混沌序列的演变过程及应用分析

吴彬

摘要：混沌出现后，古典学科便终止了。混沌序列的出现，图像加密尤其是彩色图像的加密变得简单。混沌从出现至今，经过了半个世纪的演变，每一次的变换，都给彩色图像加密提供了更加安全的密钥序列。

关键词：加密算法 混沌 超混沌

Abstract：When Chaos appears， then the classical discipline be terminated，and image encryption becomes easy，especially for color image encryption. Chaos system has gone through half a century， the color image encryption becomes more and more secure.

Keyword： encryption algorithm; chaotic system; super chaotic system

一、引言

混沌出现后，古典科学便终止了，由于混沌序列具有极端的初值敏感性、伪随机性、序列轨道不可预测性等优点[1]，混沌的这些特点，正好解决了网络中多媒体信息传送，尤其是图像传送的加密问题。混沌的发展从经典的Logistic映射、二维广义猫映射（Cat Map）、三维统一混沌系统（3D Unified Chaotic System）等以及超混沌大致四个阶段的演变过程。从最简单的Logistic映射开始，他们的维数逐渐增多，所构造的序列复杂度逐渐增加，用来给图像加密的密钥空间也在逐渐的海量级的增加。

二、混沌的定义

混沌理论（ChaoticTheory）是三十年才出现的，他的出现有着划时代的意义。混沌、相对论、量子论被誉为二十世纪的最伟大发现。混沌理论否定了包括宏观世界拉普拉斯 （Laplace）式的决定型因果律。混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式，其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。

混沌运动只出现在非线性动力系统中，它是既普遍又极复杂的现象。它的通常状态不是通常概念下确定性运动的三种状态：静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的、性态复杂的运动。把在某些确定性非线性系统中，不需要附加任何随机因素，其系统内部存在着非线性的相互作用所产生的类随机现象称为“混沌”、“自发混沌”、“动力学随机性”、“内在随机性”等等。

根据Li-Yorke定义， 1983年Day认为一个混沌系统应该具有如下三种性质：第一，存在所有阶的周期轨道;第二，存在一个不可数集合，该集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋向于任一周期轨道，即该集合不存在渐进周期轨道;第三，混沌轨道具有高度的不稳定性。

三、Logistic映射

Logistic映射是一种经典混沌映射，非常简单却被广泛应用，Logistic映射系统定义[2]：

xn+1=μxn（1-xn）                （1）

Logistic映射具有典型的混沌特性，被誉为是最简单但却最经典的混沌模型，它的出现，开辟了混沌序列研究的先河。在式（1）中，当该映射唯一的参数μ∈（3.5699456，4]时，Logistic映射就会产生混沌序列，也就是说该映射处于混沌的状态。它具有混沌的所有特性，即伪随机性、初值极端敏感性以及序列的完全不可预测性。

Logistic映射虽然具有典型的混沌序列的特性，但是它只有一个系统参数μ，所能产生的密钥空间非常有限，且只能产生一组序列，用于多媒体信息加密显得捉襟见肘。

四、二维统猫义猫映射

二维的混沌系统模型最早是由Arnold提出来的[3]，因为一直使用一张猫脸演示，因而取名猫映射。它的模型式如下：

xn+1=（xn+yn）mod1

yn+1=（xn+2yn）mod1（2）

从数学模型看，当x mod 1=1-|x|，该映射的序列的范围在一个取值在[0，1]正方形中，将该模型转换成矩阵即可得式（3）：

xn+1

yn+1=1 1

1 2xn

yn=Cxn

ynmod1（3）

经过几次变换后，式（3）可变换成式（4），式（4）中有2个独立参数p、q，产生两个序列Xn和Yn，加上取模预算参数N，系统一共有三个独立参数，且能产生二维的序列，正好适合彩色图像加密过程的坐标置换加密。

xn

yn=1 p

q pq+1x0

y0modN+1（4）

使用二维猫映射对彩色图像加密，产生了二维序列，且有两个系统参数，序列的密钥空间和复杂度大幅度提升。但是使用二维猫映射系统对彩色图像进行坐标置乱加密，只改变了图像的像素坐标，却不能改变图像的灰度值，也就是明文和密文的图像灰度值直方图是一样的，若已知明文类型的攻击，则很难抵御，算法的安全性仍然需要提高。

五、三维统一混沌系统

2002年，Liu Jin-hu等人提出了三维统一混沌系统，该系统将Lorenz系统和 Chen系统进行统一和连接后形成的[2]，他们构造的数学模型如式（5）所示：

x′=（25a+10）（y-x）

y′=（28-35a）x-xz+（29a-1）y

z′=xy-（8+a）z/3（5）

该系统可以产生三维序列，有三个非线性项，而且有四个独立的参数，复杂度大幅度提高。在彩色图像加密应用中，三维序列非常适合用来替代彩色图像的R、G、B三基色的灰度值。通常，将彩色图像用二维猫映射进行坐标置乱加密后，再用三维统一混沌系统对R、G、B三基色的灰度值替代加密，可产生非常好的加密效果。将经过二维坐标置乱和三基色灰度值替代加密后，算法密钥空间可提高大幅度提高，若每个参数使用15位的双精度数，二维猫映射有3个系统参数，三维统一混沌系统有4个参数，结合后的加密算法则有7个参数。采用三维和二维混沌结合的加密方法加密后，密钥空间比只用二维广义猫映射混沌序列加密算的密钥空间提高1015+15+15+15=1060倍。无论是密钥空间，还是算法复杂度，以及直方图，两个系统结合的加密算法都可取得良好的加密效果。

六、展望

虽然混沌序列的复杂度一直在提升，2011年7月，卢辉斌、孙艳在《基于新的超混沌系统的图像加密方案》又提出了超混沌， 他們构造了一个新超混沌系统，并提出了基于超混沌序列的加密算法。超混沌具有四维序列，维数更高参数更多，序列更加复杂，但是加密算法从来都没有能完全抵御攻击。作为安全工作者，抵御各种攻击，我们任重而道远。

参考文献：

[1]杨红，林士胜.图文混沌加密在互联网传的多格式处理与识别[J].计算机辅助设计与图形学学报，2005（1）：105-109.

[2]陶栋，李之棠.混沌加密图像算法[J].计算机工程与科学，2003，25（4）：7-9

[3] Jorge A Gonzalez.  Absolutely  unpredie-

atable chaotic sequences[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2000（8）：1867-1874.

[4]张小红，黄剑，谢斐.一种基于Logistic映射的数字图像迭代混沌加密方法[J].电脑学习，

2003（5）：36-37.

（责编 赵建荣）