非静态混合细分法

闫飞一， 郑红婵

(西北工业大学理学院应用数学系，陕西 西安 710129)

非静态混合细分法

闫飞一， 郑红婵

(西北工业大学理学院应用数学系，陕西 西安 710129)

提出了一种含参数b的非静态Binary混合细分法，当参数取0、1时，分别对应已有的非静态四点C1插值细分法及C-B样条细分法。用渐进等价定理证明了对任意 (0,1]区间的参数其极限曲线为C2连续的。从理论上证明了细分法对特殊函数的再生性，及其对圆和椭圆等特殊曲线的再生性，并通过实验对比说明了对任意的[0,1]区间的参数，该细分法都能再生圆和椭圆等特殊曲线，而与其渐进等价的静态细分法则不具备该性质。将该细分法推广为含局部控制参数的广义混合细分法，从而可以达到局部调整极限曲线的目的。

非静态混合细分法；C-B样条；圆，椭圆；局部参数

细分过程定义了一种在初始多边形(网格)上按照一定的细分规则通过不断加细而得到的光滑极限曲线(曲面)，按照细分规则是否随着细分次数的变化而改变，可将细分法分为非静态细分法和静态细分法；按照极限曲线是否经过初始控制顶点，又可将其分为插值细分法和逼近细分法。在几何外形设计和机器制造中，圆、椭圆等特殊曲线具有特别重要的地位，而大多数静态细分法不能精确构造这些特殊曲线，所以能够再生这些特殊曲线的非静态细分法成为近年来研究的热点。

由文献[1-5]可知，用非静态插值细分法可再生圆、椭圆、心形线及其他圆锥曲线等。此外，文献[6-8]介绍了圆、椭圆等特殊曲线的非静态逼近细分生成方法。逼近细分法通常具有更高的连续性，而插值细分法则可以更好地逼近初始多边形。在一定条件下，两种细分法可以相互转化甚至共同包含于一个混合细分法。文献[9-10]提到几种插值和逼近细分法相互转换的方法。文献[11-12]给出两种静态混合细分法，随着参数的改变可得到包含插值和逼近的细分曲线。但上述混合细分法不具备再生圆、椭圆等特殊曲线的性质。Jeong等[13]通过类指数样条法构造出一类含参数的非静态细分法，在特殊参数下该细分法可为插值细分法或逼近细分法，且其极限曲线可再生圆、螺线等。本文提出另外一种可以再生特殊曲线的非静态混合细分构造法，并将其推广到含局部控制参数的广义混合细分法。

1 非静态Binary混合细分法

本节在C-B样条细分法及由其推导出的一个非静态四点插值细分法基础上，构造一个非静态混合细分法。

1.1 由 C-B样条细分法得到非静态四点插值细分法

按照文献[5]提出的生成多项式方法，可由细分法式(1)的生成多项式

构造一种非静态四点插值细分法。首先引入一个2次多项式 w

k

(z)满足 w

k

其中

且：

1.2 一种非静态Binary混合细分法

图1 C-B样条细分法式(1)和插值细分法式(3)之间的关系

从而，可以将细分法式(1)改写为：

将细分法式(3)改写为：

进一步引入参数b∈[0,1]，结合式(4)～(5)可得到一个非静态混合细分法：

注：当k→∞时细分法式(6)收敛于静态混合细分法：

2 连续性分析

引理 1. 式(7)所表示的静态细分法Sa的生成多项式为其中，

引理 2. 式(6)所表示的非静态细分法 Sak的

证明. (1)由三角函数性质易证

(2) 按照同样的方法，易证式②成立。

引理4. 对任意的b∈(0,1]，生成多项式 h(z)式(8)所对应的细分法Sh是C1连续的。

证明. 记Sh的一阶差分细分法为其生成多项式为

因为：

从而由渐进等价定理[15]及细分法S的连续性与其一阶差分细分法的收敛性之间关系[16]可知引理4成立。

引理 5. 生成多项式 hk(z)式(8)所对应的细分法是C1连续的。

证明. 由引理3可得：

进而由渐进等价定理[15]得是C1连续的，故引理5得证。

定理1. 当b∈(0,1]时，式(6)所表示的非静态细分法是C2连续的；当b=0时，其为C1连续。

证明. 根据非静态细分法 Cm连续的充分条件[16]，可得当b∈(0,1]时，是C2连续的；又当b= 0时，其为已知的C1连续的非静态四点插值细分法[1]，故定理1得证。

