正态分布的高精度数值计算

刘小会高海峰

（1.陕西科技大学镐京学院 陕西西安712046；2.大唐移动通信设备有限公司 陕西西安710061）

正态分布的高精度数值计算

刘小会1高海峰2

（1.陕西科技大学镐京学院 陕西西安712046；2.大唐移动通信设备有限公司 陕西西安710061）

近年来人们开始关注多维随机变量的正态分布数值计算问题。由于多维正态分布积分函数较为复杂且计算量较大。因此研究多维正态分布积分数值计算方法具有强的理论和实际意义。本文首先利用参变量积分法，将多维分布降维计算，并给出了四维正态分布积分的详细的计算公式，其次，在程序实现方面，考虑到相关系数较大时，会导致协方差矩阵接近奇异，如此以来会产生较大的计算误差。因此对相关系数、积分变量进行有效的排序，在一定程度上减少精度损失。最后本章还创新性地比较了协方差矩阵不同分块形式的数值计算公式，实验结果表明计算精度有了较大提高。

正态分布 参变量积分法 精度

正文：

设n维随机变量x1，x2，…xn服从正态分布并且协方差矩阵R非奇异，其联合概率密度函数为［1］

其联合分布函数为

以四维为例，给出具体的推导公式。

四维联合正态分布积分函数表达式为

（4）式将化为标准正态分布

将矩阵R按如下形式进行分块

通过含参变量积分降阶处理，（7）最终化为

与此同时，也可将协方差矩阵按2-2分块，经验证，计算误差没有发生太大的变化。但对于五维正态分布，1-4分块明显没有2-3分块效果好，所以对高维矩阵分块时，尽可能保证子块之间维数相差较小。［3］

3.数值试验

由于要求的精度较高，一般的曲线逼近效果不是很理想，所以本节给出数值试验表。值得注意的是，当某些相关系数较大时，协方差矩阵在接近奇异时会产生较大的精度损失，因此程序实现是时，将协方差矩阵和积分变量进行适当的排序，在保证矩阵正定的情况下，尽可能避免矩阵接近奇异。［4］

表1 四维正态分布新算法实验值与Matlab值比较

实验结果表明，本文的计算方法和适当的程序实现，最终能达到较高的要求。［5］

［1］Genz A.and Bretz F.Comparision of methods for the computation of multivariate t-probabilities.［J］Computing Science and Statistics.2002，11：950-971.

［2］Genz A.Numerical computation of rectangular bivariate and trivariate normal probalities［J］.Statistics and computing，2004，14：251 260.

［3］R.L.Plackett.A reduction formula for normal multivariate integrals［J］. Biometrika Trust.1954，413，351？360.

［4］Alan Genz.MCQMC methods for multivariate statistical distributions［J］.Springer Verlag.2008，21，164？191.

［5］刘小会.正态分布高精度算法［J］.长春理工大学学报.2011.34卷3期. 179-181

［6］Genz A.and Bretz F.Computation of multivariate normal and t-probabilitie［J］.Springer-Verlag.2009.