运用马尔科夫链进行学习状态变化趋势分析的一种方法*

◆刘歌 刘凤祥 杜春雁 杨琪 田振清

运用马尔科夫链进行学习状态变化趋势分析的一种方法*

◆刘歌 刘凤祥 杜春雁 杨琪 田振清

探讨基于马尔科夫链对学生群体学习成绩状态变化过程及其趋势进行分析的一种方法，给出具体应用实例。不难推断，通过对研究对象变化过程的细致刻划，可给出群体状态向量间接近或偏离的速度，据此判断教学方法改革的迫切性与适应性。

马尔科夫链；学生群体；学习状态

1 引言

马尔科夫链是一个建立在随机过程上的数学模型。其本质是一种概率估计，它将状态序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初始概率及状态之间转移概率的研究，预测事物的未来状态[1]。在教学过程中，诸多研究对象的形成过程可以看成或近似为随机过程，出于研究者对研究对象发展变化状况分析的需要，使得马尔科夫链在教学领域中得到广泛应用[2]。

运用马尔科夫链方法时，对于学生群体学习状态变化趋势的过程分析建立在两次相邻测验的基础上，若采用同一标准将不同班级前后两次测验成绩分成不同等级，给出状态向量，依据等级的变化情况，可以构建出每一班级的转移矩阵。将第一次测验成绩的等级分布作为初始向量，在假设教学水平稳定的情况下，由初始状态向量经转移矩阵估算出每次转移后每个班级的状态向量，从而对学生群体学习状态变化趋势进行过程分析、比较判断[3]。

已有的论文研究主要关注变化的最终状态，进行的教师教学质量评价是终结性评价。由于缺乏对状态变化过程的描述，其应用价值有限。运用马尔科夫链分析方法，通过对研究对象变化过程的细致刻划，可给出研究对象的接近或偏离的速度，据此判断教学方法改革的迫切性与适切性。

2 二维状态向量分析方法

为简化考虑，本文以二维状态向量为例，通过两个群体的比较实例，阐释相应分析方法。不难想象，该方法可方便地推广到三维、四维乃至更高维的状态向量变化趋势分析上。

设M、N分别表示两学生群体的状态向量，每一向量可用其模长和方位角加以描述，比较两向量应同时考虑模长及其夹角。图1给出两状态向量M、N间位置关系。

图1 状态向量M、N模长及夹角位置关系示意图

作者：刘歌、刘凤祥、杜春雁、杨琪，内蒙古师范大学在读研究生，研究方向为远程教育；田振清，通信作者，内蒙古师范大学教授，主要从事远程教育研究（010022）。

若|M|=|N|，并∠MON≈0，则意味两个学生群体此时学习状态向量最为接近；

若|M|≠|N|，并∠MON≠0，则意指两个学生群体此时学习处于不同状态，夹角越大，表明这两个群体差距越大。

设有甲乙两个班级，学习状态向量变化趋势大致存在三种情况：

甲班初始成绩很好，但学习成绩变化处于下降状态，而乙班初始成绩低于甲班，但乙班的成绩变化处于上升状态，经有限次转移，状态逐渐接近；

甲班学生不仅初试成绩好于乙班，并且成绩一直处于上升状态，而乙班一直处于下降状态（或保持基本不变），

经有限次转移，两班状态偏离程度愈加增大；

甲、乙两班成绩无论是上升或是下降变化小、幅度随机波动，虽经多次转移变化，状态仍相对保持不变。

1）设甲乙两班现都有20名学生，对他们的学业成绩进行测验，简单地将测得的成绩分为两个等级（60分以上为及格，60分以下为不及格）。甲班前测18名学生及格，2名学生同学不及格；后测有16名学生及格，4名学生不及格（有2名学生由及格到不及格）。以M表示甲班学业成绩的状态向量，则M0=(0.9,0.1)，M1=(0.8,0.2)，由此可构建转移矩阵：

