PMF-FFT捕获算法部分匹配滤波器长度选取研究

黄云青，尚 勇，白 森

(1.中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471009;2. 中国民航飞行学院洛阳分院，河南 洛阳 471009)

0 引 言

卫星通信以其覆盖广、全天候、频带资源丰富等众多优势成为非常重要的通信手段。许多卫星系统已经得到广泛应用，例如GPS 全球卫星定位系统，Gb(全球星)系统，铱星(Iridium)系统都是非常成功的卫星通信系统。卫星通信系统在传输过程中由于信号环境复杂恶劣，不可避免会有较大的衰减导致信噪比较低;而且在高动态环境下，卫星与载体间的传输链路会存在较高的多普勒频移。目前卫星通信中所采用的扩频通信技术以其抗干扰能力强、可靠性高而广为认可。扩频通信中最为重要的环节之一就是扩频信号的同步过程，分为捕获和跟踪两个过程。高动态环境下由于多普勒频移较大，导致接收机相关运算产生较大的衰减，并且为保证通信的可靠性，卫星通信系统都使用了长度较长的伪随机码，这些都不利于快速捕获。卫星通信要求有较高的实时性，因此研究如何能够在较大多普勒频移下实现长度较大的伪码快速捕获算法具有非常重要的意义。

20 世纪以来扩频通信技术不断发展，扩频信号的快速捕获问题一直是研究的热点。目前较为成熟的捕获算法主要有滑动相关捕获法、匹配滤波器，以及基于FFT 的捕获算法等。20 世纪80年代，文献［1］中首次将匹配滤波器引入到扩频捕获算法中。20 世纪90年代开始，将FFT 引入捕获算法成为新的热点。文献［2］首次提出将匹配滤波器与FFT 结合起来实现快速捕获的算法，该算法在部分匹配滤波器的基础上加入了FFT 运算以改良匹配滤波器在多普勒频移状况下的缺点，使得系统在较大多普勒频移的条件下依然具有较高的检测概率和优秀的捕获时间。文献［3］描述了大多普勒频偏下的一种非相干检测的快速捕获系统，首次给出PMF-FFT 捕获模型，并分析了高斯信道下的虚警概率和检测概率特性;然后利用该模型对接收伪码进行匹配滤波处理，进行FFT 补偿，可以增加频偏的搜索范围。文献［4］中，Spangenberg等人详细分析了PMF-FFT 捕获系统的数学模型以及性能，除了补零并加长FFT 点数的处理方法外，还提出对FFT 输入数据进行加窗处理来降低扇贝损失。之后的研究大多是在此基础上如何改进算法的实现方法，而鲜有实质的理论创新。部分匹配滤波器的长度选择影响着整个算法的大多普勒频移下的捕获能力，对于整个捕获算法的系统性能有着至关重要的影响，但是对于整个系统的具体影响因素以及如何根据用户指标选取滤波器长度，之前的研究鲜有给出综合的结论。

本文研究了基于PMF-FFT 的快速捕获算法的原理性能，全面考虑了匹配滤波器的长度选择对算法理论性能和捕获性能的影响，可以解决捕获系统设计中匹配滤波器的长度选择问题，从而为该算法在实际系统中的应用奠定坚实基础。

1 PMF-FFT 算法基本原理及数学模型

PMF-FFT 算法是基于匹配滤波器算法与FFT算法相结合的捕获算法模型，其结构示意图如图1所示［4］。

图1 PMF-FFT 结构图

该系统包含了P个部分匹配滤波器，每个长度为X，XP = M;M 为伪随机序列长度。部分匹配滤波器的主要作用是对接收信号进行部分解扩，得到一定的扩频增益，从而提高信噪比。第一个处理伪随机序列的前X个码片，第二个处理后X个，以此类推。这P个部分匹配滤波器的输出为部分相关输出。如果把这些输出进行相干累加就会与长度为M 的标准匹配滤波器的响应相同。对这些输出结果进行N 点FFT 运算，N ≥P，再进入一个最大信号选择器来进行多普勒估计。FFT 输出端的最大信号选择器的输出与多普勒频移最接近频率相同。该方法将搜索伪码相位和估计多普勒频移同时进行，即将原来的相位、频率二维搜索过程变为伪码相位的一维搜索，大大减少了捕获时间［5］。

