G2连续非均匀B样条闭合曲线迭代拟合算法

吴海东，高 健，李 思

(1.广东轻工职业技术学院 汽车系，广东 广州 510300;2.广东工业大学 机电工程学院，广东 广州 510006)

G2连续非均匀B样条闭合曲线迭代拟合算法

吴海东1，2，高 健2，李 思2

(1.广东轻工职业技术学院 汽车系，广东 广州 510300;2.广东工业大学 机电工程学院，广东 广州 510006)

基于盈亏修正思路，提出一种二阶连续B样条闭合曲线迭代拟合算法，解决闭合曲面截面线重构问题。该算法在非均匀B样条曲线迭代拟合基础上，加入曲线闭合和二阶连续性等约束，迭代得到曲线控制点以拟合闭合曲线。最后以扭曲叶片截面线轮廓实例验证了算法有效性。

二阶几何连续性；闭合B样条曲线；迭代算法；扭曲叶片

0 引言

B样条曲线曲面拟合是计算机辅助几何设计、逆向工程、再制造工程的基础性问题。传统上，为得到B样条曲线需要解算线性方程组来反求控制点，但这种全局性插值方法，一个插值点的微小变化，会引起反求过程的重新进行和反求结果的全部变动，失去了B样条曲线局部性特点[1]。基于此，Akemi、周国华等人[2-3]提出了一种用遗传算法对数据点参数化和节点矢量进行优化配置的方法，与传统算法相比，同样精度时用遗传算法的控制点数要少很多，但存在收敛速度慢而导致的计算速度慢问题。齐东旭等[4-5]直接迭代计算插值曲线曲面的控制点，提出了样条曲线拟合的盈亏修正方法，并给出了均匀B样条曲线迭代格式。蔺宏伟[6]提出了非均匀B-spline曲线曲面的迭代拟合算法，并用矩阵理论证明了迭代极限曲线曲面插值于给定数据点集，算法具有局部性、收敛性、保凸性等优点。史利民等[7]基于文献[6]提出了NURBS曲线曲面拟合数据点的迭代算法。这些迭代算法的计算速度快，对于复杂曲面的拟合优势明显。

B样条拟合曲线往往是在曲线拟合完成之后再去对其进行光顺处理，这就牺牲了曲线拟合精度[8]。本文提出一种B样条曲线迭代算法，即在迭代非均匀B样条曲线算法基础上，加入曲线闭合和二阶几何连续性等约束条件，拟合与光顺处理同步进行，得到一条二阶连续且闭合的非均匀B样条曲线。

1 B-spline G2曲线几何连续性条件

1.1 B-spline曲线表达式

k次B样条曲线定义为：

其中：di(i=0,1,…,n)为控制点；Ni,k(u)(i=0,1,…,n)为k次B样条基函数；节点矢量U满足：u0≤u1≤…≤un+k+1。

1.2 计算节点矢量

故节点矢量U定义为：

U=[u0,u1,…,uk,uk+1,…,un,un+1,…,un+k+1].

1.3 几何连续性条件

本文在处理曲线光顺性问题上采用与参数选取无关的几何连续性来度量。采用Beta约束定义曲线几何连续性,即：

(1)

首先，要满足G0连续，就要满足曲线首尾控制点重合，即：

d0=dn.

(2)

然后，要满足G1连续，k次B样条曲线首尾连接点切矢量为：

(3)

(4)

将式(2)、式(3)和式(4)代入式(1)中，得到B样条曲线G1连续性条件为：

(5)

其次，要满足G2连续，B样条曲线在首尾连接处二阶导矢为：

(6)

(7)

将式(3)、式(4)、式(5)、式(6)和式(7)代入式(1)中，得到闭合B样条曲线G2连续性条件为：

(8)

2 连续闭合曲线的迭代重构算法

2.1 算法描述

为了拟合闭合且二阶连续的B样条曲线，在迭代算法中加入闭合和G2连续性条件。具体迭代过程如下：

(1) 迭代之初，令：

(9)

(10)

(11)

(12)

