具奇异非线性项p－Laplace方程Dirichlet问题解的存在唯一性

陈雨彤， 魏公明

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

长期以来，非线性椭圆问题一直受到人们的广泛关注，其原因是许多数学物理问题，如源于非线性源的非线性扩散理论、量子场论、统计力学以及星系的重力平衡理论与非线性椭圆问题有极大的联系.而且数学内部的许多分支，如几何学中的Yamabe问题和等周不等式、调和分析中的 Hardy－Littlewood－Sobolev不等式、Yang－Mills泛函的非极小解的存在性与非线性椭圆问题有着深刻的联系.国内外关于非线性椭圆型方程可解性的研究较广泛，解决这类问题的方法主要有不动点定理、上下解方法、拓扑度理论、隐函数（组）定理、椭圆正则化方法、紧微法、变分法等.

具奇异非线性项椭圆型方程Dirichlet问题是偏微分方程领域的重要研究内容.许多学者对奇异非线性椭圆型方程Dirichlet问题解的存在性和唯一性作了深入的研究.Crandall等［1］研究了下列非线性边界值问题

得到了方程解的存在性，得到式（1）的古典解u∈C2（ ）Ω ∩C Ω（ ）— 存在且唯一，且在Ω 中u＞0.Fulks等［2］得到了下列问题的解的存在性

的解的存在性.Cocite等［4］得到了下列问题的解的存在性

然而，近年来非线性边界值问题已被广泛研究，对于p－Laplace算子的非线性边界值问题的研究已有许多结果，如文献［5—8］.文献［9—10］具有相同的特点，即在u＝0处非线性项是奇异的，边值问题的解在所定义的区域中是严格正的，即u＞0.

本文研究下列形式的非线性椭圆边界值问题

式中，Ω 是ℝn中的有界光滑开区域，∂Ω 是Ω 的边界，且∂Ω 是C1阶的，p＞1.

本文主要研究式（5）的解的存在性，给出下列假设：

本文的主要结果为：

定理1 假设条件（g1）和（g2）成立，则式（5）存在唯一解且在Ω 中u＞0.

1 重要命题和引理

在本节，将给出一些为了证明定理1而需要的命题和引理.

定义1 u∈W1，p（ ）Ω 是式（5）的弱解，若对任意的η∈C∞0（ ）Ω 有

Sobolev嵌入定理［11］设Ω⊂ℝn是有界光滑开区域其中

定义2［12］函数是式（5）的一个上解，如果

成立.

定义3［12］函数是式（5）的一个下解，如果

成立.

最大值原理［13］若满足在Ω 中－Δpu≥0，在∂Ω 上u＝0，则在Ω 中u≥0.

强最大值原理［13］若在Ω 中－Δpu≥0，在∂Ω上u ＝0，且在Ω 中u ≠0，则对任意的x∈Ω，u（x）＞0且

弱 比 较 原 理［13］如 果 对 于 任 何u1，u2∈由u2（x∈∂Ω）可以推出

为了得到式（5）的解，研究下列问题

其中ε＞0，则在下面的证明中将会得到当ε→0＋时，uε收敛于式（5）的解u.

引理1 假设条件（g1）和（g2）成立，当x∈Ω时，存在ε0＞0，当0＜ε＜ε0时则

a.式（6）存在唯一正解uε；

b.当0＜ε≤δ＜ε0时，uε≥uδ，且ε＋uε≤δ＋uδ，其中uε，uδ是式（6）的任意两个解.

证明 因为当0＜ε＜ε0时而对且η≥0，有可知0是式（6）的下解.

假设式（7）存在两个解ω1，ω2，当x∈A ⊂Ω 时，ω1（x）＜ω2（x），则当x∈∂A 时，ω1＝ω2＝0，由弱比较原理可知，当x∈A时，ω1≥ω2，故A 为空集.同理可证ω1≤ω2，故ω1＝ω2，因此ωε是式（7）的唯一解.再由强最大值原理可知，当x∈Ω 时

可知ωε是式（6）的上解.

假 设 当 x ∈A ⊂Ω 时，uε＞ωε，则即－Δpuε≤－Δpωε；当x∈∂A 时，uε＝ωε＝0，由弱比较原理知，当x∈A 时，uε≤ωε，故A 为空集.明显地，0不是式（6）的解，故Ω 中0＜uε≤ωε.因此式（6）的解存在.

接下来证明不等式当0＜ε≤δ≤ε0时，

式中，uε，uδ是任意两个解，令或＝（δ＋uδ）－（ε＋uε）.要证式（8）成立，即证≥0.

由式（8）可知

式中，当ε→0＋，δ→0＋时，可知uε＝uδ，故证得解的唯一性.

令h ＝（h1，…，hn）是 一个 非 零 向 量，

h是任意足够小的向量，则u∈W2，p（Ω），且

该引理的证明见参考文献［14］中的引理3.3.

2 定理1的证明

在本节中，运用最大值原理、弱比较原理、引理1和引理2来完成定理1的证明.

由引理2，假设σ1是Ω 中的任意开区域，使得则存在C，使得

下面证明解的唯一性，假设u，v 是两个解，当x∈A⊂Ω 时，，则v），即当x∈A 时，－Δpu≥－Δpv；当x∈∂A 时，u＝v＝0，由 弱 最 大 值 原 理 得 到 当x ∈A 时，.由对称性可证得，则u＝v.定理1证毕.

3 更一般的非线性边界值问题

将式（5）拓展，研究更一般的非线性边界值问题

其中λ≥0，Ω 是ℝn中的有界光滑开区域，h∈.

假设（g1）和（g2）成立，且

假设∂Ω 是C1阶的，令

令μ 是

对于0＜ε＜ελ，令当x∈Aε时，对且η≥0有

引理5 给予λ∈［0，λ（ g ，h ）），对所有的ε∈分别是式（13）的上下解，并且在Ω 中几乎处处成立，那么式（13）在区间

内存在最大值u＊和最小值u＊，即式（13）的每一个属于的解uε都满足u＊（x）≤uε（x）≤u＊（x）在Ω 内几乎处处成立.

该引理的证明参考文献［12］的294—295页.

下面来证明定理2.

可知－Δpuε1＝－Δp（10 0＋uε2）＝－Δpuε2，而 式（14）与式（15）的右边不相等，故矛盾.因此，对∀η＞0，∃δ＞0，当时，由柯西收敛准则可知收敛.由于收敛，对任意的η＞0，当时，｜uε（x＋h）－uε（x）｜＜η，由于h 足够小，而由前面的引 理2 知uε∈W2，p（Ω ） ，可 选α∈（0 ，1） ，p＞n／（1－α），由Sobolev 嵌 入 定 理 知在C1，α（Ω ） 是 紧 的，因 此 存 在当εm→0时，uεm在中收敛，令是其极限.同样的，存在，当εm→0 时，在中收敛，即存在，使得.因此可得在W1，p（Ω ） 中分别收敛于u，.

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