基于响应面法的数控机床工作台有限元分析与尺寸优化

王礼明，田亚峰，李正羊，赵坤坤，叶 霞

（1.江苏理工学院机械工程学院，江苏常州 213001；2.常州昌隆机床制造有限公司，江苏常州213125）

基于响应面法的数控机床工作台有限元分析与尺寸优化

王礼明1，田亚峰2，李正羊1，赵坤坤1，叶 霞1

（1.江苏理工学院机械工程学院，江苏常州 213001；2.常州昌隆机床制造有限公司，江苏常州213125）

工作台是龙门数控机床的重要组成部件，对工作台的结构和工况进行分析；在分析的基础上，通过正交试验选取需要优化的尺寸变量；利用ANSYS/Workbench有限元软件进行灵敏度分析，得到分析结果；再利用二次响应面法，对分析结果和尺寸变量进行二次回归拟合；确定目标函数，约束条件和设计变量，利用MATLAB优化工具箱进行工作台的优化设计，得到最佳尺寸配置，并对其结构进行有限元分析。分析结果表明，工作台质量减少162.4kg，最大变形量减少6.7%，最大应力减少10%，动态特性也有明显提升，为工作台的优化设计提供一种新思路。

有限元分析；正交试验；灵敏度分析；响应面法；尺寸优化

0 引言

工作台是龙门数控机床的重要组成部件，它的静动态特性的好坏，直接影响整机的性能，提高工作台的加工精度和抗振性对整机的性能具有重要意义［1］。目前机床研究主要采用经验设计和类比设计，没有考虑工作台结构尺寸之间的相互联系，以单目标优化的方法往往不能同时满足机床工作台轻量化和抗振性的要求。为解决上述研究过程中存在的不足，本文提出有限元分析和响应面法相结合的方法确定工作台尺寸多目标优化函数，构造工作台质量和工作台固有频率的评价函数，利用MATLAB优化工具箱得到最佳尺寸配置，从而提高工作台的加工精度，减少加工工件的振动变形，提升工件质量。

1 工作台的有限元模型建立

利用Pro/e建立工作台三维实体模型，在不影响精度前提下，对模型进行一定简化，除去螺纹孔、通孔以及一些细小凹槽等特征［2］。

通过Pro/e与AWB数据接口技术，将Pro/e模型直接导入AWB中，避免了特征数据信息的丢失，图1为建立工作台有限元模型。

图1 工作台有限元模型

定义材料并进行参数设置，工作台采用HT300，通过查表得基本分析参数的参考值，弹性模量143GPa，泊松比0.27，密度7350kg/m3。

AWB中自动进行单元类型分析，采用默认设置，自由网格划分；施加载荷与约束，工作台质量施加在底面的10个滑块连接面，在工作台支撑底面设置为固定约束，工作台受到的载荷为自身重力。

2 数控机床工作台的尺寸优化

工作台结构复杂，侧壁的凹槽用于润滑管路的安装，对工作台运动特性起主导影响的是工作台筋板厚度（如图2）以及工作台高度等参数，为保证原有结构的完整性，方便龙门数控机床的数控线路和润滑管路布局，以及装配的合理性，保证工作台外部装配结构不改变，结合实际工作情况对工作台进行设计研究。

图2 选定的分析尺寸

工作台承受工件重量，进行机械加工，由于加工工件安装固夹的位置不同，对工作台的变形影响也不相同，为了保证零件加工精度的稳定性，需要工作台的刚度具有均匀性，避免工作台刚度的薄弱环节对机械加工的影响，而且刚度的均匀性也保证了工作台在运行过程中的平衡性。“井”字型内部筋板结构类型符合这一要求，因此在不改变内部筋板结构（即筋板类型）的前提下，对工作台底面和侧壁厚度x1，工作台内部横纵筋板厚度x2，工作台高度x3进行优化（如图2），提高工作台静动态刚度，实现轻量化设计。

