具竞争性零售商的闭环供应链微分对策模型

黄宗盛，聂佳佳，胡培

（西南交通大学经济管理学院，四川成都 610031）

具竞争性零售商的闭环供应链微分对策模型

黄宗盛，聂佳佳，胡培

（西南交通大学经济管理学院，四川成都 610031）

研究了具竞争性零售商的闭环供应链系统的最优回收控制策略.首先构建了零售商回收的闭环供应链微分对策模型，利用微分对策理论求解模型并得到制造商和零售商的最优控制策略.分析发现：当回收成本系数不那么低时系统存在稳态均衡，仅在一定的最优控制策略下系统收敛到稳态均衡.此时零售商的回收投入和产品回收率随时间推移而增大；而零售商的零售价格随时间推移而减小，产品销售速率随时间推移而增大；制造商的批发价格与转移价格有关：当转移价格较高时，制造商的批发价格随时间推移而增大，反之，制造商的批发价格随时间推移而减小；零售商之间关于产品回收具有“先动”优势.

闭环供应链；微分对策；零售商回收；竞争性零售商

1 引言

由于闭环供应链在经济、环境等方面体现出的巨大优势，近年来受到了全社会的广泛关注.在企业界，很多公司早已通过产品回收再制造来降低生产成本，如Xerox、Kodak和HP等［1-3］.目前施行产品再制造的企业已经广泛覆盖各个行业，如电脑、复印机、墨盒、家具、汽车零部件、医用器材以及轮胎等［4］.企业要施行再制造战略，废旧产品的回收是一个关键问题.本文试图从一种动态的视角，探讨具有竞争性零售商的供应链中的产品回收控制问题.

近年来，学者们针对闭环供应链的运作管理进行了大量研究，主要探讨供应链成员的回收策略或者供应链的最佳回收渠道选择问题.Savaskan等［1］在闭环供应链的架构下探讨了逆向渠道的选择问题，发现零售商回收时的效率高于制造商及第三方回收时的效率.Savaskan等［1］的研究为闭环供应链的逆向渠道设计提供了较为经典的框架，许多学者正是在他们的基础上展开了进一步的研究［3-9］，但这些研究假设供应链中仅存在一个零售商，这与实际情况有所不符.Savaskan等［2］进一步在零售商竞争的架构下，探讨了闭环供应链的产品回收问题.易余胤［10］同样在零售商竞争的背景下，探讨了不同供应链主导结构下的闭环供应链产品回收问题，研究发现在市场无领导者时产品回收率最高.李响等［11］则研究了多制造商同时进行产品回收再制造时的回收竞争博弈，但上述研究没有考虑正向渠道.

上述文献极大的丰富了关于闭环供应链的研究成果，为企业的运作管理提供了一定的借鉴，然而仍存在一些不足.以上关于闭环供应链的模型多为时间静态模型，没有考虑系统的特征随时间的动态变化情况.在闭环供应链的动态模型方面，Kiesm¨uller［12］考察了一个具有提前期的动态产品回收系统，采用极大值原理求解了系统的最优控制策略.Geyer等［13］在考虑产品零部件耐用性和有限生命周期的条件下研究了企业的动态再制造策略.此外以上关于闭环供应链的动态模型，主要是在集中式供应链的架构下，从整体研究系统的最优策略，而系统动态特征主要考察库存特征.然而闭环供应链中产品的回收过程亦具有动态特征，针对这一情况，黄宗盛等［14，15］通过考察回收过程的动态特征构建了相应微分对策模型，并分析了不同逆向渠道下的回收效率.对比发现，制造商回收可能对供应链成员更为有利.但他们的研究仅在单个零售商的背景下，实践中零售商竞争的情况则更具代表性.鉴于此，本文将进一步在零售商竞争的背景下，探讨相应回收控制策略.

对于负责回收废旧产品的企业而言，产品的回收是一个长期动态的过程.负责回收产品的企业需要持续投入资金进行产品回收活动，如回收宣传、回收设施建设与逆向物流服务等，以换取系统的产品回收率.从动态的角度考虑，企业本阶段回收投入较高时，并不会即刻反映为较高的回收率，而是企业回收率的变化率上升，亦即回收率上升更快.以往的产品回收模型忽略了这个动态过程.当考虑产品回收率的动态变化过程时，可以更好的描述回收率随回收投入的动态变化情况［14］.本文将在竞争性零售商的供应链架构下，构建关于产品回收的微分对策模型.

