积分算子的线性性和有界性*

耿立刚，曾 静

(重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067)

在泛函分析中，积分算子T又称积分变换是具有(Tf)(u)=(t，u)f(t)d t形式的变换.此变换把函数映为函数，是把函数空间映到函数空间上的变换.其中的K(t，u)是个确定的二元函数，称为此积分算子的核函数或核，f(t)称为象原函数，Tf(u)称为象函数.当选取不同的积分域或核函数时，就得到不同的积分变换.积分变换常用来处理微分方程的问题，常见的积分变换有Fourier变换、Laplace变换、Mellin变换、Abel变换及Hilbert变换等.此处将对积分算子的一些代数性质如线性性、有界性等进行研究.

1 积分算子的线性性

定理1 设算子T是从函数空间X到函数空间Y上的算子，如果对于任意的f，g∈X以及常数α都有式(1)(2)成立:

则称算子T是从X到Y的线性算子.

定理2 积分算子T:X→Y是线性算子.

证明 设f，g∈X，α是任一常数，则对于积分算子T，根据积分的性质有

即T(f+g)=Tf+Tg.

即T(αf)=α(Tf)，即证积分算子T是线性算子.

2 积分算子的有界性

算子T的范数指的是算子范数，定义为

对于算子T，如果 T＜∞，则称算子T是有界算子.根据积分的性质，易知积分算子是否有界与核函数K(t，u)及积分域有关.

定理3 如果一个积分算子的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子是有界算子.

由此可得 TfY≤M1fX，则 T≤M1＜∞，即积分算子T是有界线性算子.

定理4 如果一个积分算子T的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子T是连续的.

证明 因线性算子的有界性和连续性是等价的，由定理3，积分算子在所假设条件下是有界的，故积分算子T在定理假设条件下是连续的.

3 单位圆盘上的积分型算子

根据积分的性质，易知Jg的有界性.

定理5 积分算子Jg是有界的线性算子当且仅当g(z)是上的有界函数.

证明 充分性:由Jg的定义，积分域是有界的，根据定理3可得积分算子Jg是有界算子.

必要性:由算子范数定义

积分算子在泛函分析领域的研究中具有广泛的应用，并且在一些具体的理论研究中起着关键性的作用.根据Schwarz核定理，如果核函数是个广义的函数，所有的线性算子都是积分算子.Frodholm理论就是对一般积分方程理论的研究，在Frodholm理论中，核一般是Banach函数空间上的紧算子.在此情形下，核有时也称为Frodholm算子、核算子及Frodholm核等.

［1］欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007

［2］POLYANIN A D，MANZHIROV A V.Handbook of Integral Equations［M］.CRCPress，Boca Raton，1998

［3］MANZHIROV R K，THAMBYNAYAGAM.The Diffusion Handbook:Applied Solutions for Engineers［M］.McGraw-Hill，New York，2011