二维基底起伏熵正则化重力反演方法

刘富强

（新疆维吾尔自治区有色地质勘查局物探队 乌鲁木齐830011）

1 引言

确定物性分界面深度的方法主要是迭代法，即根据观测异常给出界面深度的初值，然后在观测异常和界面深度之间不断进行迭代计算，以改善反演结果。此外，还有利用统计分析、频谱展开式及多项式求界面深度的方法[1,2,3]。本论文研究了在迭代法中用熵正则化的方法来反演基底起伏。

熵在信息论中是对信息量的一种量度。熵越大，信息量就越大；同时反映出所描述变量或过程的随机性也越大，越不确定。我们假设解释模型是由一组垂直、并列的棱柱体所组成，它们的厚度是要估算的参数。熵正则化的基本思路是对离散点的基底深度估算的矢量进行零阶熵测度的最大化处理和一阶熵测度的最小化处理，使结果变得稳定。

2 二度体熵正则化重力反演方法的基本原理

图1 重力异常（上面）和解释模型（下面）示意图

解释模型由M个垂直的、并列的棱柱体组成，棱柱体的深度pj是要被确定的参数。

式中，Δρ0是地球表面的密度差；β是控制密度差随深度z下降的一个参数。

通过由M个垂直并列的棱柱体的重力观测值估计基底起伏S，这些并列棱柱体（图1）的密度差随深度不变或按照公式（1）的双曲线规律衰减。这些棱柱体的厚度就是要被估计的参数，它们与重力异常gi（第i 个观测点上由M个棱柱体产生的重力异常值）非线性相关。在密度差为常数的情况下（Telford等人，1991），其引起的重力异常为:

当密度差随深度按照公式（1）按双曲线规律衰减（Rao等人，1994）时，其引起的重力异常表达式为:

我们用Ramos等人在1999年提出熵正则化方法使（4）式变成一个适定问题。这个方法包括零阶熵测度Q0(p) 的最大化和一阶熵测度的最小化。

在本文的研究中，我们解决了目标函数为式（5）的非线性最小化反演问题，在这个目标函数中，Q0max和Q1max是标准化常数。规范系数γ0和γ1均是正数。选择系数γ1是为了把的值最小化。在γ0前面加上个负号使得零阶熵测度产生最大化。

我们通过拟牛顿法[5]（Gill 等人，1981 年）使目标函数τ( )

p式（5）最小化，并用Broyden-Fletcher-Gol⁃dfarb-Shanno（BFGS）公式实现每次迭代时的Hessian矩阵的逆的更新值。

当满足式（6）时，迭代停止。这里Qk1 是第k次迭代时一阶熵测度的值。这一标准可以确保Q1的分布随着迭代过程得到几乎稳定的值。

3 理论模型试算

如图2所示，观测点的横坐标的最小值为0 m，最大值为64 m，点距为2 m，共33个观测点。在第22至第42 个观测点之间，我们在相邻观测点之间用两个棱柱体的厚度来近似它们下部的起伏面深度，这样我们就得到了20 个棱柱体的厚度，模型给定棱柱体的厚度为[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]，单位为m。假设棱柱体与围岩的密度差是已知的，且为常数(Δρ0=0.5g/cm3)，通过正演计算可以得到这些棱柱体在33个观测点上产生的重力异常值，见图3。

用拟牛顿法进行迭代，设沉积物与基底之间的密度差Δρ0=0.5g/cm3，给定迭代初值为：[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1]，单位为m。

图2 连续沉积盆地的棱柱体分布图

图3 连续沉积盆地在观测点产生的重力异常值

图4 γ0=5，γ1=0.05 时，经过4次迭代时得到的棱柱体厚度

图5 γ0=20，γ1=0.05 时，经过8次迭代时得到的棱柱体厚度

图6 γ0=40，γ1=0.05 时，经过2次迭代时得到的棱柱体厚度

首先给定γ1=0.05，然后选取不同的γ0的值来反演起伏面的深度。当γ0=5，γ1=0.05 时，经过4次迭代可得到图4的反演界面；当γ0=20，γ1=0.05 时，经过8 次迭代可得到图5 的反演界面；当γ0=40 ，γ1=0.05 时，经过2次迭代可得到图6的反演界面。

4 结论

本文给出了用熵正则化的重力反演方法来解释沉积盆地的起伏形状。通过对棱柱体的厚度矢量进行零阶熵测度的最大化和一阶熵测度的最小化处理，可以使目标函数的解变得稳定。结合模型试算的结果可以发现，一般地，对于连续沉积盆地的反演，γ0＞＞γ1，这是由于一阶熵测度包含了不连续或假振荡的信息，γ1选取很小的正值可以压制这些不连续或假振荡的信息，使结果更趋向于连续沉积盆地类型。然而，零阶熵测度和一阶熵测度并不是相互独立的，当一阶熵测度最小化时，零阶熵测度也会趋于最小化，这是我们就有必要给γ0一个很小的正值（包括零）来阻止零阶熵测度的最小化。

[1]曾华霖.重力场与重力勘探，地质出版社，2005.

[2]曾华霖、阚筱玲、谢婷婷，等，重磁勘探反演问题.石油工出社，1988.

[3]姚姚.地球物理反演基本理论与应用方法，中国地质大学出版社，2002.

[4] Ramos, F. M., H. F. Campos Velho, J. C. Carvalho, and N. J. Ferreira, Novel approaches on entropic regularization: In⁃verse Problems,1999.15,1139–1148.

[5] Gill, P. E.,W.Murray, and M. H.Wright, Practical optimi⁃zation:Academic Press.1981.