对其工作的数学原理进行分析，假设接收的序列与本地伪随机序列已经同步，设接收到的信号经过下变频和采样之后的量化输出信号为［6］

则第n个分段匹配滤波器的输出为

式中:K 为本地序列与接收序列的偏移量。在两个序列同步的情况下，PN(k)PN(K + k)= 1，有:

对这P个输出进行N 点(补N－P个0)FFT 计算可得FFT 输出的幅度响应:

式(4)还可写为两部分［7］，即

其中:

式中:G1(fd)为PMF 部分的频率响应，是由部分相关累积引起的，部分匹配滤波实质上是一个低通滤波过程，如果令M = P，则G1(fd)= 1，相当于除去了部分匹配滤波过程;G2(fd，k)是FFT 部分的频率响应，为FFT 运算对归一化幅频响应的贡献。由此也可看出PMF-FFT 算法是匹配滤波器算法和FFT 算法的有机结合，通过FFT 方法来补偿匹配滤波器算法的响应。

2 PMF-FFT 算法的理论性能分析

以GPS C/A 码为例，M = 1 023，1/Tc= 1.023 Mb/s。令N = P = 8，此时X = 128。伪码同步时的归一化相关增益如图2 所示。

图2 8 点FFT 的归一化幅频响应

可以看出，整个曲线的包络呈下降趋势，这是由部分匹配滤波过程所引起的随多普勒频率的相关损失。当多普勒频率落在两个FFT 输出点之间时，存在着明显的扇贝损失，且当时扇贝损失最大［8］，最大扇贝损失L 为

式(8)表明相关增益较多普勒频移为0 时有最大约为1.9 dB 的衰减。因此门限设置的上限就会降低，从而导致信号虚警概率的上升。

2.1 多普勒频率估计分辨率及范围

由此可见，该方法的捕获精度由分段匹配滤波器的长度与FFT 的点数共同决定。匹配滤波器长度越大，频率估计精度越高，

在伪码取得同步时，部分匹配滤波器的响应G1(fd)相当于一个长度为X 的矩形窗，如图3 所示，它的主瓣宽度可表示为

图3 PMF 部分归一化幅频响应

PMF-FFT 系统幅频响应函数的第一个过零点对应的也是G1(fd)的第一个过零点，即理论的单边分析带宽为因此理论的捕获频率范围为为保证信号能量不会有太大损失，一般取到1/4 处作为实际分析带宽范围，即fd≤可以看出匹配滤波器的长度越小，分析带宽越大，捕获的频率范围也就更大。

在已知最大多普勒频偏的情况下，匹配滤波器的长度选择要保证:

2.2 相关损失

相关损失由部分匹配过程引起，幅频响应包络可用G1(fd)表示。则相关损失可表示为［10］

在码型确定的情况下，相关损失取决于多普勒频移的大小和匹配滤波器长度。C/A 码在不同匹配滤波器长度下的相关损失如图4 所示。

图4 相关损失与部分匹配滤波器长度的关系

匹配滤波器长度越小，相关损失也越小，但此时匹配滤波器规模与实现复杂度也就越大，可根据需要来选择合适的匹配滤波器长度。

例如，若系统要求可接受的最大相关损失为－1 dB，根据相关损失与匹配滤波器长度的曲线图可以判断，滤波器长度为32 和16 时满足要求，为降低硬件实现复杂度，可选择匹配滤波器长度为32。但如果已知最大多普勒频移达到10 kHz，根据X ≤可知要满足X ≤25.6，此时匹配滤波器长度只能选择16。

2.3 扇贝损失

扇贝损失是由FFT 部分相位补偿不完全所造成的，最大扇贝损失为

由式(11)可知，在码型确定的情况下，最大扇贝损失取决于匹配滤波器长度X 和FFT 的点数N。假定FFT 点数为匹配滤波器的数目(不补零)，最大扇贝损失随着匹配滤波器长度的增大而减小，但变化幅度较小，如图5 所示。