利用转移矩阵G1，可推算出甲班学生后续的成绩状态向量（见表1）。

乙班前测及格3人，不及格17人；后测及格5人，不及格15人。以N表示乙班学业成绩的状态向量，则N0=(0.15,0.85) ，N1=(0.25,0.75)，则乙班的转移矩阵：

同理，利用转移矩阵G2，可推算出乙班学生后续的成绩状态向量（见表1）。

计算状态向量M、N的模长、夹角、模差||M|-|N||等数据，如表1所示。

依表1，绘制向量模长及夹角变化过程示意图，得图2（a）～（d）。

表1 两状态向量间接近—相等—偏离数据表

由图2（a）表示起始时两向量间夹角较大；（b）显示转移中甲乙两班状态向量夹角逐渐变小，模差的绝对值也逐渐减小；（c）表明经过5次转移后，两班状态向量夹角、模差的绝对值最为接近，说明两班此时学习状态基本相同；（d）意味依此继续转移下去，甲乙两班状态向量夹角又逐渐变大，此时乙班成绩超过甲班成绩。

2）设甲班前测及格11人，不及格9人，进行后测，及格人数为13人，不及格7人；乙班前测及格10人，不及格10人，后测及格人数为8人，不及格为12人，则甲乙两班转移矩阵分别为：

状态向量变化趋势如表2所示。

表2 两状态向量间偏离增大数据表

依表2，绘制向量模长及夹角变化过程示意图，得图3（a）～（c）。

图3（a）～（c）显示，甲乙两班起始状态向量不同，且甲班的成绩不仅初始成绩好于乙班，每次转移后的成绩都呈更好的趋势，而乙班每次转移后的状态变得越来越差，随转移次数的增加，两向量夹角愈加增大。

3）若依转移矩阵估计甲乙两班的状态向量，每次转移后两班状态等级变化幅度都不是很大，会出现甲乙两班的状态向量之间的夹角、模差的绝对值变化很小（或基本保持不变）的情况，意指两班学生的学习状态相对保持不变，不出现接近或偏离的态势（图略）。

图2 两状态向量间趋向相等后差距变大的过程

3 结语

上述讨论简单地将两班学生的成绩划分为两个等级，给出二维状态向量，藉此说明分析的方法。显然，这种分析过程同样可以应用于将状态划分为三等级（三维向量）、

四等级（四维向量）乃至更多的等级（更高维向量）的情况，且分析的班级亦不必局限为两个群体。

图3 两状态向量间偏离加大

运用马尔科夫链分析方法，通过对不同群体变化过程趋势的细致刻划，可估计状态向量间接近或偏离的速度[4]。当速度较大时，提示教学方法改革的迫切性；至于相对缓慢的速度，则说明教学方法的效应并不显著，需要相当长的时间才会出现一定程度的积累性后效。

[1]夏秀芳,房圆圆.马尔可夫预测模型在人力资源预测方面的应用[J].青岛建筑工程学院学报,2001,22(2):75-77.

[2]惠淑荣,董建国.马尔科夫链在教学评价中的应用[J].高等农业教育,2009(10):60-63.

[3]郑勇辉,郑石英,孙骏.基于马尔科夫链的研究型教学模式教学成效评价分析[J].高等教育研究学报,2012(6): 61-63.

[4]田振清,边琦.关于学生复杂连锁反应时间分布模型参数估计的一种方法[J].内蒙古师范大学学报:自然科学汉文版,2014,43(4):448-453.

Method of Learning Process State Change Trend Analysis based on Markov Chain/

/LIU Ge, LIU Fengxiang, DU Chunyan, YANG Qi, TIAN Zhenqing

This article discusses a method for the analysis based on Markov chain to the students learning state change process and its trend, and gives a concrete example.

Markov chain; student groups; learning state

G642.0

B

1671-489X(2015)18-0096-03

内蒙古师范大学教学研究项目“形成性评价工具软件的设计开发与应用研究”（137153）。

10.3969 /j.issn.1671-489X.2015.18.096