2 模型

在闭环供应链系统中，目前关于回收率的模型多为时间静态模型［1，2］，此时主要从总体战略的角度考察是否进行产品回收或者回收多少废旧产品.这样的模型忽略了对系统动态回收过程的考察，虽然可以对企业的产品回收提供战略参考，但无法指导企业如何进行回收投入，即无法得到回收投入的时间控制路径.实际上，企业的产品回收是一个动态的投入产出过程.当企业某一阶段投入较多的资金，容易想象其产品回收率将上升，但这个上升并不是即时的，而是首先反映在回收率的变化率上，因而是一个动态的过程.高的回收投入换来高的产品回收率变化率.将产品回收率看作系统的状态变量，而回收努力投入为控制变量，则有［15，16］

其中τ（t）为系统的状态变量，表示t时刻的产品回收率.A（t）表示t时刻的回收投入，主要体现回收企业在回收设施的建设、维护以及对消费者的回收宣传上投入的资金量；ρ的大小体现回收投入对回收率的影响程度.δ表示回收率的衰减系数.对于本文的动态回收模型，可以理解为随着时间的推移，回收设施会逐渐陈旧，同时消费者对企业的回收宣传也会逐渐遗忘，这些都会造成产品回收率的衰减.式（1）较为清楚的反映了产品回收率随回收投入的动态变化过程.另外，若衰减系数δ较大，即回收设施质量下降速度较快或者消费者对回收宣传遗忘较快时，企业需要更大的投入，产品回收率才不会下降.

两个零售商在各自的销售区域中进行产品回收，因此回收率的动态变化特征由与式（1）类似的两个微分方程描述，即

由式（2）可发现，零售商各自的回收率仅受自身回收投入的影响.这主要是由于回收努力投入主要体现为构建回收设施、逆向物流和回收宣传等方面的投入水平，并非竞争性手段，因此这里假定零售商之间的回收努力投入对相互之间的产品回收率没有影响.回收投入高的一方回收率会上升的较快，但并不会造成另一方回收率上升变慢.

制造商利用废旧产品进行再制造和利用新材料进行制造出的产品在性能和外观上都完全一致［1，2］.值得说明的是，这里比较适用制造商利用旧产品中的某些部件再结合新材料进行生产的情形，而制造商利用废旧产品进行简单翻新生产的情况不适用于本文的讨论.零售商负责分销制造商的产品，任意时刻的产品需求函数为

其中i=1,2；φ＞0表示市场容量，0＜γ＜1反映零售商之间的竞争强度.

再制造闭环供应链系统的假设如下：

2）在闭环供应链中，制造商为渠道的领导者，而零售商为追随者；

3）用cm表示制造商利用新材料进行生产的单位成本，cr表示利用废旧产品进行再制造的单位成本，且Δ=cm-cr＞0，表明制造商通过再制造是可以节约成本的，否则制造商不会有选择产品再制造这种生产方式的经济驱动力；对于零售商回收的旧产品制造商给予单位支付b，设b≤Δ，很显然，一旦制造商购买旧产品的成本大于旧产品为其节约的成本，制造商也不会选择再制造这种生产方式；

4）对于从消费者处返回的旧产品，零售商给予单位支付σ.为简单起见，且在不失一般性的前提下，设σ=0.需要指出的是，该假设只是简化了本文的数学复杂度，不会影响本文的结论；

5）制造商和零售商的决策期为［0,∞），贴现率为r.

由于零售商回收在现实中更为常见，因而本文主要探讨零售商回收下的情况.此时，零售商需要决定在产品回收中的投入Ai（t）以及产品的零售价格.零售商i的目标函数为

而制造商主要决定给零售商的批发价格w（t），其目标函数为

约束条件为式（1）.

