全体三阶反对合矩阵的表现形式*

文/王燕如 李宾 林冰雁

1．引言

文［1］给出了全体2阶反对合矩阵，但对于与3阶对合矩阵 (A=±I)可交换的反对合矩阵，即全体3阶反对合矩阵并未给出具体形式。本文将初步讨论全体3阶反对合矩阵。

定义1设A是数域F上的一个n阶方阵，若A2=－I，则称A是一个反对合矩阵，这里I是n阶单位矩阵。

引理1［2］设A是复数域上的一个n阶反对合矩阵。若r的特征值都为i(或Ir)时，那么它只能是纯量矩阵r(或－iI);如果A既有特征值 i，又有特征值 －i，那么它相似于对角矩阵diag {iIr，－iIn－r}，这里的r(1＜r＜n)是特征值i的几何重数，Ir是r阶单位矩阵。

根据引理1，对于三阶反对合矩阵，不难得到:

引理2 设B是复数域上任意三阶反对合矩阵，则B可以分为三类:

2．主要结论

定理1 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=i，b13≠0，则

可以得到如下的方程组:

已知b13≠0，由tr(B)=b11+b22+b33=i可得:

又设 (b11，b12，b13，b23)=(p，q，r，s)，r≠ 0

由(5)和(10)得:

由(4)得:

由(7)得:

由(1)得:

所以

当b13=0时，则由 (5)得:b12b23=0，从而b12=0或b23=0，以下分三种情况讨论。

定理2 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=i，(b12，b13，b23)=(0，0，0)，则

证明:由 (1)得b11=±i，由 (2)得b22=±i，由 (3)得b33=±i。

又tr( B )=b11+b22+b33=i，B可分为四种情况:

(i )当 b11=i，b22=i，b33= － i时;设(b31，b32)=(p，q);由( 6)得:b21=0

( ii) 当 b11=i，b22= － i，b33=i时;设(b21，b31)=(p，q )，p≠0;

( iii) 当 b11=i，b22= － i，b33=i;设(b21，b31)=(0，q);

由( 8)得:b31=0

( iv) 当 b11= － i，b22=i，b33=i;设(b21，b31)=(p，q);

由( 8)得:b32=0

类似可以证明以下定理3和定理4结论。

定理3 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=i，(b12，b13，b23)=(0，0，p)，p≠0，则

定理4 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=i，(b12，b13，b23)=(p，0，0 )，p≠0，则

类似于tr(B)=i的情形，可得到tr(B)=－i的3阶反对合矩阵。

定理5 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=－i，b13≠0，则

定理6 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=－i，(b12，b13，b23)=(0，0，0)，则

定理7 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=－i，(b12，b13，b23)=(0，0，p)，p≠0，则

定理8 设B是复数域上一个三阶反对合矩阵，若tr(B)=－i，(b12，b13，b23)=(p，0，0)，p≠0，则

综上，我们得到了全体3阶反对合矩阵。

［1］王洁，黄益生．与对合矩阵可交换的反对合矩阵 ［J］．三明学院学报，2013，30(4):7－12．

［2］黄益生，陈椰婷．反对合矩阵的相似对角化 ［J］．三明学院学报，2013，30(2):1－5．

［3］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数［M］．北京:高等教育出版社，1988．