分段函数的教学实践与探索

丁黎明，赵 冬

（淮北职业技术学院基础部，安徽 淮北 235000）

分段函数在高等数学理论中是一个非常重要的函数，在学习函数的极限、连续、导数与积分等问题中，都会涉及到相应的分段函数，分段函数的例题与习题占有相当多的比重［1－2］。由于分段函数在分段点处的特性变化导致其具有独特的性质和特殊的作用，往往被学生难以理解和掌握，尤其在判断分段函数的连续性和可微性方面更有难度，教学过程中如果处理不当很容易使学生混淆概念，甚至会使学生学习积极性和主动性丧失，降低兴趣，不利于后续教学内容的学习。

1 从直观的感觉引入分段函数

1.1 观察几何图形

1.2 观察解析表达式

1.3 引导启发学生

（1）从函数图象可以看到图1、图2、图3有着共同的特点，函数图象是一段一段的，有些段之间还有间断或跳跃。

（2）从函数解析式可以看到y1、y2、y3有着共同的特点，解析式复杂了，有两个及

以上表达式，而且还要表明相应的自变量取值，并用大括号表示。

图1

图2

图3

1.4 总结归纳概念

分段函数：函数在其定义域内不同的取值范围内，用不同的数学解析表达式来表示的函数。

高等数学关于一元函数的极限中涉及到左右极限，关于函数的连续中涉及到左右连续，关于导数的概念中涉及到左右导数。对于这些概念的学习都出现了分段函数的讨论，分段函数是含有非常特殊代表性的一类函数，它能在很多方面非常好的展现函数的性质，而且用分段函数讨论能够更直观、更形象的理解这些抽象的概念。因此，搞清楚分段函数在这些问题的处理，对于学好高等数学尤为重要。

2 用丰富的生活背景激发学生的学习兴趣

分段函数虽然是个数学概念，但在日常生活中可以遇见很多关于分段函数的模型，所以在讲这一概念时可采用课内课外相结合的方式，布置学生在课外通过网络、书籍等方法寻找搜集具有分段函数的实际问题。学生选择的问题可能会是各种各样，但通过学生自己亲自参加教学的过程，既有利于考查学生对数学基本概念、基本知识的掌握，又能体现学生灵活运用数学知识处理实际问题的能力，提高学生学习数学的生活化，激发学生的学习兴趣。

比如出租车收费办法：行驶路程在4千米以内（含4千米）按5元收取费用；超过4千米，在10千米（含10千米）以内，按1.6元／千米加收；超过10千米，按2.5元／千米元收取费用。

再比如手机话费收取办法：2分钟以内（含2分钟）统一收取0.2元，超过2分钟的部分每超过一分钟收取0.5元。

类似的还有煤气收费办法，银行利息计算办法，汽车在启动、行驶、刹车阶段的速度等。当然分段函数的原型也可以延伸到其他的学科领域，如自然科学、工程技术领域、经济领域、统计领域、医学领域等等。

3 引导学生挖掘蕴含的数学思想方法

分段函数既可以用解析法表示，也可以用图像法表示，因此数形结合的思想方法得到了充分的体现。在分析具体数学问题时，由函数关系或数量关系来刻画相应的图形，或者由直观的图形来阐述数量之间的函数关系，数量与图形结合考虑问题是数形结合思想方法所主张的一种思维方式。

在人类社会的早期生产实践中，人们就将数和形结合起来应用了，比如丈量长度、测量面积、体积等。17世纪法国的数学家笛卡尔建立了坐标系，人们开始用代数知识去研究几何图形，创立解析几何，实现了数量关系与空间形式的完美结合。以后，在数学研究的许多进展中，数量与图形经常综合起来考虑，并在一定的条件下相互转化［3］。