3 最优控制策略

显然该问题属于制造商领导的Stackelberg博弈，为了求解均衡时双方的最优策略，根据逆向归纳法的原理，首先构建零售商i的现值Hamilton函数为

其中µri和µr（3-i）为协状态变量.根据最大值原理的最优化必要条件为

根据式（7）和式（8）求解得到零售商的最优反应函数为

由式（10）可以看出，零售商不仅根据自身的产品回收率下调零售价格，还根据竞争对手的回收率下调自己的零售价格，但自身的回收率对自己产品价格的影响更大.这表明两个零售商中如果有一个零售商不进行产品的回收时，其产品价格将会高于进行产品回收的零售商，导致其在价格竞争中处于劣势，因而零售商不进行产品回收对其自身是不利的.

根据零售商的最优反应构造制造商的现值Hamilton函数为

最优化必要条件为

由式（12）求解得到制造商的最优批发价格为

将式（13）代入零售商的最优反应函数可得零售商的最优策略为

再将式（13）和式（14）代入零售商的状态和协状态变化方程中，进行化简可得

其中

命题1给出了闭环供应链系统稳态均衡的存在条件.

命题1当（δr+δ2）k＞max（ρ2（E3-E2）,-ρ2（E1+E2+E3））时，再制造闭环供应链系统存在稳态均衡，且此时稳态均衡为鞍点均衡，此时系统的稳态均衡为

稳态时制造商的批发价格为

稳态时零售商各自的零售价格和回收努力投入为

证明式（15）微分方程组的特征根为

当-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＞0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＜0时，有λ1,2＞0，λ3＞0和λ4＜0，此时微分方程组的解发散；当-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＜0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＞0时，有λ1＞0,λ2＜0和λ3,4＞0，此时微分方程组的解仍然发散；仅当-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＜0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＜0，即（δr+δ2）k＞max（ρ2（E3-E2）,-ρ2（E2+E3））时，微分方程的特征根有λ1＞0，λ2＜0和λ3＞0，λ4＜0，此时微分方程组的稳态为鞍点均衡［17］.

根据˙τi=0和˙µri=0可求得闭环供应链系统达到稳定时的状态.由于稳态时的产品回收率应满足0＜＜1，由于E1＜0，因而当ρ2E2+ρ2E3+δkr+δ2k＞0时0＜；再当ρ2E2+ρ2E3+δkr+δ2k＜-ρ2E1，即（δr+δ2）k＞-ρ2（E1+E2+E3）时，可使＜1.又-ρ2（E2+E3）-ρ2E1＞-ρ2（E2+E3），因此对于该问题系统达到鞍点均衡的条件为

命题1表明只有零售商的回收成本系数较大时系统才存在稳定的状态，如果回收商的成本系数太小对于系统而言反而是不稳定的.现实中废旧产品可能分布在销售商所在区域的任何一个位置，同时零售商需要进行产品的回收宣传、逆向渠道建设等，因此对于零售商而言，要进行产品的回收可能会产生巨大的成本，这使得其回收成本系数不会太低.因而微分方程稳定的条件是基本能够满足的.另外，在Savaskan等［1］中也有类似假设.

将命题1中的稳态解代入供应链成员的利润表达式中可得零售商的稳态瞬时利润率为

制造商的稳态瞬时利润率为

命题2给出了制造商和零售商达到稳态均衡的最优控制策略.

命题2零售商回收下，制造商的最优批发价格控制策略为

零售商的最优零售价格控制策略为

零售商的最优回收控制策略为

其中

将式（26）分别回代入式（10），式（13）和式（14）中即可得到命题2中制造商和零售商的最优控制策略.证毕.

命题3若τ10＞τ20，则τ1（t）＞τ2（t），A1（t）＞A2（t），p1（t）＜p2（t），D1（t）＞D2（t），反之τ10＜τ20时有相反的结论；若τ1=τ2，τ1（t）=τ2（t），A1（t）=A2（t），p1（t）=p2（t），D1（t）=D2（t）.

证明由于τ1（t）-τ2（t）=（τ10-τ20）eλ4t，因此τ10＞τ20时，τ1（t）＞τ2（t），反之，则有τ1（t）＜τ2（t）.命题中其他结论的证明与此类似.证毕.

