如何在《概率统计》课程中渗透数学建模思想

刘桂兰 季红蕾 黄素珍

摘要：《概率统计》是高等院校理工、经济管理、金融类等专业本科阶段的一门必修课程，它在现代科学技术中占有重要的地位，也是一门应用性很强的工具课。《概率统计》课程中丰富、独特、抽象的理论和方法，并与其他数学分支互相渗透与结合，已广泛地应用于几乎每一科学领域之中。本文着重从概率论教学中的几个环节出发，以培养学生应用知识为宗旨，以问题解决为目标，以案例研究为手段，来探究各个教学环节的数学建模思想，以提高学生对实际问题的分析和解决能力。

关键词：概率统计；数学建模思想

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）05-0274-02

《概率统计》是研究随机现象统计规律的一门学科，其相关理论与方法广泛应用于各个领域。《概率统计》课程在工科各专业开设时，教学内容多，教学课时少，往往注重数学公式的推导和计算能力的训练，侧重基本方法的讲解，但忽略了该课程中所蕴含的数学建模思想。此外，学习《概率统计》时，大二学生对自身所学专业和这门课程有什么关系不是很清楚，不明白这么课程有什么用途，导致学生缺乏学习动机，造成课题教学与实践应用的脱节。因此在《概率统计》课程教学中，如何发挥数学建模思想，构建理论与实践的桥梁，成为该课程教学者必须面对的重要挑战。

数学建模是应用数学知识解决实际问题的一种方法，是一种训练学生思维和应用能力的手段，在教学与实际生活中都具有重要的地位。《概率统计》课程中蕴含着丰富而独特的数学建模思想，国外一些知名大学教学中就非常注重数学思想的讲解，注重案例与教学软件的结合，注重学生的实践性环节。因此，在《概率统计》教学中渗透数学建模思想，具有非常重要的研究意义。

藉此，本文从《概率统计》课程中概率论部分的基本教学环节出发，从概率论中的概念形成阶段、例题讲解阶段和习题应用阶段，通过分析现实生活中的问题，探索解决途径；借助数学方法来寻求解决方案，培养学生的探索兴趣，提高学生实际应用的能力。无疑，建模思想间接意义上而言，也是引导学生形成创新意识、动手意识的良好途径，有利于培养高素质的应用型人才。

一、在概念形成过程中渗透数学建模思想

条件概率是概率论中一个重要的但难以理解的概念。一方面，因为现实生活中的大多数问题都是在一定条件下发生的，因而条件概率很重要。另一方面，条件概率的概念比较抽象，学生理解比较困难，遇到实际问题不知如何表达构成教学难点。因此，下面我们从解决实际问题来探究条件概率的定义及其计算公式。

1.问题提出。假设甲、乙、丙三人得到一张巴西足球世界杯门票，他们商定按甲、乙、丙的顺序抽签确定这张门票的得主。已知甲没有抽到门票，求丙抽到门票的概率是多少？

从上面的分析看到，已知甲的抽取门票的结果会影响丙抽到门票的概率。

上述问题从两个角度分析，引出条件概率的定义及其计算公式，突破难点和重点，同时也可以培养学生分析问题、解决问题的能力，从具体到抽象的概括能力。

二、在例题讲解过程中渗透数学建模思想

例题是教学过程的一个重要环节。例题的作用不仅巩固所学知识，而且也培养学生运用知识解决问题的能力。因此，在讲授理论知识的同时，要选择与现实问题有密切关系的例题，引导学生进行分析，用所学知识去解决，这样，学生就可进一步理解运用所学知识解决实际问题的基本思想；有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。

1.问题提出。罐中包含b个黑球与r个红球。随机地抽取一球。看了颜色再放回，并且还要加进c个与所抽取球的颜色相同的球和d个相反颜色的球，反复地进行，其中c和d是任意的整数。c和d可以取为负数。特别当c=-1，d=0时，则我们的抽样是无放回抽样；当c>0，d=0时，则我们得到一个描述如传染病现象的模型[3]；当c=0，d>0时，曾由弗雷德曼提出用来描述安全运行的抽样。现在我们重点讨论当c>0，d=0时情形下，求第n次取得黑球的概率。

2.问题分析。本题既是个基本题，也是个典型题。此问题是分步进行的，且后一步的结果受上一步结果的影响，因此，对上一步的结果分类，继续用表示、分解、转化的方法处理即可。

此例告诉我们有放回地取球，各次取球的概率是一样的。这个结论在实际生活中一直在应用：如抓阄。另外，此例还告诉我们一个如传染病现象的粗略的模型。

三、在习题课中渗透数学建模思想

传统习题课，只讲教材中习题的解法，很少强调应用方面，这对培养学生的创新能力不利。为此，选一道典型的应用性问题为例，用所学概率知识来解决，这样，不仅学生掌握了应用所学知识解决问题的思想方法，而且巩固了所学的知识。

1.问题提出。《概率轮与数理统计》（第四版 沈恒范编 高等教育出版社）中习题：将3个球随机投入4个盒子中，求任意三个盒子各有1球的概率。

2.问题分析。上述问题简称球入盒问题。假设盒中可容纳任意多个球。把3个球随机放入4个盒子中，目的是观测每一个球在盒子中的分配情况，因此只有把3个球都放入盒子中，才算完成一次试验。每个盒子可容纳多少个是不限的，每一种放法对应一个基本事件。由于每个球均有4中可能放入一间房中，因而根据可重复排列知，基本事件总数

3.问题解决。解法一：任意三个盒子各有1球，等价于每盒子最多只有1个球，这是只有4×3×2种放法。每种放法都对应于一个基本事件，这样，由古典概型可计算概率设A={每个盒子最多有1球}，则样本空间所含基本事件总数为43，事件A含有的基本事件数为解法二：球入盒问题中，随机试验的目的是观测每一个球在房子中的分配情况，因此只有把3个球都放入盒中，才算完成一次试验，这样，也可以把这一随机试验看成是需要3步才能完成的复合试验，并且这3步试验是相互独立地，由于问题中关心的是每个球是否放入某指定房间。因此，某指定的房中恰有个人即指重伯努利试验中事件恰好发生次，相应概率为

注1：可直接写出样本空间进行求解。

注2：常遇到的可转化为球入盒问题的情形有有着广泛的应用。例如：（1）m个人的生日问题相当于m个球放入356个盒子中的不同排列；（2）把m个人按其年龄和职业来分类，于是类就相当于盒而人就相当于球；（3）基因的分布；等等。

总之，概率论与数理统计课程融入数学建模思想不仅可以搭建起概率统计与数学建模的桥梁，而且可以使概率与统计知识得以加强，应用领域得以拓广，对数学建模的运用和发展发挥重要的作用。从而激发学生运用数学知识解决实际问题，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]沈恒范.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育山版社，2004.

[2]姜启源，谢金星，等.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2004.