2.1 正交试验法

如何合理的选取工作台各参数尺寸数据，进行科学的有限元分析，从而尽快获得最优组合方案，在工作台优化设计过程中能够减少开发时间，提高效率是非常重要的手段。

正交试验是一种研究多水平多因素的实验设计方法［3］。正交实验的正交性主要表现为均衡搭配性，均衡搭配是指用正交表所安排的试验方案，能均衡的分散在水平搭配的各个组合方案中，因而其试验具有代表性。

工作台结构尺寸的优化设计选取工作台底面和侧壁厚度x1，工作台内部横纵筋板厚度x2，工作台高度x3为设计变量，即正交试验的3因素，设计变量的四组取值为正交试验的4水平，按照正交试验的方法（如表1），采用4水平3因素正交试验表，进行L16（43）=16组数据的有限元灵敏度分析。

表1 正交试验设计的因素、水平

2.2 灵敏度分析

灵敏度是一个广泛的概念［4］，从数学意义上可理解为若一函数F（x）可导，其一阶灵敏度可表示为

前者称为一阶微分灵敏度，后者称为一阶差分灵敏度。除一阶灵敏度外，还可以有高阶灵敏度，高阶灵敏度的公式为

反映结构动力特性的参数或目标函数，一般有特征值、特征向量、传递函数等。可根据分析问题的要求，确定使用何种动力特性参数进行灵敏度分析。

结构的优化设计任务就是在于寻求结构设计变量的一组最优值，使其满足约束条件和函数最值［5］。工作台的灵敏度分析是指通过工作台底壁厚度x1、横纵筋板尺寸x2、工作台高度x3的变化对变形、应力以及固有频率的影响。不同的结构尺寸的组合对工作台性能影响不同，即灵敏程度不同。通过分析参数的变化，寻找对工作台性能最敏感的参数，得到动态特性响应规律，从而更好的指导结构的改进与优化设计。

工作台内部是由横纵方向的筋板构成，和工作台侧壁共同支撑工作台不被工件压弯变形；工作台底面与滑块连接，保证工作台在运行过程中的强度要求；而工作台的高度则对质量以及承受载荷能力有着较大影响，根据工作台的结构特点，以及工作台静动态性能分析结果，工作台适于进行结构尺寸厚度和高度的优化，采用合理的筋板厚度和高度，即可以提高工作台的动态特性，又能实现轻量化设计［6］。

尺寸x1，x2，x3的改变不会影响工作台整体结构的变化，而且这三个尺寸之间不存在依附关系，因此可以现实尺寸的灵敏度优化。

选定的优化尺寸的初始值由原工作台模型决定，根据工作台实际工作情况选定变化范围（如表2）。由上述的工作台模态分析可得，影响工作台动态特性的主要是前几阶固有频率，为满足轻量化以及动态特性的要求，将工作台质量和一阶、二阶固有频率作为灵敏度分析的结果。

表2 选定尺寸的变化范围

在ANSYS/Workbench中进行相关参数设置，进行16组的正交试验组合参数分析，最终得到工作台灵敏度分析结果（如表3）。由表可知，三个设计变量参数相互影响，厚度过厚或者高度过高将会增加工作台质量，不利于轻量化设计；而厚度过薄或者高度过低将会降低工作台固有频率，影响工作台动态特性，因此需要对分析结果进行进一步处理。

表3 工作台灵敏度分析结果

2.3 响应面法理论

响应曲面法［7-8］（Response Surface Methodology，RSM）是数学方法和统计方法结合的产物，用于对感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析，以优化这个响应。

在工作台优化分析过程中，响应和自变量之间的关系形式是未知的，寻求响应和自变量集合之间真实函数关系的一个合适的逼近式［9］。由于工作台系统有弯曲，则采用二阶系统模型为

响应面模型具有较高的精度，能够满足工程实际需要。在MATLAB中，对灵敏度分析的结果数据进行处理，以工作台质量为目标函数，以正交试验的3因素为设计变量，通过regress二次回归方程的拟合，拟合函数为