命题3说明零售商之间对于产品回收具有“先动”优势，即初始回收率高的零售商在以后的回收率、回收投入和销售速率上会高于对方.对于零售商而言，“先动”可以提高其销售速率，但是否一定带来瞬时利润的提高？下面通过数值仿真进行考察.设系统参数为ρ=2，Δ=2，φ=50，γ=0.5，cm=6，δ=1，r= 0.15，k=100，b=0.9，τ10=0.1，τ20=0.图1给出了零售商1和零售商2的瞬时利润随时间的变化情况.由图中可以看出，零售商的瞬时利润随时间增高，逐渐达到稳态时的瞬时利润，且零售商1的利润率高于零售商2的利润率.这说明零售商的“先动”不仅能提高其产品销售率，还能提升其利润水平.因此零售商均有尽快投入产品回收的动机.

图1 不同初始回收率下零售商瞬时利润随时间变化情况Fig.1The instant profit of retailer changes over time under different initial return rate

鉴于零售商均有提前进行产品回收的积极性，在以下的分析中，不妨设τ10=τ20.

命题4在最优控制策略下的闭环供应链系统有：1）系统产品回收率随时间推移而增大；2）零售商的回收投入随时间推移而增大，而零售商的零售价格随时间推移而减小，产品销售速率则随时间推移而增快；3）当b＞Δ/2时，制造商的批发价格随时间推移而增大，当b＜Δ/2时，批发价格随时间推移而减小.

证明1）由于λ2＜0，因而

命题4表明，零售商的回收投入会随时间逐步上升到稳定时的状态，而产品回收率也相应随时间上升.由于产品回收率升高，制造商生产成本降低，零售商会降低各自的零售价格，而产品销售速率则会逐步上升.有意思的是，制造商的批发价格演化路径并非随时间推移而降低，而是与回收品的转移价格有关：当转移价格较高时，制造商的最优控制策略是随时间逐渐提高批发价格到稳定时的状况，而当转移价格较低时，制造商的最优控制策略则是随时间逐渐下调批发价格到稳定时的状况.只有在这样的控制策略下系统才能达到最佳的状态.

4 参数变化对系统的影响分析

本部分将对系统参数变化对零售商回收控制策略、系统产品回收率及制造商和零售商的利润率的影响展开分析，着重考察零售商之间的竞争强度、系统贴现率及转移价格的影响.由于本文模型的较为复杂，因此难以通过解析方法进行分析，下面主要采取数值仿真的方法进行研究.系统的基准参数设定为τ10=τ20=0,ρ=2,Δ=2,b=1.1,φ=50,cm=6,δ=1,r=0.15,k=100,γ=0.15.分析时将控制其中目标参数在一定范围内变化，而其他参数将保持不变.

1）零售商竞争强度的影响

图2主要是考察零售商之间的竞争强度对系统的影响.当γ越大，零售商之间的竞争程度越激烈.由图2可以看出，零售商的最优回收投入随时间推移而提高.当零售商之间的竞争程度加强时，零售商进行产品回收的积极性会增强，系统的回收率会更高：同时这也会带来零售商和制造商利润水平的提升.由此可以发现，零售商之间竞争程度的加强会对闭环供应链的逆向渠道产生影响.在一个竞争相对激烈的系统中，产品回收率会更高，同时对供应链成员的利润更为有利.在Bertrand模型中，当企业间的竞争程度或产品替代性越高时，各方的需求会更高，对各方的利润也更为有利.

图2.1 γ对零售商最优回收投入的影响Fig.2.1The impact of γ on the return effort

图2.2 γ对系统产品回收率的影响Fig.2.2The impact of γ on the return rate

图2.3 γ对零售商瞬时利润的影响Fig.2.3The impact of γ on the profit of retailer

图2.4 γ对制造商瞬时利润的影响Fig.2.4The impact of γ on the profit of manufacturer

2）系统贴现率的影响

图3主要考察贴现率对系统的影响.贴现率越高，企业对未来的长期利润就越不看重，而更看重眼下的利益.由图3可以发现，贴现率越高，零售商对产品回收的投入越低，而系统的产品回收率也相应越低.由于零售商为产品回收的投入方，高的贴现率限制了零售商在系统运行的初始阶段投入资金的积极性，这一方面降低了在初始阶段大量投入产生的较大成本，但另一方面产品回收为零售商带来的收益也受到影响.因而贴现率对零售商利润的影响并非单调的增加或减少.而是存在一定的贴现率，使得此时零售商能获得最大的稳态利润率.由于制造商对产品回收并不进行投入，因而贴现率对其利润的影响是单方面的，贴现率越高对制造商的利润越不利.由此可以得出，当系统贴现率较高时，制造商可在初始阶段参与回收系统的搭建，为零售商分担一定的经济压力，避免零售商投入积极性导致系统的回收率较低的状况.同时这也有利于提升制造商和零售商的利润水平.

