优化例题设计，提升学生思维

文深圳市布吉高级中学 李金晟

优化例题设计，提升学生思维

文深圳市布吉高级中学 李金晟

新课程标准要求学生对数学的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，要让学生形成积极主动的、多样的学习方式，要鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，发展创新意识，通过课堂的数学学习形成理性的思维能力.这就需要教师精心设计课堂的每一个环节，特别是每一个例题，帮助学生落实每一个数学知识，激发学习兴趣，把学生的思维提升到一定的深度、广度和宽度，使学生真正达到“融会贯通，举一反三”的状态.

一、例题梯度化，突破学生的思维深度

高中数学中会遇到很多的难题，比如函数、圆锥曲线等都会出现综合性的题目，如果学生对于分块的知识没有学好，在解决难题的过程中就会出现思维断层的情况，所以平时设置例题时应由易到难、由简到繁、由基本到变式、由低级到高级的梯度发展顺序去安排，让不同的学生都学有所得.比如例题：若函数f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）区间［-1，1］上有零点，求a的取值范围.如直接讲解，在短时间内学生无法理解和掌握，并且印象不深，因此可以先分解成一系列的例题串：

例1.若二次函数f（x）=2ax2+ 2x-3-a（a∈R）有零点，求a的取值范围.

例2.若函数f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）有零点，求a的取值范围.

例3.若函数f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）区间［-1，1］上有一个零点，求的取值范围.

例4.若函数f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）区间［-1，1］上有两个零点，求的取值范围.

例5.若函数f（x）=2ax2+2x-3-a（a∈R）区间［-1，1］上有零点，求的取值范围.

通过以上几个例题的梯度递进，将复杂的问题一一进行分解，起到化整为零的效果.加深了学生对于零点分布的整体性认识，让学生在解决复杂问题时能进行剖析和分解，从各种角度、各个方面形成递进的思维习惯，从而逐步提升学生思维的深度.

二、例题体系化，扩展学生的思维广度

新课程要求从不同的角度培养学生的逻辑思维能力，可激发学生的学习兴趣.设计例题时，可根据具体内容，通过一堂课或者是几堂课将数学问题进行体系化，设置系统的、全面的、多角度的例题体系，让学生能在有限的题目中举一反三，实现对数学知识整体化的建构过程.如利用导数知识解决曲线切线问题时学生容易思维混乱，以致于出现不知从何入手的情况，这就需要教师利用不同的例题类型全面地强化学生对切线的认识，进而形成认知体系.

例1.求曲线y=x3-3x2+1在（1，-1）点处的切线方程.

例2.求与直线2x-y+4=0的平行的抛物线的y=x2切线方程.

例3.求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程.

例5.已知函数y=x3-3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.

例6.已知函数y=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.

例8.设函数y=x3+ax2-9x-1 （a＜0），若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求a的值.

利用导数知识解决切线问题可以有四种类型：已知切点、已知斜率、已知过曲线上一点、已知过曲线外一点等求切线方程.分别通过例1至例5强化每一种情况的使用技巧，进而总结出利用导数知识解决切线问题的三个关键步骤：一是找切点（确定切点在不在曲线上，不在或未知就设出切点），二是写出切线的斜率（就是切点处的导数值），三是写切线（或代点求切点再写切线）.经过以上例题系列的训练，学生对问题的本质有了完整的认识，以后碰到切线相关题目就能够作出清晰的分析过程.例6、例7、例8是对切线问题的综合应用，进一步扩展了学生思维的广度.

例题是课堂的主干，是课堂的“脉络”，抓住了课堂的“脉络”，就抓住了数学学习的体系.通过精细化的例题设计，让学生的数学思维在梯度、体系、层次的例题设计中，完成一次思维的飞跃，不断建构学生自己的数学能力体系，才能变“被动学习”为“主动学习”，提高学生对数学的认知程度，进一步提升学生数学思维能力.

责任编辑 罗 峰