3 函数及特殊曲线的再生性

本节将证明非静态混合细分法式(6)可再生圆和椭圆等特殊曲线。

由细分规则式(3)、(11)易得知：

类似地，可证：

引理9. 选取圆r=R上等距分布点：

为初始控制顶点，则由混合细分法式(6)所得的极限曲线为圆

图2(a)～(b)分别表示由非静态混合细分法式(6)及静态混合细分法式(7)细分 8次后所生成的细分曲线，从外到内分别表示b取0、0.4、0.8、1.0时所得的细分曲线。在同一参数下，横向对比图2(a)和图2(b)，不难发现细分法式(6)可以再生圆，在不同参数下，纵向对比图2(a)中极限曲线，可以看出再生圆的半径与参数b的大小成反比。

图2 由非静态式(6)及静态式(7)细分法细分8次后所得的曲线(从外到内b分别取0、0.4、0.8、1.0)

图3给出了图2中细分曲线相对应的曲率图。由于对任意的b∈[0,1]细分法式(6)都可以再生圆，所以其细分曲线的曲率处处相等，如图 3(a)～(d)所示，而细分法式(7)不能再生圆，因而其细分曲线不满足任意两点处曲率相等，且曲率总是在控制点处达到最大值(如图3(a′)～(d′))。

图3 图2中细分曲线相对应的曲率图

4 带局部参数的混合细分法

图4刻画了局部参数对混合细分法式(12)的极限曲线的影响，其中黑线表示初始网格，蓝线表示由细分法式(12)细分10次后生成的细分曲线。图4(a)中令所有顶点参数为0，其细分曲线插值所有的初始点；图4(b)中所有顶点参数取为1，其细分曲线逼近所有的初始点；图4(c)中相邻两个顶点参数分别为0、1，细分曲线则间隔地插值初始点；图4(d)～(f)表示对初始点选取[0,1]内不同的参数，极限曲线将随之改变。

图4 局部参数对混合细分法式(12)的极限曲线的影响

5 结 论

本文提出了一种Binary非静态混合细分法，证明了其C2连续性及其对函数和特殊曲线的再生性，并将该细分法推广到了含局部参数的广义混合细分法，通过实验对比说明了该细分法具有再生圆、椭圆等特殊曲线的能力，并用实例说明了含局部参数的广义混合细分法能够实现局部插值。在未来的工作中，可以考虑其他特殊曲线及球、椭球等特殊曲面的细分法实现问题。

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Non-Stationary BlendingSubdivisionScheme

Yan Feiyi, Zheng Hongchan
(Department of AppliedMathematics,School ofSciences, Northwestern Polytechnical University, Xi′anShaanxi 710129, China)

A non-stationary blending BinarySubdivisionScheme with a parameter is presented first in this paper. Existing four-point C1interpolating non-stationaryScheme and C-BSplineSubdivisionScheme areSpecial cases of thisSubdivision when the parameter is 0 and 1 respectively. The limit curve of theScheme is C2with any parameter in the interval (0,1], which is proved by using the theory of asymptotic equivalence. Then the abilities of theScheme with any parameter in [0,1] to reproduceSpecial functions andSomeSpecial curves,Such as circle and ellipse, are analyzed, and comparisons with the correspondingStationarySchemes are also given to better demonstrate it. At last, a generalized non-stationary blendingScheme with local control parameter is proposed, which allows local adjustment of the limit curves.

non-stationary blendingSubdivisionScheme; C-BSpline; circle, ellipse; local parameter

TP 391.6

A

2095-302X(2015)02-0178-08

2014-07-13；定稿日期：2014-09-07

国家自然科学基金资助项目(61070233)

闫飞一(1992–)，女，河南平顶山人，硕士研究生。主要研究方向为计算几何、计算机辅助几何设计。E-mail：happy01fly@163.com通讯作者：郑红婵(1971–)，女，陕西西安人，教授，博士。主要研究方向为计算几何、计算机图形学、计算机辅助几何设计。E-mail：zhenghc@nwpu.edu.cn