得到工作台质量的响应面模型方程的系数矩阵为

同理，以1st和2nd固有频率平均值为目标函数，得到固有频率的响应面模型方程的系数为

则工作台质量的响应面模型方程为

固有频率的响应面模型方程为

通过gress函数［b，bint，r，rint，stats］=gress（y，x）分析可知，stats用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p和残差的方差（前两个越大越好，后两个越小越好）。通过MATLAB对工作台质量的响应面模型和固有频率响应面模型分析，得到stats四个数值满足精度要求，该系统模型能够表示参数变化。

2.4 尺寸多目标优化

为避免由于数据相差较大带来的误差以及不准确性，在进行目标函数确定之前进行优化系数的确定，由表3可知，灵敏度分析的工作台质量矩阵为

根据有限元灵敏度分析，1st和2nd平均固有频率矩阵为

令多目标函数的优化系数为

式中，i为正交试验编号；n为正交试验组数，n=16；mi和pi分别为灵敏度分析的质量与平均固有频率，得α=18.4615。

由于涉及到两个优化目标函数，需要对其进行权重衡量，线性加权和法是最容易理解的评价函数法，根据各目标函数的重要程度构造评价函数为

其中wi为权函数，满足wi≥0，i=1，2，3，…，m，且，然后求解

考虑到工作台在实际加工过程中的性能要求，底面和侧壁厚度的范围为25～35mm，横纵筋板厚度为15～25mm，工作台的高度为225～265mm。取工作台质量和平均固有频率的权重值wi=wj，因此得到工作台多目标优化函数为

利用MATLAB优化工具箱中的fmincon函数对多目标函数进行求解，得到工作台最优尺寸解为

考虑到实际铸造过程中，需要对尺寸进行圆整，最后得到尺寸值为

2.5 优化结果分析

为简化工作台模型，便于优化分析，去除工件，保持约束条件、材料属性以及其他设置不变的情况下，对工作台进行单独分析。根据优化后的圆整尺寸，重新进行工作台的三维实体建模，并在ANSYS/Workbench中保证材质以及约束条件的不改变，对优化后的工作台进行静态特性和动态特性分析。

由分析结果可知，在受到自身载荷的作用下，最大变形为5.33μm，主要集中在工作台中间端面位置（如图3），靠近与滚珠丝杠螺母相连接的区域；应力分布均匀（如图4），最大应力为2.21MPa。在进行机械加工时，应尽量避免将工件装夹在工作台中间端面位置，这不仅影响龙门数控机床工作台的进给精度，而且影响工件的加工质量，应将工件装夹在工作台中间位置或者导轨外中间位置，使工作台受力均匀，减少最大变量位移所承受的载荷，提高工件的加工质量。

图3 优化后工作台位移云图

图4 优化后工作台应力云图

由表4可知，工作台结构尺寸优化后，质量减少162.4kg，最大变形量减少6.7%，最大应力减少10%，对于静态分析而言，较优化之前，质量减轻，性能提到提升。

表4 工作台静动态特性优化前后对比表

图5为工作台振型图。

图5 改进后工作台振型图

工作台进行动态性能分析，即模态分析时，在工作台支撑底面的10个滑块连接面设置为固定约束，由分析结果可知，一阶固有频率为224.42Hz，一阶振型在xOz平面沿y方向一次弯曲振动，最大位移值在工作台中间，最大值为1.053mm，如图5a所示。二阶固有频率为250.04Hz，二阶固有频率在xOz平面沿y方向二次异向弯曲振动，最大位移值在工作台中间端面位置，最大值为1.178mm，如图5b所示。三阶固有频率为280.53Hz，三阶固有频率在xOz平面沿y方向两端上下摆动，最大位移值在工作台导轨外端面两侧，最大值为1.222mm，如图5c所示。四、五、六阶固有频率分别为300.2Hz、322.54Hz和326.49Hz，最大位移分别为1.357mm、1.725mm和1.271mm，如图5d，5e，5f所示。

