以概率的眼光看世界

闫成海

摘要：数学文化是人类文明的重要组成部分，教师在概率统计课堂中增加数学文化的元素，既增加了课堂趣味又增加了课堂的育人功能，教会学生以概率的眼光看世界。

关键词：数学文化;概率课堂;生活实例

中图分类号：G642.41     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）23-0172-04

概率统计是研究随机现象统计规律的一门数学分支，与现实世界有着紧密的联系。教师在课堂教学中增加与生活有关的例子，既能增加课堂的趣味性，也可对学生进行数学文化的渗透。

一、顺序·公平

抽签问题也是古典概率中一个历史问题。袋中有a只白球，b只黑球。从中依次摸球，试求第k次取出的球是白球的概率。

设：A=“第k次取出的球是白球”k=1，2，…，a+b

解法一：把a只白球和b个黑球看作是不同的，若把抽出的球依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件数就等于a+b个球的所有全排列共有（a+b）！，事件A包含的基本事件特点就是在第k个位置上排的一定是白球，共有a（a+b-1）！。因此，

解法二：把a只白球和b个黑球看作是不同的，由于考虑第k个球的情况，所以只需考虑从a+b中抽出k个球即可。因此若把抽出的k球依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件数就等于个球的所有选排列共有A，事件A包含的基本事件特点就是在第k个位置上排的一定是白球，共有aA    。因此，P（A）=  =   k=1，2，…，a+b.

从上述两种解法中可以看出抽到白球的概率是，这个值与顺序k没有关系。对待同一个题目，看待问题的角度不同使用的方法也就有所不同，这就要求我们多角度、多方向地分析问题，这样就既可以增加对题目的理解，又可以开阔我们的思维。这个题目的模型在我们生活中也是随处可见。为了公平常常会进行抽签，这个值与k没有关系，也就是说抽签与顺序无关。比如，n张彩票中有一张奖券，每个人摸到的概率在理论上概率是相等的。当然有人会说，前面都抽完了后面还有什么意义，这就我们对概率的理解问题。概率就是我们对未知事件的一种估计，它最终的结果要么发生，要么不发生，只有这两种情况，概率大的时候就说明事件发生的可能性大，容易发生。

在讲完全概率公式后，又把这个问题提出来，从不同角度继续分析。

设在n张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？

解：记Bi=第i个人摸到奖卷。

根据题意可得：

根据全概率公式可得：

这个结果仍然跟我们利用古典概型的结果一致，再次说明了抽签与顺序没有关系。这也就希望大家以后在抽签的时候能“绅士”些！

二、感性·理性

讲完独立性概念，我就会出这样的课堂讨论：

一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的。令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}。对下列两种情形，讨论A与B的独立性：

1.家庭中有两个小孩。

2.家庭中有三个小孩。我会首先问学生猜猜这个结果，课堂总会是一片笑声。我说，我们每个人对待任何事物都要有自己的观点。下面看看你们猜的结果是否正确？

分析：情形1的样本空间为：

Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}

故

此种情形下，事件A、B是不独立的。

情形2的样本空间为：

Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男），

（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}

故

此种情形下，事件A、B是独立的。

通过分析会得出：家庭中有两个孩子与三个小孩对于A、B事件它的结果不一样。我就会说，感性的东西并不可靠，可靠的是我们的理性。而这种可靠的理性就是建立在我们严格的逻辑推理基础之上。数学课不仅仅是一门枯燥的定理公式，而是教会我们一种理性的思维方法。

三、偶然·必然

贝努力概型是学习完独立性之后一个非常重要的概型，也会涉及到概率中两个重要的原理，小概率事件发生原理和小概率事件不发生原理。在每次试验中，事件A发生的概率为p（0

（用数学证明小概率实际发生原理）

设B=“在n次试验中事件A发生”

