基于多项式连续法的6-SPS并联机构正向位置分析

宋马军，汪先明，朱大昌

（1.江西理工大学机电工程学院，江西赣州 341000；2.南昌大学机电工程学院，南昌 330031）

基于多项式连续法的6-SPS并联机构正向位置分析

宋马军1，汪先明2，朱大昌1

（1.江西理工大学机电工程学院，江西赣州 341000；2.南昌大学机电工程学院，南昌 330031）

6自由度并联机构因其结构简单、运动容易和控制算法成熟而广泛应用，典型的并联机构就是Stewart平台。文章针对6-SPS并联机构正向位置分析所构造的非线性多项式方程组，结合多项式连续法和代数拓扑法，提出多项式连续拓扑法。与一般数值连续法相比，该方法可在无需初始值的情况下，利用多项式方程组的特殊属性，得到各封闭支链所有的正向运动位置解，同时消除诸如散度和分叉等问题，也被认为是一种有效逼近一个给定的非线性问题。对科学和工程应用中一些复杂环境下的非线性问题具有重要的借鉴意义。

6-SPS并联机构；多项式连续代数拓扑法；正向运动位置解

0 引言

Stewart并联机构的构想最早可追溯到1949年，Gough［1］提出用一种并联机构的机器（Stewart平台机构）检测轮胎。1965年英国高级工程师Stewart［2］在“A Platform with Six Degrees of Freedom”论文中提出了用于飞行模拟器的6自由度的并联机构-Stewart平台。自从1978年，澳大利亚著名机构学教授Hunt［3］提出了把6自由度的Stewart平台机构作为机器人机构以来，并联机器人技术得以广泛推广。由于Stewart平台已被广泛用于运动模拟器领域，运动模拟过程对运动平台的动态性能提出更高的要求，使得运动控制算法的研究更为深入［4］。

机构的位置分析是求解机构的输入与输出构件之间的位置关系，是运动分析的最基本任务，也是机构速度、加速度及其它的受力分析、误差分析、工作空间分析、动力学分析和机构综合等的基础。Stewart平台的并联特性导致其运动学逆解十分简单，但运动学正解总因包含多个未知参数的非线性方程组而变得十分复杂。目前，较为常见的位置正解由解析法、数值解法和封闭解法。对于解析法，由于位置正解的求解过程中涉及一组包含6个或9个位置参数的非线性方程组，在应用中很难建立方程给出解析解。而数值方法求解，能迅速方便地对任何机型结构求得实解，但一般得不得全部的解析，也不适合做理论上的研究。封闭解法虽得到解析表达式后理论上还有很大应用，能得到方程全部解，但其难度很大。针对以上解法的问题，基于多项式连续法和代数拓扑法，本文提出了基于多项式连续拓扑法来求解Stewart并联机构的正向位置解。基于连续法、同伦学和拓扑学的理论相结合，构造出具有非零辅助参数和嵌入变量的代数拓扑函数。在嵌入变量在［0，1］的区间中，使非线性问题的解通过代数拓扑函数由初始猜测解逐步变化到原始方程的精确解。该方法最大的特点是不需要多项式方程组的初始值也能求得各封闭支链正向运动的所有位置解，对于科学和工程应用中一些复杂环境下未知参数的非线性问题具有借鉴意义。

1 Stewart平台正向位置分析及求解

Stewart平台由一个定平台，一个动平台和六条带驱动器并联接定平台和动平台的支链组成，如图1所示。每条支链由一个移动副和一个联接定平台和动平台的球副组成，每个移动副作为其独立的输入位置。而一般几何Stewart平台的正向运动解值得考虑，该问题阐述如下：给定六个移动副的值去计算动平台的位置和方向。以6-SPS并联机构为例用多项式连续法拓扑方法求解正向位置解。

1.1 正向位置多项式方程建立

如图1所示，O-XYZ和O'-UVW分别是固定在定平台和动平台上的坐标系，Ei和ei，i=1，2，…，6，分别是定平台和动平台上球副中点。

图1 6-SPS并联机构示意图

1.2 正向位置多项式方程求解

多项式连续法需一个服从合理的低-多齐次Bezout数的变量分布，该数是方程式组所有解的个数。通过选择动平台上点e1作为动坐标系原点O'来简化方程组（7）不失一般性。

每组变量在9个方程中的次数见表1。

表1 每组变量中方程的次数表

该特定的变量组和Bezout数为960是通过反复的试验得到的，详细解释见2.3节。多项式连续法得益于构造出具有相同次数的多项式方程组，如式（9）意味着在变量组中，初始系统多项式的次数与表1的相同。

2 基于代数拓扑的多项式连续算法

多项式连续的目的是在未提供初始值的情况下找到多项式方程组的所有解，而确定多项式方程组解的个数是找到所有解的前提。一般的代数拓扑多项式连续法（也可称数值连续法）拓扑变换（映射的连续变换）的基础上由一个已知解的初始系统，一个将初始系统转变到目标系统的计划表和一种追踪解的路径的方法所组成。而2.1～2.3节将描述如何开展这些工作以致我们找到目标系统的几何孤立解并解释任意正维解集的Bezout数。

2.1 初始系统

多齐次Bezout数的重要性是因它在多项式连续过程中须紧随的路径数，因此，是计算工作的一种测量方法。初始系统基本方法的三个条件是：它的所有解需已知、每个解需是非奇异和系统与目标系统需有相同的多元齐次结构。

