反函数求导定理的变体*

2015-11-02曾小林

重庆工商大学学报（自然科学版） 2015年7期

曾小林

(重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067)

在微积分中，函数的导数定义与求导法则是微分学的重点知识，不少文献对此进行了探讨，如文献［1］介绍了用导数求极限的方法，文献［2］结合极限、洛必达法则等辨析了导数的概念.反函数是微积分中另一个基础概念，而反函数的求导定理是一元函数求导公式的重要组成部分.相比于其他求导法则，反函数的求导定理更深刻，它的证明除了使用导数的定义之外，还依赖于反函数的性质，尤其是反函数连续性定理，因此可以说它是数学分析中一个比较深刻的结论.有文献对反函数求导定理的条件可否减弱进行了仔细的分析［3］.此处从另一角度，即某些特殊情形入手，对此定理进行讨论，目的在于拓广反函数求导定理的使用范围，进一步深化对反函数求导定理的认识.

在讨论反函数求导定理之前，首先对反函数的概念进行简单的回顾.

定义1 设y=f(x)是从定义域D(f)到值域Z(f)的一一对应函数，则对每个y∈Z(f)，有唯一的x∈D(f)使得f(x)=y.记该对应法则确定的函数为x=φ(y)，称为y=f(x)的反函数，此时y=f(x)称为直接函数.显然 D(φ)=Z(f)，Z(φ)=D(f).

关于反函数的下列事实将在文中用到:严格单调函数必然有反函数，并且反函数与直接函数具有相同的单调性，更深入地，有下列反函数连续性定理:

定理1［4］设y=f(x)在一个区间Ix上严格单调增加(或减少)，并且在其中每点连续，那么它的值域Z(f)=Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}也是一个区间，且它的反函x=f－1(y)在Iy上严格单调增加(相应地，减少)且连续.

为了介绍文中的主要结果，先回忆反函数求导定理如下:

观察定理1，2，可知其中的x0点仅限于区间的内点，而不包括区间的端点，因为这时函数至多存在单侧导数.文章首先在命题1，2中讨论了当x0为区间端点时的情况，对反函数求导定理在区间端点处的特殊情形加以明确说明;然后，改变反函数求导定理的可导性条件，分别研究了当f'(x0)=0，f'(x0)=∞时反函数求导定理的各种表现形式.

1 主要结果及其证明

命题1 设函数y=f(x)在某一区间［a，a+r］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，f(x)在点a的右导数f'+(a)存在且f'+(a)≠0，则y=f(x)在［a，a+r］上的反函数x=φ(y)在点y0=f(a)处右导数(相应地，左导数)存在，且有

证明仅证当y=f(x)在［a，a+r］上是严格单调增加连续函数的情形，当y=f(x)在［a，a+r］上是严格单调减少连续函数的情形类似可证.

若记Δx=φ(y0+Δy)－φ(y0)，注意 a=φ(y0)，得 Δx+a=φ(y0+Δy)，从而 f(Δx+a)=f(φ(y0+Δy))=y0+Δy=f(a)+Δy，即 Δy=f(a+Δx)－f(a).现考虑极限式由定理1可知，φ(y)在区间［f(a)，f(a+r)］上连续且严格单调增加，故由Δy≠0可知Δx≠0且两者同号.并注意当Δy→0+时，由φ的连续性及严格单调性知，Δx→0+，故

命题2 设函数y=f(x)在某一区间［a－r，a］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，f(x)在点a的左导数 f'－(a)存在且 f'－(a)≠0，则 y=f(x)在［a－r，a］上的反函数 x=φ(y)在点 y0=f(a)处左导数(相应地，右导数)存在，且有

由于命题2与命题1的证明类似，故略去.

观察y=x3在x=0处的导数为=0，而 y=x3的反函数在y=0处的导数为+∞.据此自然猜测:定理2中的可导性条件“f(x)在区间内一点x0处可导，且f'(x0)≠0”可以换成下列条件:“f(x)在区间内一点x0处可导，且f'(x0)=0”.精确地说，证明了定理2的下列变体(命题3).

