巧用类比策略讲解多元隐函数的偏导数

王海英 杨筱珊 何挺

摘要：类比策略是一种间接推理的方法，也是一种常见而重要的数学思想方法，本文研究了类比策略在多元隐函数的偏导数教学中的具体应用.

关键词：类比策略;多元隐函数;偏导数

中图分类号：G642.0    文献标志码：A    文章编号：1674-9324（2015）46-0193-02

类比是一种间接推理的方法，是一种常见而重要的数学思想方法，也是一种科学研究方法.数学中的类比策略是指，为了解决数学问题B，运用与B有某些类似特征的数学问题A，推测出问题A、B可能有某些类似的结论，可以用解决问题A办法去解决问题B.

关于一元隐函数导数的研究成果有很多[1-6]，比如，文[1]给出了一元隐函数求导数的一种方法：方程两边直接关于自变量求导.文[2]又给出了求一元隐函数导数的另外两种方法：显化法、微分法.多元隐函数求偏导数是高等数学教学的一个重点，也是一个难点，下面就具体说明类比策略在多元隐函数的偏导数教学中的应用.

一、通过例题复习回顾一元隐函数求导数的方法

例1 求由方程x2+y=1所确定的隐函数的导数.

解 （一）显化法

由x2+y=1，得y=1-x2，则y'=-2x.

（二）方程两边直接关于自变量求导法

将方程x2+y=1两边对x求导，并把y看作复合函数，得2x+y'=0，则y'=-2x.

（三）微分法

对方程x2+y=1两边同时求微分，得2xdx+dy=0，

则

二、类比策略讲解多元隐函数求偏导数

一般地，如果x，y，z满足一个方程f（x，y，z）=0，并且在一定条件下，当x，y取某区域内的任一组值时，总存在唯一的z值满足方程f（x，y，z）=0，则称方程f（x，y，z）=0在该区域内确定了一个隐函数.从而我们就可以类比一元隐函数求导数的方法：显化法、微分法、方程两边直接关于自变量求导法，去求由方程f（x，y，z）=0所确定的二元隐函数的偏导数.

例2 求由方程ex=xyz所确定的隐函数的导数.

分析

解 （一）显化法

由ex=xyz，得

（二）方程两边直接关于自变量求导法

将方程ex=xyz两边对x求导，并把z看作复合函数，得e=y（z+xz'x），

将方程ex=xyz两边对y求导，并把z看作复合函数，得0=x（z+yz'y），

（三）微分法

对方程ex=xyz两边同时求微分，得

exdx=yzdx+xzdy+xydz

对于多元隐函数情形，也可以应用类比方法求解其偏导数.

例3 求由方程组x=rcosθy=rsinθ所确定的隐函数的偏导数r'x，r'y，θ'x，θ'y.

解 （一）显化法

由x=rcosθy=rsinθ，得x=，则

（二）方程两边直接关于自变量求导法

将方程组x=rcosθy=rsinθ两边对x求导，并把r，θ看作复合函数，得

1=r'xcosθ-rsinθθx'0=r'xsinθ+rcosθθx'，

将方程组x=rcosθy=rsinθ两边对y求导，并把r，θ看作复合函数，得

（三）微分法

对方程组x=rcosθy=rsinθ两边同时求微分，

得  dx=cosθdr-rsinθdθdy=sinθdr+rcosθdθ

解得

所以

三、总结

知识的类比，实际上也就是新旧知识的迁移;方法的类比，也就是对知识的归纳与总结[7].数学教学中若能恰当地应用类比策略，不仅能突出问题的本质，而且往往能使学生达到启发思路、触类旁通、举一反三的效果，从而提高教学质量，同时有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力.

参考文献：

[1]四川大学数学学院高等数学教研室.高等数学[J].第4版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]雷安平.求隐函数偏导数的几种方法[J].贵州大学学报：自然科学版，2010，27（5）：7-10.

[3]倪敬能.关于隐函数求导问题的归纳与总结[J].潮湖学院学报，2002，4（3）：3-5.

[4]高霞.一类隐函数的求导方法[J].科技信息，2008，（4）：235.

[5]姚健康.由方程组所确定的隐函数的求导问题[J].贵阳学院学报，2006，1（1）：2-6.

[6]蔡东平.一元隐函数求导方法[J].电子制作，2013，（12）：160.

[7]庄中文.“类比”在高中数学教学中的应用[J].教育教学论坛，2012，（7）：156-158.