图5 最大扇贝损失与匹配滤波器长度的关系

3 捕获性能分析

实际工程中，通常用检测概率、虚警概率和平均捕获时间这三个指标来衡量一个捕获系统的工作性能［11］。因此在选取匹配滤波器的长度时，需要考虑它对这三个指标的影响。

3.1 虚警概率

假设所需的信号并不存在，虚警概率主要取决于噪声的统计特性和检测器的门限设置。FFT 输出信号的振幅用于信号检测器，这些振幅值服从瑞利分布，概率密度为［12］

分布函数为

一个FFT 输出大于门限t 的概率为

由于所有的输出分布相同并且互不相关，所以任一输出超过门限Vt的概率，即虚警概率为

可以看出虚警概率取决于门限的设置和FFT的点数N。在不补零的情况下，FFT 的点数与匹配滤波器数目一致，部分匹配滤波器长度越大，虚警概率越小，如图6 所示。

图6 部分匹配滤波器长度与虚警概率的关系

多数情况要保持虚警概率恒定，即恒虚警处理。由式(15)可得

3.2 检测概率

FFT 输出信号的振幅为同相和正交分量的平方和的开方，分布为莱斯分布，其概率密度为

式中:I0是0 阶修正贝塞尔函数;sk为FFT 第k个输出的同相和正交支路信号期望的和，即

莱斯分布的累积分布函数为

式中:σ2为噪声方差。则FFT 第k个输出大于门限t 的概率为

因此，检测概率为

因此有

fd= 800 Hz 时，PMF-FFT 算法检测概率随部分匹配滤波器长度的变化情况如图7 所示，检测概率随部分匹配滤波器长度的增加而呈现下降趋势。

图7 800 Hz 多普勒频移下检测概率与部分匹配滤波器的关系(SNR =－25 dB)

3.3 平均捕获时间

本文采用的是单次逗留捕获判决方式，该算法的平均捕获时间为［13］

式中:q 为搜索单元数，q 等于码的长度或码长度的整数倍，如果每次更新半个码片长度，那么q 等于两倍的码长，即q = 2M。假设虚警惩罚时间为kτd，其中:k 为虚警惩罚次数;τd为单次驻留时间。800 Hz 多普勒频移下，平均捕获时间与部分匹配滤波器长度之间的关系如图8 所示。部分匹配滤波器长度越大，所需捕获时间越短。

图8 800 Hz 多普勒频移下平均捕获时间与部分匹配滤波器的关系(SNR =－25 dB，k = 5)

4 PMF-FFT 算法滤波器长度选取研究

上述分析从算法的理论特性和捕获性能对部分匹配滤波器进行考察考。理论特性方面，部分匹配滤波器的长度影响着算法本身的多普勒频率估计精度和范围、相关损失以及扇贝损失。匹配滤波器长度越小，频率估计精度越低，频率估计范围越大，相关损失越小，最大扇贝损失越大;然而匹配滤波器长度越小也意味着更大的硬件实现复杂度，改变匹配滤波器长度无法有效减少扇贝损失的影响。捕获性能方面，工程中所常用的捕获评价标准为检测概率、虚警概率和平均捕获时间，部分匹配滤波器长度越长，可以得到更加优秀的虚警概率和捕获时间，检测概率却也随之降低。

因此在设计PMF-FFT 捕获系统时，需要从理论特性和捕获性能双方面考虑如何选取系统的部分匹配滤波器长度。理论特性方面根据系统环境的最大多普勒频移和系统所能接受的相关损失来确定匹配滤波器长度的限制要求，再根据对捕获性能如检测概率及捕获时间的需求并考虑硬件实现成本来最终确定部分匹配滤波器的长度。

5 结 论

本文对基于PMF-FFT 快速捕获算法的理论原理进行了分析，给出算法的结构，建立了数学模型。分别从多普勒频率、相关损失和扇贝损失以及检测概率、虚警概率和平均捕获时间几个方面给出部分匹配滤波器长度的改变对算法理论性能和捕获性能的影响，并给出滤波器长度选择的指导思想。实际中可以根据用户不同的指标需求选取不同的匹配滤波器长度，解决了PMF-FFT 捕获系统设计中部分匹配滤波器长度的选择问题，为PMF-FFT 算法的系统设计解决了首要的问题。

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