命题3 设函数y=f(x)在区间［a，b］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，x0∈(a，b)且f'(x0)=0，则y=f(x)的反函数x=φ(y)在点y0=f(x0)处不可导，且有φ'(y0)=+∞ (相应地，φ'(y0)=－∞).

证明仅证当y=f(x)在［a，b］上是严格单调增加连续函数的情形，当y=f(x)在［a，b］上是严格单调减少连续函数的情形类似可证.

从φ的连续性及严格单增性可知，当Δy→0时，Δx→0，且有0，得 φ'(y0)=

证毕.

正如命题1，2是定理2在区间端点处的表现形式，对于命题3来说，它也有在区间端点处的版本:命题4与命题5.

命题4 设函数y=f(x)在区间［a，a+r］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，f'+(a)=0，则y=f(x)的反函数 x=φ(y)在点 y0=f(x0)处不可导，且有 φ'+(y0)=+∞ (相应地，φ'－(y0)=－∞).

证明仅证当y=f(x)在［a，a+r］上是严格单调减少连续函数的情形，当y=f(x)在［a，a+r］上是严格单调增加连续函数的情形类似可证.

命题5 设函数y=f(x)在区间［a－r，a］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，f'－(a)=0，则y=f(x)的反函数 x=φ(y)在点 y0=f(a)处不可导，且有 φ'－(y0)=+∞ (相应地，φ'+(y0)= －∞).

命题5与命题4的证明类似，略去.

从上面的命题3，4，5知，定理2中的可导性条件“f(x)在区间内一点x0处可导，且f'(x0)≠0”是可以改变的.下面进一步将其改变成不可导的特殊情况:“f'(x0)=∞”.

命题6 设函数y=f(x)在区间［a，b］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，x0∈(a，b)且f'(x0)=∞.则f'(x0)=+∞(相应地，f'(x)=－∞)，且 y=f(x)的反函数 x=φ(y)在点 y0=f(x0)处可导，且有φ'(y0)=0.

证明仅证当y=f(x)在［a，b］上是严格单调增加连续函数的情形，当y=f(x)在［a，b］上是严格单调减少连续函数的情形类似可证.

命题7 设函数y=f(x)在区间［a，a+r］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，f'+(a)=∞，则f'+(a)=+∞(相应地，f'+(a)=－∞)，y=f(x)的反函数 x=φ(y)在点 y0=f(a)处满足 φ'+(y0)=0(相应地，φ'－(y0)=0).

证明仅证当y=f(x)在［a，a+r］上是严格单调增加连续函数的情形，当y=f(x)在［a，b］上是严格单调减少连续函数的情形类似可证.

若记 Δx=φ(y0+Δy)－φ(y0)，注意 φ(y0)=a，得 a+Δx=φ(y0+Δy)，从而 f(a+Δx)=y0+Δy，即 Δy=f(a+Δx)－f(a).已知 f+'(a)=，并注意由f(x)的严格单调增加性可知当Δx→0+时，Δy与Δx同为正数，故f+'(a)=+∞.再由φ的连续性与严格单调增加性可知当Δy→0+时Δx→0+，从而φ+'(y0)=

命题8 设函数y=f(x)在区间［a－r，a］上是严格单调增加(或减少)的连续函数，f'－(a)=∞，则f'－(a)=+∞(相应地，f'－(a)= －∞)，y=f(x)的反函数 x=φ(y)在点 y0=f(a)处满足 φ'－(y0)=0(相应地，φ'+(y0)=0).

命题8的证明同命题7，略.

命题6，7，8可以看成当定理2中的可导性条件变为某点处导数为无穷时，分别考虑该点为区间内部的点、区间的左端点、区间的右端点3种情况得到的反函数求导公式的变体.

最后给出一个例子简单说明文中结果的应用.

例 1 设 φ(y)=arcsin y，y∈［－1，1］，求 φ'+(－1)与 φ'－(1).