强化审题注重分析明晰思路寻求突破——初中数学解题思维起点确定的若干策略

☉江苏省张家港市港区初级中学　黄　亚

强化审题注重分析明晰思路寻求突破
——初中数学解题思维起点确定的若干策略

☉江苏省张家港市港区初级中学黄亚

解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案.这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动.解题过程就是根据问题条件，利用数学相关的基本知识、基本技能、基本数学思想和基本活动经验，有计划、有步骤、有目的地逻辑推理活动.它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一个步骤，通常有四个自然的阶段：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思.要圆满完成这一活动，除了强化审题、理解题意外，首要的是选择准确、科学的思维起点，使解题思维活动由问题的初态指向问题终态.实践表明：当思维起点合理时，解题过程就会得心应手；当思维起点偏离时，就容易误入歧途，无法求解.因此，在初中数学解题教学中，引导学生掌握正确的解题思维起点是一项十分重要的任务，也是学生提高解题能力的关键所在.下面结合本人课堂教学调研的一些实例，对初中数学解题思维起点确定的策略进行简单的分析，以期对读者有一定的启迪与思考，为初中数学解题教学提供一点参考.

一、从问题的条件出发，确定思维的起点，让条件与结论之间有桥梁通达

从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质，通过分析、计算、推理、归纳等活动，使得题设条件向所求结论清晰过度，达到“解决问题”之目的，这是我们解题教学中常常采用的基本方法，也是解决数学问题最容易联接的思维起点.

1.直接应用题设条件作为思维起点

概念是最为基础的知识，许多基本概念、定理、公理等就是解题的思维起点，是解决数学问题的基础、依据.

图1

结合BE=2，解得AD=5，AE=3，于是DE=4.

点评：由三角函数的基本概念及菱形的基本特征为思维起点，我们很快寻求到了图形中相关几何量之间的关系，进而求得了它们的长度，最后再利用正切的定义解决了问题.利用基本概念解题，这也是解题经验累积的结果.“经验题感”的一个重要构成是美感，熟谙数学美，就能“以美启真”、“以美寻真”，能够从题意中领悟到审美感受，从而随之产生解题的意向.

2.挖掘题设中的隐含条件作为思维起点

有些数学问题常常需要挖掘题设中的隐含条件，使题设条件明朗化、具体化，达到明晰解题方向，寻求最佳解题方案之目的.

例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点（-1，7），且在x轴上截得的线段长为3，图像的对称轴为直线x=1，求这个二次函数的解析式.

解析：根据“在x轴上截得的线段长为3，图像的对称轴为直线x=1”知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点为），于是我们可以设二次函数的解析式为，将点（-1，7）代入得a= 4，所以这个二次函数的解析式为），即y=4x2-8x-5.

点评：利用二次函数的图像与性质将条件进行等价转换是求解二次函数解析式常用的一个策略，是简化二次函数有关问题的重要途径，也是数学解题非常重要的思维起点，教学中应当予以强化.本例中，将条件“在x轴上截得的线段长为3，图像的对称轴为直线x=1”等价转化成“二次函数的图像与x轴的交点为使得二次函数的解析式由y=ax2+bx+c（a≠0）简化为），解题思路清晰、明了，问题很容易地被解决了.

二、分析问题结论的结构特征，确定思维的起点，让结论与条件之间有双向沟通

初中数学中有些问题的结论不仅是解题的终点，也是解题的起点，调控着解题的全部思维过程，解题中若能恰如其分地用好这些结论的特征，并以此为突破口来确定思维的起点，往往能收到意想不到的效果.

例3已知mn≠1，3m2-2m-5=0，5n2+2n-3=0，其中m，n为实数，求的值.

点评：对于含绝对值的式子，我们常常有两种处理方案，一是利用解决，二是利用平方进行转化.因此，本例也可以先将平方求解.虽然这两种方法都是解题教学中比较常见的方法，并且具有一定的技巧性，但关键是分析结论式子的结构能产生思维起点，值得我们予以重视.

三、剖析几何图形的性质特征，确定思维的起点，让几何性质向数量关系顺利转化

有许多数学问题与图形有关，这些图形常具有特殊的图形特征或数量关系.因此，解题时要有目的、有意识地观察、剖析几何图形，有效捕捉图形中的相关信息.并能以此作为思维的起点，我们的解题过程也许能取得事半功倍的效果.

