经常和长期的渗透。它需要广大数学教师在教学的实践中不断地探索研究，数学的美丰富多彩，广博精深，渗透的途径和渠道颇多，有待我们进一步地探索。数学的美就在我们的身边，只要我们认真地去品味，其中的价值将是不可估量的！

参考文献：

[1]云杉.高中数学教学中的美学渗透[Z].

[2]吴振奎，吴旻.数学中的美[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.