(2) 进一步，记第j个控制顶点首次调整量为：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(3) 依次类推，如果已得到第t次迭代后的B样曲线pt(u)，记第j个控制顶点的第t+1次调整量为：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

在迭代过程中通过调整β1和β2的取值和迭代次数来得到曲线，既保证了迭代精度又保证了G2曲线连续。

2.2 算法修正

在迭代中，发现曲线首尾连接点d0和dn左右分别受两对控制点(d1，dn-1)和(d2，dn-2)的影响，导致这些点误差变大，影响拟合结果。具体分析如下：

(25)

基于上述不足，将算法作如下调整，即在每一次迭代中，令：

(26)

3 实例验证

本文以扭曲叶片截面轮廓线为实例，取其横截面轮廓线上45个测点，用Visual C++编写该算法计算B样条曲线控制点，并拟合B样条曲线，最后用Imageware检测拟合曲线与原始模型的误差。

图1、图2分别为扭曲叶片横截面轮廓线原始图形和用本文算法迭代20次后拟合的叶片横截面轮廓线。

图1 叶片横截面轮廓线数据点

图2 迭代20次后拟合的叶片轮廓线

图3是在Imageware中检测迭代20次后拟合曲线与原曲线之间的误差对比。结果表明迭代20次后曲线拟合最大误差为0.033 1 mm，最小误差为0.005 mm，平均误差为0.006 5 mm。

将得到的IGES文件格式导入UG，以检验生成的IGES文件是否满足二阶连续性要求。图4为截面线首尾连接处的曲率梳，从图4可以看出，拟合的扭曲叶片截面线曲率梳平滑过渡。

4 结论

本文提出了一种迭代拟合非均匀B样条曲线的算法。算法中，加入了曲线首尾闭合及几何连续的二阶Beta约束条件，并基于误差约束对迭代算法做了修正，提高了拟合曲线精度。最后，用扭曲叶片横截面轮廓测点进行了曲线拟合，验证了此算法的有效性。

图3 误差分析结果

图4 截面线首尾连接处的曲率梳

[1] 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京：高等教育出版社，2013.

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[3] 周国华，王国昭.基于遗传算法的B样条曲线和Bezier曲线的最小二乘拟合[J].计算机研究与发展， 2005，42(1)：134-143.

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[5] 齐东旭.关于计算机辅助几何造型中数学方法的若干注记[J].北方工业大学学报，1991，3(1)：1-8.

[6] 蔺宏伟，王国瑾，董辰世.用迭代非均匀B-spline曲线(曲面)拟合给定点集[J].中国科学，2003，33(10)： 912-923.

[7] 史利民，王仁宏.NURBS曲线曲面拟合数据点的迭代算法[J].数学研究与评论，2006，26(4):735-743.

[8] 尹小奎，李奇敏，叶仲泉，等.NURBS曲面光顺方法综述[J].图学学报，2012，33(5)：13-18.

[9] Les Piegl, Wayne Tiller.非均匀有理B样条[M]. 赵罡，穆国旺，王拉柱，译.北京：清华大学出版社，2010.

An Iterating Fitting Algorithm ofG2Continuous and Closed Nonuniform B-Spline Curve

WU Hai-dong1,2, GAO Jian2, LI Si2

(1. Department of Automobile, Guangdong Industry Technical College, Guangzhou 510300, China; 2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China)

Based on the profit-loss modification, an iterating fitting algorithm ofG2continuous and closed nonuniform B-spline curve is provided to solve the problem of cross section profile reconstruction of closed curves. Combined the constraints of closed curve andG2continuity, the control points of the target curve are calculated to fit the cross section profile of closed surface by the iterating method of nonuniform B-spline curves. As a result, the validity of the algorithm is verified by a reconstructed example of cross section profile for twisted turbine blade.

G2continuity; closed nonuniform B-spline curve; iterating algorithm; twisted turbine blade

1672- 6413(2015)06- 0008- 03

国家自然科学基金资助项目(51175093)；广东省重大科技项目(2010A080401003)

2015- 02- 02；

2015- 08- 16

吴海东(1969-)，男，湖北蕲春人，讲师，在读博士，研究方向：复杂曲面修复。

TP391.7

A