1.以线段相等为基础，构造全等三角形作为思维起点

全等三角形的相关知识是几何学习的基础，通过三角形的全等可证得线段、角度的相等，因此，构造全等三角形作为解题的思维起点，是解决几何问题非常简洁、有效的方法.

例4如图2，在△ABC中，AB= AC=2，BD=CE，F是AC边上的中点，则AD-EF与1的大小关系是ADEF_________1（填“＞”、“=”或“＜”）.

解析：在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C.

图2

于是AD=AE，从而AD-EF=AE-EF＜AF.

点评：“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识”.本题解答过程主要抓住了AB=AC，BD=CE这两对线段相等这一特征，恰当地添加了辅助线AE，再通过全等三角形的知识，将AD-EF转化为AE-EF，使问题得以解决.

2.以角度相等为基础，构造相似三角形作为思维起点

相似是两个三角形之间的重要关系特征，两个相似三角形能把它们对应边的比用等号联系起来，这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解.而要识别两个三角形是否相似，我们常常采用“两角分别相等的两个三角形相似”，因此，以角度相等为基础，构造相似三角形作为思维起点，再运用相似三角形所具有的性质解决问题是初中数学中最为有效的方法之一.

图3

解析：根据图形特征，不难发现∠AOB=∠O1BA1，于是，我们过点A、O1分别作x轴的垂线，垂足分别是H、G，那么，Rt△AOH∽Rt△O1BG，所以

点评：利用点的坐标与线段长度固有的关系，构造一对相似的Rt△AOH与Rt△O1BG是很自然的思维起点.利用相似三角形的性质求得线段的长度，又是解决坐标问题最常用的方法.这其中，构造相似三角形的过程，又很好地运用了直觉思维，这实际上是运用解题策略并进行资源提取与分配的过程.

四、构建恰当的数学模型，确定思维的起点，让“数”与“形”之间巧妙衔接

著名的数学家波利亚曾说过：“当原问题看起来不可解时，人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题.”在具体的解题教学中，我们常常会根据已知条件的结构，构造一个恰当的数学模型，把问题进行转化.把思维起点确立在模型的建立上，往往能使得数学问题化抽象为直观.

1.以代数式结构作为思维起点，利用几何方法解决代数问题

某些数学问题，若能根据数（式）的结构特征构造出相应的几何图形，充分利用数形结合的思想，就能简化烦琐复杂的计算.

图4

易知当点C、P、D三点共线时，CP+DP最小.延长DB至点E，使得BE=2，连接CE，易知△CED为直角三角形，故CP+DP的最小值为

点评：从代数结构到几何图形，实质上是一个以“数”觅“形”的过程，学生可以从不同的侧面去理解同一个问题，加深对问题的认识，提供解决问题的快捷、有效的方法.在解题教学中，还原问题的本质是一种卓有成效的分析方法，由此，我们往往能抓住事物内在规律和实质，揭示出问题的本质属性，从中当然可觅得思维起点.本例还可以将转化为，利用直角坐标系来解决，读者不妨一试.

2.以探索几何量之间等量关系作为思维起点，利用代数方法解决几何问题

某些几何图形问题，根据图形固有的性质求解往往较为困难，如果能清晰地探索到几何量之间的等量关系，巧用“代数模型”来求解，既可以避开添加辅助线的难点，又能使复杂问题简单化、可操作.

解析：由题意易知OB=AB，所以△ABC的周长等于OC+AC.若设点A的坐标为（x，y）（x＞0，y＞0），那么△ABC的周长等于x+y.

图5

点评：本例中△ABC的周长从“AB+BC+CA”到“OC+ AC”，再到“x+y”，实质上是一个以“形”想“数”的过程，这样的思维训练对学生的发散思维能力的提升有所裨益，而整体求解“x+y”的值也是解决本例的关键.

五、运用数学思想方法，确定思维的起点，让数学解题成为完善学生思维品质的有效途径

中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理，以及由其内容所反映出来的数学思想方法.因此，数学思想方法是以具体的数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法，它是数学知识的精髓，是灵活应用数学知识、技能、方法的灵魂，是形成学生的良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁.在解题教学中，适当地运用数学思想方法作为思维起点，能完善学生思维品质，提升学生的数学素养.

