《角的度量》教学中的两大问题及其解决办法

刘昌银

《角的度量》的教学，是一个公认的老大难问题。北京教育学院的刘加霞教授对《角的度量》的多次前测发现，约80%的学生存在各种摆放量角器的错误。这是量角的首要问题，这个问题不解决，后续的问题不可能解决。刘教授还指出：“学生理解角的度量的本质有两方面的困难：一方面，学生看不到量角器上的‘角……另一方面，即使看到了量角器上的‘角，也不知道怎样才能使量角器上的‘角与所测量的‘角重合。”

我对错误摆放量角器的学生代表作“为什么这样摆放量角器”的个别访谈，他们都说不知道？我用阿德勒心理学中的潜意识揭示法揭示，发现原来高达80%的学生错误摆放量角器，是潜意识的原因，这个原因导致“学生看不到量角器上的‘角”和“不知道怎样才能使量角器上的‘角与所测量的‘角重合”。从这里看，刘教授讲的“角的度量的本质”是指用量角器上有度数的角去重合所测量的角，这种描述有利于引导学生正确摆放量角器。华应龙老师的做法就是：先用量角器上有度数的角去重合要量的角，并把它作为引导学生正确摆放量角器的整体思路。那具体的摆放方法应是“用量角器上的角的顶点（即中心点）去重合要量的角的顶点，用量角器上的0°刻度线去重合角的一条边，用量角器上的角的终边去重合角的另一条边。”简单地说，就是“三重合”，传统说法的“两合”，不一定是正确的摆放，有时还是错误的摆放，如苏教版教材P20.6第三图。可见，传统的“两合”的说法不利于学生正确摆放量角器。为了方便学生“三重合”，也有利于学生提升潜意识，很快看到量角器上的‘角，从而“使量角器上的‘角与所测量的‘角重合”，我还在量角器上面设计了可大可小的红角，用这个红角容易与要量的角完全重合（同时也蕴育“重合——相等”的逻辑思维），“摆放难”的问题就这样解决了。因为学生的量角器上，这个红角是由红色的0°刻度线和活动边红线组成的，所以深圳市大勘小学的陈柏汝同学用后写道：要是量角器“中间的东东（指活动边红线）拆了后，好像就不可以量角了。”这说明学生看到了红角引导他们正确摆放量角器的重要的不可替代的作用。

下面我们来看《角的度量》教学中的第二个大问题：两圈刻度量角器的读度数问题。在我的课堂上，好不容易有几个聪慧的学生学会了摆放量角器，但读度数时，大多数都读错了。如往往将40°的角读成140°，将115°的角读成65°或者75°，或者读成125°。我刚开始看到这些问题，感到乱杂无章，因此常常错误地判断学情，导致两节课教下来，学会量角的学生很少。因这些倒霉的课没有录像，无法让大家看到真实的情景，好在我现在发现了一个与我完全一样的片断：量一个开口向下的55°的角，老师点一个读65°的男生上前，老师把他的纸放在投影仪上，他把纸旋转了几十度，角的开口方向变成了基本向左，他摆放好了量角器，用手指着外圈的55°处，说：“我就看数字，是这个位置。”老师看他指的，问：“哪个位置？”男生又用手指55°处。老师用教鞭的一端点指着55°处，问：“多少度？”学生齐答55°。老师说：“我发现了几个问题”，并花了约6分钟具体讲了几个与这类错误（把55°的角读成65°）无关的问题。学生一开始就用手指角的终边是55°的位置，老师还追问：“哪个位置？”学生第二次用手指55°处，老师才最后用教鞭指着55°处，还讲了延长角的边。可见老师的判断是，学生把角的终边位置看错了或者是因为要量的角的边短了，导致该生把55°的角读成65°。老师为什么会作出这种错误判断？因为没有掌握把55°的角读成65°，“是从同一圈的180°读起”这一基本规律，因而做了很多无用功，最后还是没有解决该生的错误。

我有了这样的教训后，便开始一个一个地仔细问学生是怎么读数的，最后终于发现了以上乱杂现象的基本规律：

1. 40°的角读成140°，是最简单的两圈刻度读混。

2. 115°的角读成65°，是从另一圈的0°读起。

3. 115°的角读成75°，是从另一圈的180°读起。

4. 115°的角读成125°，是从同一圈的180°读起。

我掌握了这四条基本规律后，又引导学生在纸量角器的外圈画顺时针箭头，在内圈画逆时针箭头，以明确矢量的方向，以利于纠正以上四类问题，但结果还是不好。我后来才发现，用两圈刻度的量角器，在实际教学中，还有许多派生问题：如全国赛课中的一个视频中，量一个开口向上的45°的角，一位男生答是“45°，我读的内圈刻度。”老师问：“为什么要读内圈刻度？”一位女生答：“因为它是锐角。”又如量一个开口向左的45°的角，第一个学生说是45°，第二个学生说：“读外圈刻度，因为它是从右往左啊！”这位学生显然是把外圈刻度的方向说反了。再如，课接近尾声量一个开口向右的角（应是一个最容易量的角）时，第一位学生说得很正确，而第二位學生说：“把角的内圈零刻度线对准量角器……”角有“内圈零刻度线”吗？可见学生是把“角的一条边”与“量角器的内圈零度刻度线”搞混了。正是因为两圈刻度本身存在的以上四大类基本问题和种种派生问题，并交杂在一起，所以使两圈刻度的读数问题，成为一个死结。要彻底解决这个问题，必须另觅新途。

简约教学的刘正松和刘春老师用改进成的一圈刻度的量角器实验后，学生认为一圈刻度的量角器“一目了然”。在《遵循概念 化解难点》一文中，作者也写道：“在关于两个‘0刻度优缺点的讨论中，有的学生认为只要一个‘0刻度就可以了，多了容易看错。”可见，“一圈刻度”是符合学生心理的。那么，0°刻度线是在右好，还是在左好呢？心理学家研究发现，人认识左右，是以右手为标准，因为右手是优势手。同理，人认识角，是以开口向右的角为标准，其他开口方向不同的角，都可以看成开口向右的角旋转而成的。那怎么旋转形成的角学生容易理解呢？数学家的研究表明，逆时针方向旋转形成的角，是一个正角，学生容易理解它的大小。根据这两条科学结论，当然是0°刻度线在右为好。0°刻度线在右的一圈刻度量角器中的红角，其实是一个活动角，逆时针旋转活动边形成的所有角，都是正角，便于学生理解角的大小。用这样的量角器教学，先让学生在说明书中的量角器图（或纸量角器）的半圆弧边，从0°到180°画逆时针箭头（教学时，还可以加上师生一起从0°到180°旋转右手臂），这些措施可以完全预防学生从180°读起的问题。深圳市一些学校选用0°刻度线在右的一圈刻度量角器教新课，90%以上的学生都学会了量角。

责任编辑罗峰