渐近非扩张映像隐式迭代序列强收敛性

张学茂

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州225300)

不动点理论是非线性分析的一个广泛重要分支，研究不动点理论一个经典方法是利用一系列压缩映像的不动点或迭代逼近渐近非扩张映射的不动点［1］．1972 年，Goebel－kirk［2］首先引入渐近非扩张映像的定义，并证明了T在E中有不动点，诸多学者关于渐近非扩张映像不动点的逼近问题在Hilbert 空间、一致凸空间和Banach 空间中进行了深入研究［3－5］，其主要迭代序列有:

当x是Hilbert 空间或一致光滑的Banach 空间，若{αn}满足:则迭代序列具有强收敛性．受此启发，在一致Gateaux 可微的Banach 空间中给出了关于渐近非扩张映像隐式迭代序列xn=αnf(xn)+(1－αn)Tnxn，n=0，1，2，…，具有强收敛性，对强收敛的条件进行了统一处理，并证明其强收敛于不动点p∈F．完善和改进了许多学者的相关结果．

1 预备知识

定义1［1］E是x的一个非空集合，T:E→E是一映像，则称T为渐近非扩张映像．如果存在一个实数列使得:

定义2［5］E是x的一个非空集合，T:E→E称为一致L－lipschitz 映像．如∀x，y∈E有‖Tnx－Tny‖≤L‖x－y‖，L＞0 时总成立．

注 若T具有序列的渐近非扩张映像，则T是一致L－lipschitz 映像，其中

定义3［6］称E的是x的Gateaux 可微(或光滑的)．若∀x，y∈u{x∈E| |x| | = 1}，则极限都存在．

引理1［1］设E是一实Banach 空间，E*为E的对偶空间，C是E的一非空闭凸子集，R+为非负实数集，J:E→2E*，由下列定义E的正规对偶映像J(x)={f∈E*:＜x，f＞=‖x‖·‖f‖，‖x‖ =‖f‖，x∈E，则∀x，y有:

引理2［7］设E是一致光滑的Banach 空间，k是E的一非空闭凸子集，T:k→k是一非扩张映像，且F(T)≠φ，f∈ΠC，若定义Q:ΠC→F(T)，则Q(f)是下列变分式不等式的解:

引理3［7］设E是一致凸的Banach 空间，C是E一闭凸子集，T:C→C是有不动点的一渐近非扩张映像．若xn→x∈C及(xn－Txn)→y，则(xn－Txn)=y，特别若y=0，则x是T的一个不动点．

引理4［7］设E是一致光滑的Banach 空间，k是E的一非空有界闭凸子集Tn:k→k是渐近非扩张映像，则T在E中有不动点

引理5［7］设E是一致凸的Banach 空间，C是E一闭凸子集，T:C→C是有不动点集:≠φ 非扩张映像，设{an}⊂(0，1)，β∈［0，1］及{tn}∈R+满足:

2 主要结论

定理1 设E是实的且一致凸的Banach 空间，并且范数G可微，C是E的非空闭凸子集，Tn是一族渐近非扩张映像，使得且，设αn∈(0，1)的一实数序列满足为压缩映像，压缩系数设:α∈(0，1)，S={S(t)≥0}满足:(i)∩F由定义为隐式迭代序列:

所以{xn}有界，同时{Tnxn}与{f(xn)}有界且

由引理4 知:有唯一不动点p∈F(T)．

(T)可知强收敛于不动点p．

［1］ Browder F E．Fixed point theorems for noncompact mappings in Hilbert space［J］．Proc Nat Acadsci USA，1965，53:1272－1276．

［2］ Chang S S．On Chidume’s open questions and approximation solutions of multivalued strongly accretive mappings equations in Banach spaces［J］．J Math Anal Appl，1977，216:94－111．

［3］ 张石生，杨莉，柳就爱．关于Banach 空间非扩张半群的强收敛定理［J］．应用学与力学，2007(10):1146－1156．

［4］ 赵良才，张石生．Banach 空间中非扩张映像不点的粘性逼近［J］．数学研究与评论，2007(11):919－924．

［5］ Tae－Hwa Kim．Strong convergence of modified Mann ieerations for asymptotically nonexpansive mappings and semigroups［J］．Nonlinear Analysis，2006，64:1140－1152．

［6］ Goebel K，Kirk W A．Topics in Metric Fixed Point Theory［M］．Cambridge:Cambridge University Press，1900．

［7］ Reich S．Asymptotic behavior of contractions in Banach space［J］．J Math Anal Appl，1973，44:57－70．