1.利用方程思想选择思维起点

在一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程的学习中，方程（组）作为解题的工具，我们已经逐步感受到了它的魅力.而在其他知识的学习中，很多问题也是通过假设未知数，依据等量关系建立方程来解决的，利用方程思想选择思维起点是问题得以解决的关键所在.

例8如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，按如图所示的方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB上的点C′处，则tan∠BDC= ________.

解析：AC=6，BC=8，所以AB= 10，设CD=x，则AD=6-x.

由折叠的性质看，知C′D=x，C′A=10-8=2.

在Rt△AC′D中，C′D2+C′A2=AD2，即x2+22=（6-x）2，解

图6

点评：本题的解答过程我们采用了如下模式：几何问题→代数问题→方程求解.这是一种很流行的关于解题的观点，虽然这种方法不是万能的，但它所体现的化归思想确实是非常有价值的.

2.利用由特殊到一般的思想选择思维起点

在解题过程中，若把一个一般的数学问题特殊化后，能使该数学问题具有更多、更优的性质，以此作为思维起点，我们就可以很容易地解决所给的数学问题.

图7

（2）在（1）条件下，已知点P（t，0）为x轴上的一个动点.若∠MPN＞90°，求t的取值范围.

（2）利用∠MPN＞90°无法找到解题的切入口，我们不妨从特殊情形入手.设P1为x轴上一点，连接MP1、NP1，并且∠MP1N=90°.

过点N作x轴的垂线，垂足为H，则△MOP1∽△P1HN，所以，整理得2t2-10t+7= 0，解得.所以满足∠MP1N=90°的点有两个，其坐标分别是.观察图形可知，当点P（t，0）在这两个点之间时，∠MPN＞90°成立，故所求t的取值范围为

点评：特殊值法是通过对研究对象的特殊情形（如特殊位置、特殊图形、特殊数值、特殊数量关系等）的分析，达到选择或得到一般结论的解题技巧.利用由特殊到一般的思想作为思维起点来解决综合性问题，也是解答中考试题常用的方法之一.无论从一般联想到特殊，还是特殊过渡到一般，都要有敏锐的直觉，并且需要能在短时间内朦胧地插上幻想的翅膀，直接飞翔到最近的可能性上，从而达到对数学问题的本质领悟.

3.运用分类讨论的思想选择思维起点

在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论在解题中是不能以统一的形式进行研究的.例如，有些代数问题中的已知量是用字母表示数的形式给出的，并且这些字母不同的取值会影响到问题的解决；有些几何问题中的图形位置不确定，导致几何量的相等关系、图形的全等（相似）等出现不同的情形.直觉告诉我们，解决这类问题的思维起点是恰当地进行分类讨论.

例10如图8，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A=∠B，AD=BC=3cm，AB=4cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点Q的运动速度是xcm/s，它们运动的时间是t（s）.是否存在实数x、t，使得△ADP与△BPQ全等？若存在，请求出相应的实数x、t；若不存在，请说明理由.

图8

解析：设存在实数x、t，使得△ADP与△BPQ全等.

点评：本题中的两个三角形都是“动态三角形”，其中保持不变关系的是“∠A=∠B”，因此它们的全等关系是不确定的，要考虑全面，照顾到在已知条件下可能出现的多种情形，我们选择分类讨论作为思维起点，避免了“漏解”现象的出现.

实践表明，抓住解题思维突破口是思维素质的重要组成部分，是解题教学的灵魂所在.

但是，学生平时解题中对思维起点的确定和解题方法的归纳是缺乏的，甚至是盲目的，而思维起点的确定和解题方法的归纳恰恰又是知识与能力升华的关键所在.当然，思维起点的确定远不止上面所论述的几种，数学问题的千变万化，决定了思维起点的确定也应当是丰富多彩的，况且同一个问题也可能存在多种思维起点的确定方法，这就要求我们在平时的教学中不断总结，不断探索.路漫漫兮，在数学解题教学的路上，让我们且行且求索.

1.罗增儒.中学数学解题的理论与实践［M］.南宁：广西教育出版社，2008.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.王志强.数学解题中思维起点的选择［J］.中学数学教学参考，1997（8-9）.

4.郑一平.数学解题思维起点选择的几条途径及思考［J］.中学数学教学，2010（2）.