函数与方程：辩证与统一的数学艺术

李刚

函数与方程思想，同分类讨论、类比、化归、数形结合等思想一起被列为高中数学的几个重要的基本思想之一，函数与方程贯穿了整个高中数学的教学始终。无论是在求自变量值域、不等式求解、求极值、以及数列的问题中，函数与方程思想都发挥着重要的作用。通过对所给数量的关系仔细观察、分析、判断、发现数量间由此及彼的联系，建立起函数模型，能够更好地解决相关数学难题。函数与方程，二者相互联系又相互转化，辩证又统一地存在于高中数学教程中，在答题和解题技巧中发挥着不可或缺的作用。

数学教学函数思想函数与方程函数与方程是两个不同的数学概念，二者紧密联系，又不可分割。在高中数学中，函数与方程涉及到多个知识面的考查与运用，每年在高考中都占有固定的分额，是高考的必考和热门项目。因此，学生在高中数学的学习中，必须熟练地掌握函数与方程和性质与特性，灵活地运用函数与方程的思想到解题当中来，才能在这块必考知识点上稳操胜券。

在数学解题中，函数与方程思想可以将复杂的问题简单化，巧妙转化变量之间的关系，以函数图形代替抽象数量关系，搭建解决抽象问题的桥梁。化繁为简，化无限为有限，是函数与方程思想的精妙所在。

一、函数的思想

函数描绘了定量与变量间的抽象关系，函数思想即通过已知的数量关系，构建相关的函数模型，并通过函数模型的建立来研究、分析问题，最终解决问题的数学思想策略。函数是一个工具，是描绘客观世界变化规律的基本数学模型，在高中数学中，函数思想是高中数学教学的核心主线之一。函数的单调性、周期性、奇偶性、函数的最值和图像变换等性质在解题应用中无处不在。利用函数思想，总是可以将纷杂的问题条理化，化繁为简，化无形为有形，巧妙地将问题化解。

例如，2011年陕西省高考数学试卷中有这样一道题目：

可见，熟练地了解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数，以及三角函数等各函数的特性，是利用函數思想解决问题的基本条件。在了解函数特性的基础上，挖掘各变量的隐含条件，构建出相关的函数模型，是解题的关键。

二、方程的思想

方程是建立等量的关系，并由这些已知的等价关系进行推断，得出未知的解的过程。方程可以看作是函数值为零的特例，方程组的解可以看作是函数图形的交点。方程的思想是利用方程的性质来分析数学问题中的变量关系，构建相关的方程或方程组，并利用其去研究、分析、解决问题的思想策略。作为一个数学思想，方程思想在数学发展史上有着重要的作用。与函数思想相比，方程思想是一种动中求静的思想，在动态变量中研究等量关系，从而未知转化为已知，解决相关难题。

利用方程思想，便是要在表面的关系中挖掘隐藏条件，寻找变量中的代数关系，建立方程组，解决方程中的未知变量。方程思想在代数、解析几何中都有着广泛的应用。数学教师在授课中要培养学生建立方程的思想意识，将方程思想运用到现实的数学问题当中去。

三、函数与方程思想的运用

函数与方程知识涉及的知识面广、范围大，在方程的求解、函数的值域、不等式和数列问题等知识点中都具有广泛的应用：

1.方程的求解。有一些方程的求解，也即是函数图象有相交点，方程求解的问题可顷刻间转化为函数图象的交点问题了，这就是方程问题的函数化，其本质也是数形结合思想，所以数学几个基本思想在本质上是相通的。

2.函数的定义域求解。函数本是描述变量与参量的一个数学模型，探索变量之间的取值范围和最值是常见的运用函数方程思想的案例。在求解的过程中，充分利用函数特性，灵活转换方程与函数的关系，才能准确求解。

3.几何图形的图象关系。方程思想在解析几何中处于主导地位，在求曲线方程，判断直线与曲线，曲线与曲线的位置关系上，方程是重要的解题思想。有些直线与圆、曲线的位置关系，需要通过解二次元的方程得到求解，而有些求直线与曲线的最值问题时，往往也需要构建函数，利用其性质来求解。

4.不等式求解问题。在处理不等式的恒成立、求解问题时，通常采用建立相关函数，通过函数性质确定变量的取值范围与最值，从而解决问题。

5.数列问题。从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数，而数列的通项公式也即函数和解析式，所以说，数列问题的本质仍然是函数问题，数列的问题也即函数的问题，运用函数来解决数列问题是首当其冲的不二选择。

四、函数与方程的相互转换

函数与方程二者相互联系，辩证统一，完美地栖身于高中数学的框架之中。函数问题可以转化为方程问题，方程问题亦可以转化成函数问题，二者互为工具，互相转化，而数形结合是实现这种转换的桥梁。把数量关系和几何图象结合起来，实现二者的灵活转换，可以将抽象的数学难题轻松解决。学生在遇到相关难题时，要熟练掌握函数与方程思想的精髓，灵活运用二者的转换关系，只有这样，才能在考试中起到事半功倍的作用。

参考文献：

[1]杜海滨.解读函数与方程的思想方法.2009.

[2]何晓勤.函数与方程思想在解题中的应用.2014.

[3]郭淑娟，王福利，周桦.多元函数条件极值案例分析.2011.

[4]薛文佳，朴勇杰.浅析函数与方程思想及其应用.2014.

[5]舒晓懿.动静相映你中有我——谈“函数与方程思想”专题复习.2014.