让题目“说话”——例谈中考阅读型考题的解法

☉江苏省南师大附中新城初中　何君青

让题目“说话”
——例谈中考阅读型考题的解法

☉江苏省南师大附中新城初中何君青

近些年来，全国各省市中考试卷中出现了一些创新型阅读题型，这些试题具有立意的鲜明性、背景的深刻性、情境的新颖性、设问的灵活性等特点.这种题型的好处众多，是“用数学”的直接体现，成为中考数学的热点问题是必然趋势.然而，在多次的考试中，但凡出现阅读型问题，学生的得分率就比较低.因此，给出这类题的解题方法，帮助学生较好地解答此类问题至关重要.

一、自相似点

如图1，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点.

问题1：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点.

问题2：在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.

①如图3，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，则CD=AB，则CD=BD.

则∠BCE=∠ABC.

由BE⊥CD，得∠BEC=90°，则∠BEC=∠ACB.

则△BCE∽△ABC.

图1

图2

图3

则E是△ABC的自相似点.

（2）①作法如下.

（i）在∠ABC内，作∠CBD=∠A；

（ii）在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点.

②连接PB、PC.

由于P为△ABC的自相似点，不妨设△BCP∽△ABC.

则∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A.

由∠A+∠ABC+∠ACB=180°，得∠A+2∠A+4∠A= 180°.则∠A=.故该三角形三个内角的度数分别为

分析：本题考查了“自相似点”的知识，题目先给出了自相似点的概念，随后让学生利用此概念解决几个相关问题，此题有一定难度，得分率不高，主要原因在于很多考生未能读懂题意，或者平时在“题海训练”下，没有亲历过自主探究的过程，遇到创新阅读题会心理紧张.

本题问题1较易，学生根据题目便知道只要满足以E点为顶点的一个三角形与△ABC相似即可，找准这个三角形是关键.问题2有一定难度，对于一个全新的知识，要让学生在有限的时间内完全理解，并写出完整、准确的解答，是需要有一定的数学素养及能力的，这源于平时的积累，要求学生平时就具备较高的思维能力、探究问题的能力和合情推理的能力.本题立于教材，高于教材，更重视对学生数学素养的考查.

拓展：解答阅读型考题，正确理解每一个问题是关键，想让题目说话，暗示更多重要的信息，必须从题目的每一问中发现相同的方法，加以提取.本题问题1暗示直角三角形当两个锐角有大小关系时，由剖分较大的角便可以得到新的角与原三角形中的角相等，从而得到结论，问题2①借助这个剖分大角得小角的方法作出一个三角形的自相似点，问题2②便可迎刃而解.事实上，这个题目还能进一步拓展，可以补充一问：通过上述研究，请探索当△ABC满足什么条件时，存在自相似点.

二、面积等分线

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.

（1）三角形的中线、高线、角平分线所在的直线中一定是三角形的面积等分线的是_____.

（2）如图4，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE.请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）.

（3）如图5，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由.

图4

图5

解：（1）中线所在的直线.

（2）方法1如下所示.

连接BE.

由AB∥CE，AB=CE，得四边形ABEC为平行四边形.则BE∥AC.

则△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等.

则S△ABC=S△AEC.

则S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

方法2如下所示.

设AE与BC相交于点F.

由AB∥CE，得∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF.

又AB=CE，则△ABF≌△ECF.

则S梯形ABCD=S四边形AFCD+S△ABF=S四边形AFCD+S△ECF=S△AED.

过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图6所示.

（3）能.连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE.

由BE∥AC，得△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，则S△ABC=S△AEC.

则S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

由S△ACD＞S△ABC，得面积等分线必与CD相交，取DE的中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.作图如图7所示.

图6

图7

分析：本题考查三角形的中线的性质、梯形的相关性质、垂直平分线的作法、平行四边形的判定、三角形全等的判定.本题选取课本基础知识：三角形的中线平分三角形的面积、梯形剪拼成三角形等，问题由特殊到一般，在考查基础知识综合应用的同时，兼顾考查学生的知识转化能力、作图能力以及实践操作能力，符合新课改精神，是一道不可多得的好题.

拓展：本题第一问先认识到三角形的中线所在直线可以作为面积等分线，第二问暗示梯形的面积等分线可以转化为三角形的面积等分线，第三问更加趋向一般，由第二问可知AB与CD是否平行不影响面积的转化，故可依法炮制.事实上，这个题目还能进一步拓展，可以补充一问：如图8，四边形ABCD中，过点P能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线；若不能，说明理由.

图8

三、方法提炼

数学解题过程是不断地将未知转化为已知的过程.对于中考阅读型问题，解题的关键是对题中的条件与问题进行观察、比较和联想，从而发现其中的暗示，这类考题中的第一问和第二问的方法常常是这类题目的精华所在，即贯穿始末的方法.

日常应注重数学创新型阅读教学，能够转变学生学习数学的方式，实现数学语言的相互转换，扩展学生的数学思维，提高学生掌握知识的水平.作为教师，在课堂上应注重融知识、方法、思想、能力于一体，要开展研究性学习，让学生认识数学的特点，把握其规律，掌握解这类题的方法，让题目说话，这样才能真正让课堂“高效”起来.Z