3）转移价格的影响

图4主要考察废旧产品转移价格的变化对系统的影响.当b上升时，制造商从回收的旧产品中获益减小，而零售商获益增大，从图4可以看出，零售商的最优回收投入随时间上升，当废旧产品的转移价格上升时，零售商的最优回收努力投入相应增加，同时稳态时系统的回收率也随之上升.此时零售商拥有较高的积极性投入废旧产品的回收，但较为意外的是稳态时零售商的瞬时利润并未有提升.另外值得注意的是，尽管转移价格上升会降低制造商从节约的成本中获取的收益，但由于此时产品回收率较高，零售价格较低，刺激了需求，反而使得制造商的瞬时利润有所上升，这表明制造商应当适当提高废旧产品的转移价格，激励零售商更好的进行产品的回收，这对制造商自身也是有利的.

图3.1 r对零售商最优回收投入的影响Fig.3.1The impact of r on the return effort

图3.2 r对系统产品回收率的影响Fig.3.2The impact of r on the return rate

图3.3 r对零售商瞬时利润的影响Fig.3.3The impact of r on the profit of retailer

图3.4 r对制造商瞬时利润的影响Fig.3.4The impact of r on the profit of manufacturer

图4.1 b对零售商最优回收投入的影响Fig.4.1The impact of b on the return effort

图4.2 b对系统产品回收率的影响Fig.4.2The impact of b on the return rate

图4.3 b对零售商瞬时利润的影响Fig.4.3The impact of b on the profit of retailer

图4.4 b对制造商瞬时利润的影响Fig.4.4The impact of b on the profit of manufacturer

5 结束语

在考虑闭环供应链系统产品回收率动态变化特征的基础上，利用最优控制及微分对策理论求得制造商和零售商的开环最优控制策略并对最优策略进行分析.研究发现，在零售商回收成本系数不那么低时系统存在稳态均衡，且在最优开环控制策略下系统收敛到稳态均衡，此时有：1）零售商的产品回收率随时间推移而增大；零售商的回收投入随时间推移而增大，而零售商的零售价格随时间推移而减小，产品销售速率则随时间推移而增大；制造商的最优批发价格路径与转移价格有关，当转移价格较高时，制造商的批发价格随时间推移而增大，反之，制造商的批发价格随时间推移而减小；2）零售商之间关于产品回收具有“先动”优势.

对于具竞争性零售商的闭环供应链的进一步研究方向是考察制造商和零售商同时参与回收的情况和求解微分对策的闭环控制策略.

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Differential game model in closed-loop supply chain with competing retailers

Huang Zongsheng，Nie Jiajia，Hu Pei

（School of Economics and Management，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The optimal control strategies in a closed-loop supply chain with competing retailers are studied. First，the differential game model of a closed-loop supply chain with retailer collecting is established，and the optimal control strategies of the manufacturer and the retailers are resolved by the differential game approach. Some results are found.The Saddle point equilibrium exists only under certain conditions.The collecting investment of the retailer as well as the product return rate increases with time，while the retail prices decrease with time.The demand rate of retailers increase with time.The wholesale price of the manufacturer may increase or decrease with time，depending on the transfer price of the used product.When the transfer price is high，the wholesale price increases with time，on the contrary，the wholesale price decreases with time.The product collecting between the competing retailers has a'first-move advantage'effect for the retailers.

closed-loop supply chain；differential game；retailer recycle；competing retailers

F270

A

1000-5781（2015）06-0779-11

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.007

黄宗盛（1985-），男，四川绵阳人，博士，讲师，研究方向：物流与供应链管理，Email：chris163@yeah.net；

聂佳佳（1981-），男，河南许昌人，博士，副教授，研究方向：物流与供应链管理，Email：nie jia@126.com；

胡培（1957-），男，重庆人，博士，教授，研究方向：系统建模与决策，Email：huhupei@126.com.

2013-06-20；

2014-01-16.

国家自然科学基金资助项目（71101120；71440016）.