通过动态特性分析可得，分析结果符合静力学分析情况，在载荷与约束条件相同情况下，优化前后的工作台同阶主振型相同。

由表5可知，工作台结构尺寸优化后，动态特性提高明显，以前六阶固有频率为例，较优化之前，分别提升了1.86Hz，2.21Hz，18Hz，5.87Hz，12.78Hz，13.56Hz。使工作台在进行机械加工过程中，能够更好的保持稳定性，增强了抵抗振动能力，保证了工件的加工质量和精度。

表5 工作台动态特性优化前后对比表

3 结束语

（1）工作台的材质为HT300，其最大应力远小于材料的许用应力，满足工作台的强度要求。

（2）对工作台的结构和工况进行分析，确定了需要进行优化的尺寸变量，并通过响应面法进行优化设计，得到最优尺寸结构。

（3）通过对工作台的优化设计，不但使重量减轻了162.4kg，最大变形量减少6.7%，固定频率也有明显提升，不仅使工作台的静刚度得到提高，同时动刚度也有一定提升。

（4）以上的研究结果为工作台的优化设计提供了理论依据，与传统的类比、经验设计相比，缩短了设计时间，提高了效率，更重要的是提升了产品的质量和性能。

［1］李洪.实用机床设计手册［M］.沈阳：辽宁科学技术出版社，1999.

［2］刘光浩，黄伟，陈超山，等.基于ANSYS的ZK5150型钻床工作台有限元静动态分析与尺寸优化［J］.组合机床与自动化加工技术，2010（9）：89-91.

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［4］廖伯瑜，周新民，尹志宏.现代机械动力学及其工程应用［M］.北京：机械工业出版社，2009.

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［6］邢晓辉，王洪川，王贵飞，等.基于灵敏度分析的数控机床床身尺寸优化设计［J］.组合机床与自动化加工技术，2013（11）：5-8.

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［8］汪仁官.试验设计与分析［M］.北京：中国统计出版社，1998.

［9］张凯渊，胡洁，王伟明，等.基于响应面模型的多鲁棒设计法研究［J］.机械设计与研究，2006，22（3）：6-9.

（编辑 赵蓉）（编辑 赵蓉）

The Finite Element Analysis and Dimension Optimization of Machine Tool Based on Response Surface Method

WANG Li-ming1，TIAN Ya-feng2，LI Zheng-yang1，ZHAO Kun-kun1，YE Xia1
（1.School of Mechanical Engineering，Jiangsu University of Technology，Changzhou Jiangsu 213001，China；2.Changzhou Changlong Machine Tool Manufacturing Co.，Ltd.，Changzhou Jiangsu 213125，China）

Workbench is an integral part of gantry CNC machine tool，the structure and working conditions were taken to the finite element analysis of workbench；on the basis of the analysis，the dimension variables were selected by orthogonal experiment；with the using of ANSYS/workbench software of sensitivity analysis，the results of the analysis were gotten；and then，the analysis results and the dimension variables were taken to secondary regression by the response surface method；and meanwhile，the objective function，constraints and design variables were determined to use MATLAB optimization toolbox to optimal design of workbench，at last，the best dimension were gotten and the finite element analysis were taken.The analysis result show that the weight of the worktable was reduced by 162.4kg，and the maximum deformation and maximum stress were decreased by 6.7%and 10%，at the same time，the dynamic characteristics were also improved significantly and provided a theoretical basis for the design of worktable.

finite element analysis；orthogonal experiment；sensitivity analysis；response surface method；dimension optimization

TH122；TG659

A

1001-2265（2015）06-0028-05 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.06.008

2014-09-28；

2014-10-21

王礼明（1990—），男，浙江衢州人，江苏理工学院硕士研究生，研究方向为先进制造技术与装备，（E-mail）wlmbest@sina.com；通讯作者：叶霞（1973—），女，江苏泰兴人，江苏理工学院副教授，博士，硕士生导师，研究方向为仿生机械设计与制造；（E-mail）yexia @jstu.edu.cn。