A=“在第i次试验中事件A发生”i=1，2，…，n。

可看作是相互独立的，从而

原理的解释，如：高速行驶在高速公路上的汽车，我们认为在一次中不发生事故，但是在一个时间段必然发生事故，那降低事故的办法就是，降低p的值。就是说，我们规范行驶，以减少在交通中的事故数。换句话说，这两个原理也解释了我们常说的偶然与必然。小概率事件发生的概率非常小，一次发生的概率几乎是0，可以看作是偶然事情，但是在众多中必然会发生。偶然中有必然，必然中伴随着偶然。我们再来分析彩票问题[5]。从01，…，35中选7个号码.其中7个基本号码，1个特殊号码。中奖规则如下：

一等：7个基本号码;

二等：6个基本号码+1个特殊号码;

三等：6个基本号码;

四等：5个基本号码+1个特殊号码;

五等：5个基本号码;

六等：4个基本号码+1个特殊号码;

七等：4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码。

这个一等奖奖金是500万，是我们梦寐以求的。

根据古典概率计算可知一、二、三、四、五、六、七等奖的中奖率分别为：

从上面可以得出，不中奖的概率为0.966515，中奖概率为0.033485，中奖概率小于0.05，说明中奖是一个小概率事件。也就是说中500万的概率非常的小，可以认为在一次抽奖中是不发生，但是当买的人非常多的时候，必有一人中奖。因此，我们应该理性地看待彩票问题，任何人都想着一夜暴富，不劳而获。我们从概率角度可以看出每个人中500万的概率是0，因此对待彩票我们可以看作是一次娱乐活动，中了高兴，不中就当是为公益事业做出自己微薄的贡献。

四、方差·风险

方差和期望是随机变量非常重要的两个数字特征。在方差课堂教学中，首先给出一个引例：甲、乙两射手各打了6发子弹，每发子弹击中的环数分别为：

甲：10，7，9，8，10，6

乙：8，7，10，9，8，8

问哪一个射手的技术较好？

对于这个问题，首先教会学生如何分析问题和在分析问题的顺序。在比较了两组数据后，同学们肯定是想到了数学期望，结果发现两个甲乙两人的均值都为8.3环，此时问题陷入了僵局。在均值一致的是时候要反映两人的水平就需考虑稳定程度，也就是两人的水平的稳定性，如何反映稳定性呢？就需要考虑他们进一步比较平均偏离平均值的程度，通过具体的实证分析引入了了方差的概念。

再给出方差的一个例题后会分析下面的例子：

某人有一笔资金，可投两个项目——房地产和商业，其收益都与市场状态有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2，0.7，0.1。通过调查，该投资者认为投资房地产的收益X（万元）和投资商业的收益Y（万元）的分布列为：

X 11 3 -3 Y 6 4 -1

P 0.2 0.7 0.1 P 0.2 0.7 0.1

请问：该投资者如何投资为好？

解：我们首先考察数学期望（平均收益），可得

E（X）=4.0，E（Y）=3.9。从平均收益来看差别不大。下面我们计算它们的各自方差，他们的标准差为：σ（X）=3.93 σ（Y）=1.81.

因为标准差（方差）愈大则受益的波动大，从而风险也大。所以从标准差角度来看投资房地差的风险比商业的风险大一倍多。若收益与风险权衡，还是商业较好，虽然收益少了0.1万元，但是风险缺少了一半以上。生活中随时需要我们进行抉择，那我们进行抉择的时候不仅需要权衡收益还需权衡风险。2007年股市给中国人深深的上一课，当股市经历了2006年疯涨之后，2007年的股市有如坐山车从2000多点疯涨到6000多点结果又回到了起点。这个过程中众多国人已经不知道风险为何物，只知股市遍地是黄金，最终众多的积蓄化作泡影。概率论起源于一场赌博，一场因不可抗拒因素而被迫中止的赌博如何分配赌资的问题。随着配赌资问题的解决而产生了一门新的学科——概率论。谁也不会想到，它竟然是现代数学一个主要的分支，在我们的生活中处处存在。或许这就是数学魅力吧！我们在学习的过程中不仅仅是学习它的知识更重要的是要学习他的思想方法，学会以概率的眼光看世界！