光学教学中杨氏双缝衍射的数值模拟

刘永欣

摘要：考虑到杨氏双缝实验中狭缝宽度的影响，采用惠更斯-菲涅尔衍射积分公式对高斯激光光束经过杨氏双缝后在观察屏上的光强分布进行了计算模拟，本文详细分析了双缝距离、狭缝缝宽、光束束腰宽度等对衍射图样的影响。

关键词：光学;杨氏双缝;衍射;数值模拟

中图分类号：G642.41     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）23-0174-02

一、引言

杨氏双缝干涉是光学中最重要的内容之一。通常情况下，为了计算方便，几乎所有的教材都对两狭缝作了理想化的处理，即假定两狭缝缝宽非常狭窄，近似为零，在此假设下，两束光束发生相干叠加（即干涉），其条纹必定是等间隔均匀分布的[1]。针对此简化模型的数值模拟已有人做了一些研究[2，3]。然而，实际中的狭缝都有一定宽度，所以都不可避免的存在多光束干涉的现象。此时用分波阵面法计算光程差只能粗略描述接收屏上的光强分布，不够精确。因此，将缝宽因素考虑进去的杨氏双缝实验的数值分析将更具实际意义。另外，为了降低测量误差，减少视觉疲劳，不少院校已经将钠灯光源改进为激光光源[4]。本文将利用惠更斯-菲涅尔衍射积分公式对激光高斯光束经过杨氏双缝后在接收屏上的光强分布进行计算模拟，详细分析双缝距离、缝宽、束腰宽度等对衍射图样的影响。该结果可对实际实验中如何选取合适的参数提供理论指导和帮助，也有助于进一步加深学生对杨氏双缝实验的理解，提高教学质量。

二、理论推导与数值模拟

假设如图1所示双缝位于z=0平面，双缝的透过率函数可表示为：

其他，（1）

式中，2a为双缝的距离，b为狭缝的宽度。采用入射激光束为高斯光束，其在z=0平面的场分布为：

式中，w  为高斯光束束腰宽度。利用惠更斯—菲涅尔衍射积分公式，可得z=z平面的场分布为：

进而可得任意z平面的光强分布I（x，y，z）=|E（x，y，z）|2。利用mathcad对上式进行数值模拟，可得光强分布结果，其中所使用参数若无特别说明分别是：波长λ为633nm，束腰宽度w  为1.5mm，z为0.8m。横坐标x轴的范围均为（-2mm，+2mm），纵坐标y轴的范围均为（-2mm，+2mm）。

图1（见上页）是缝距2a为1.6mm时不同的狭缝宽度b情况下高斯光束经过双缝的衍射图样，其中（a）b=0.003mm，（b）b=0.1mm，（c）b=0.3mm。由图可知，高斯光束经过双缝后呈现出等间距的明暗条纹的分布。但随着狭缝宽度的变大，菲涅尔衍射的影响也增大，使得明暗相间的条纹变得较模糊，可参见图1（c）。另外由图1（a）、（b）可知，当狭缝缝宽b=0.003mm，0.1mm时，其z平面的光强分布差别不大。因此，在实验中我们可以使用0.1mm的狭缝宽度去模拟狭缝极小情况下的杨氏双缝干涉的实验。但缝宽大于0.1mm时，其实验效果将较不理想。其中缝距2a=1.6mm（a）b=0.003mm，（b）b=0.1mm，（c）b=0.3mm.

图2是狭缝宽度b为0.1mm时，缝距2a不同的情况下高斯光束经过双缝后的衍射图样，其中（a）2a=1.2mm，（b）2a=0.8mm.由图1（b）与图2（a）、（b）比较可见，随着缝距的变小，条纹变粗，并且相邻明（暗）纹的间距也变大，这与杨氏双缝的干涉结果也是相一致的。其中b=0.1mm（a）2a=1.2mm，（b）2a=0.8mm.

在实验操作时，会根据实验需要对激光光束进行扩束，扩束后的光斑尺寸的大小也会影响光束经过双缝后的光强分布。图3给出了不同束腰宽度的高斯光束经过双缝后的衍射图样，其中（a）w  =2.5mm，（b）w  =0.5mm。由图1（b）与图3（a）、（b）比较可知，随着光束束腰宽度的变小，光束经过双缝后的条纹变得也越短，但相邻明（暗）纹的间距基本不变。因此可通过扩束改变入射光斑的尺寸进而改变衍射条纹的长短。其中b=0.1mm，2a=1.6mm（a）w  =2.5mm，（b）w  =0.5mm.

三、结论

本文利用惠更斯-菲涅尔衍射积分公式对激光高斯光束经过杨氏双缝后在接收屏上的光强分布进行了计算模拟，详细分析了双缝距离、缝宽、束腰宽度等对衍射图样的影响。通过比较发现，在文中给定参数前提下，使用0.1mm的狭缝宽度即可较好模拟狭缝极小情况下的杨氏双缝干涉实验。其所得结果对实际实验中如何选取合适的参数提供理论指导和帮助，也有助于进一步加深学生对杨氏双缝实验的理解，提高教学质量。

参考文献：

[1]马文蔚，等.物理学[M].第五版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]谭毅.杨氏双缝干涉实验的仿真研究[J].实验技术与管理，2012，（3）：91-93.

[3]梁齐，许晓琳，王明虎.光干涉实验的计算机模拟[J].大学物理实验，2003，（3）：61-63.

[4]彭小兰，王红成，刘敏霞.杨氏双缝干涉实验的改进[J].广东技术师范学院学报（自然科学），2012，（2）：6-9.endprint