在分段函数的教学过程中必须有意识地引导学生理解并掌握数形结合方法，增强学生的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。挖掘数形结合的数学思想方法，一是“由数想形”，根据分段函数的结构特征，刻画出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征、规律来研究解决分段函数的具体问题，可以把抽象的数量关系转化为直观的图形，易于显露出问题的内在联系。通过准确把握分段函数的图象特征，借助几何图形直观解题，还可以避免一些复杂的计算。二是“见形思数”，根据分段函数的图象特征、规律转化为数量关系的问题，构造出与之相应的分段函数关系，常可化难为易，获得简单易行的解题方案。

4 设计拓展问题加深学生对分段函数的认识

问题思考一：分段函数是多个函数吗？

在课堂教学中必须强调分段函数在其整个定义域内不是多个函数，而是一个函数。因此，分段函数的图象只有一个，作图时不能作在多个坐标系中，只能作在一个坐标系中。分段函数的定义域是各个子定义域的并集，在其定义域的不同子区间内，用不同的数学解析式来表示；分段函数的值域也是各段函数解析式值域的并集。

问题思考二：分段函数的基本类型有几种？

分段函数有两种基本类型：（1）分段点两边的函数解析式相同，但分段点处的函数值单独定义（如图3）；（2）分段点两边的函数解析式不相同（如图1与图2）。

问题思考三：分段函数的分段点可以有多少个？

分段函数的分段点可以是有限个（如图1、图2、图3），也可以是无限个，如电学中的周期函数矩形波、锯齿波等。

问题思考四：分段函数是初等函数吗？

按照初等函数的定义可知，初等函数能够用一个解析表达式表示，但据此定义并不能推出分段函数就是非初等函数，对于许多学生来说经常混淆这个概念。实际上，分段函数一般为非初等函数，但也有些分段函数是初等函数，给出一个简单的判别方法。

引理［4］：设函数y＝f（x）是定义域D上的分段函数，若它的每一段解析表达式都是初等函数，且在所有的分段点处都连续，则函数y＝f（x）是定义域D上的初等函数。

例如：由引理可知函数y1是初等函数，事实上y1＝x，x∈R。

又如：判断分段函数

是否为初等函数？

事实上，f（x）＝x∈ （0，3）。

问题思考五：分段函数在分段点处极限的求法？

（1）若分段点左右两边的函数解析式相同时，只要求该解析式在分段点处的极限即可。

例如：函数y3在x＝－1处的极限，即－1＝－2。

（2）若分段点左右两边的函数解析式不相同时，要分别求左右两个极限。

例如：函数y2在x＝0的极限，

由此可知，分段函数在分段点处的左右极限不一定相等，从而进一步理解左右极限的概念，以及左右极限与该点极限的关系。讨论分段函数在分段点处的连续及导数时也要类似讨论。

问题思考六：分段函数在分段点处的极限、连续及可导的关系？

若分段函数在分段点处可导，则在分段点处连续，进而在分段点处存在极限。反之，若分段函数在分段点处存在极限，则在分段点处不一定连续；若分段函数在分段点处连续，则在分段点处不一定可导，这是个令学生困惑的问题［5］。

例如：（1）函数y1＝在分段点处连续，但不可导。

因为在分段点处左右两边的导数不相等（在求左右导数时，必须用导数定义分别求）。

（2）函数y3＝在分段点处极限存在，但不连续。

因为在分段点处的极限尽管存在，但不等于该点的函数值，从而在分段点处不连续。

5 结语

数学教学的真正目的不仅仅是简单地传授知识，授业解惑，最重要的是要精心设计教学过程，引导学生主动参与教学，加深学生对数学的真正认识，培养学生独立分析问题、解决问题的能力，强化学生科学探究的思想意识，全面提升学生的数学素养。

［1］同济大学数学教研室.高等数学（上册）［M］.第六版.北京：高等教育出版社，2007.

［2］华东师范大学数学系.数学分析（上册）［M］.第四版.北京：高等教育出版社，2010.

［3］顾泠沅，朱成杰.数学思想方法［M］.北京：中央广播电视大学出版社，2004.

［4］温明豪.分段函数与初等函数［D］.深圳：深圳大学，2002.

［5］彭娟，郭夕敬.分段函数在分段点处的导数［J］.高等数学研究，2009，5：19－21.