当式（13）中的每个方程为0时，每个方程至少有一个数被消去。因此，在式（14）中方程为0时，p1，m1，m3，m5须为+1或-1。所以，有16组（p1，m1，m3，m5）使式（14）中的方程消去。式（13）的第二至第六个方程中，因式分解后的第一项中，p2和p3是线性相关。消去这些方程的第一项，须有特定的（p2，p3）。可得其有10组不同的（p2，p3）。剩余的三项中，m2有3个不同取值可使第二项消除。同理，m4有2个不同取值，而m6只有一个取值，这样就有60个不同解。从而，系统共有960个不同的零解。

2.2 代数拓扑法

同伦（代数拓扑的基本概念）或变形系数解是从初始系统转换f（x0）到目标系统f（x）的形式［7］，可构造一个同伦函数H（x，t）为：

式中，t是嵌入变量；λi是非零辅助参数，这里为任意非零复数。为了避免数值上的困难，常取-19+12i，1-5i，14-2i，47-2i，7-11i，27+12i，-19+1i，17+ 7i，3+23i。H（x，t）=0在t的连续取值下有连续解x（t），表示一条两端分别为x0=x（0）和x（1）的空间曲线。当H=0和f（x）=0时，仅有非奇异解。此时，H-1（0）在 t∈ （0，1）由光滑的单调增长路径和f（x）=0的每个解与f（xi）=0的解相关联的路径所组成，该路径仅在嵌入变量t→1时趋于无穷远。

为了易于追踪路线趋于无穷大，引入4个齐次变量μ1、μ2、μ3、μ4，赋值如下：

将这些数代入到方程组（9）中，消去方程的分母。通过引入每组一个额外非齐次方程组的形式来消除这些方程的μ1、μ2、μ3、μ4。

在式（17）中，c11，…，c43是随机复数。方程组（17）通常依据剩下的变量求出μ1、μ2、μ3和μ4。这些表达式常用以消除先前推导出的方程组的齐次系统中的μ1、μ2、μ3和μ4。系数c11，…，c43的取值常为：

此时，当H=0在t=h（一般h取0.5）并用传统的迭代法如牛顿迭代法可找到f（x）=0的每个解。然后，将这些解作为初始值，再用传统的迭代法得出H=0在t=0时的解，该解也同为f（x）的解。这样便可求得相应的p1，p2，p3，mi，i=1，2，…，6的值。

2.3 路径追踪

路径追踪是嵌入变量 t∈ ［0，1］中，追踪H（ x，t）=0的解的过程，这些解构成了S条连续的路径。对于m阶齐次系统，H（ x，t）在任意给出的t值中是个由n+m个未知数的n个方程组成的系统。我们为每个齐次组引入一个非齐次线性方程［8］：

3 实例分析

对于6-SPS并联机构，基于多项式连续拓扑法求并联机构的正向运动解，即给定的动平台尺寸和驱动杆长度di等参数，求p1、p2、p3、m1、m2、m3、m4、m5和m6的值（求出的值均保留小数点后两位）。在复域中已知各球铰中心在坐标系中的坐标和驱动杆di的长度：

运用多项式连续拓扑法求其正向运动解，步骤详见1.1～1.3节。求得6-SPS并联机构中一个以复域解（因并联机构正向运动解不是唯一解，该解不唯一）为：

即求得6-SPS并联机构的正向运动解。

4 结论

本文利用一种新式解法，结合多项式连续法和代数拓扑法对Steward平台的正向运动解作了分析计算，并举实例加以说明。应用多项式连续法的好处在于可通过代数拓扑的方法获得单变量输入-输出多项式产生高次的中间多项式。类似于Tsai和Morgan的数值实验创造出Lee和Liang的代数操作目标［9］。多项式连续法弥补了数值方法不能求得连续点的解和解析法只适用于简单计算区域问题的缺陷。本文提出的多项式连续拓扑法的基本思想，为解决复杂环境及高阶非线性问题的超越摄动方法等提供理论基础。同时，该方法对许多类型的非线性常、偏微分方程等一些典型非线性问题体现出了有效性和灵活性。在科学和工程中的运用具有借鉴意义。

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（编辑 赵蓉）

Forward Position Analysis of 6-SPS Parallel M anipulator Via Polynom ial Continuous M ethod

SONG Ma-jun1，WANG Xian-ming2，ZHU Da-chang1
（1.School of Mechanical&Electrical Engineering，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000，China；2.School of Mechanical&Electrical Engineering，Nanchang University，Nanchang 330031，China）

6-DOF parallelmanipulators has a wide range of application due to its simple structure、easilymotion andmature controlalgorithm，A representative sample belongs to Stewartplatform.Analyzed the forward kinematics analysis of 6-SPS parallelmechanism which constructing the non-linear polynomial equations in this paper，combined w ith polynom ial continuousmethod and algebraic topology method，proposed polynom ial continuationmethod.Compared w ith the General numerical continuationmethod，thismethod can apply special properties of polynom ial equations under w ithouting initial parameters，achieved the forward kinematics position solutions of each closed branched-chain.Meanwhile，eliminated the numerical problems such as divergence and bifurcation，which had regarded as a Effective approach in a given nonlinear problem.It makes important sense on the nonlinear problem under some complex surroundings in scientific and engineering applications.

6-SPS parallelmechanism；polynom ial continuous and algebraic topology method；forward kinematic position problem

TH166；TG659

A

1001-2265（2015）08-0015-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.08.004

2014-11-30；

2014-12-30

国家自然科学基金资助项目（51165009，51105077）；中国博士后科学基金资助项目（2013M541874）；江西省自然科学基金资助项目（GJJ14422）

宋马军（1990-），男，浙江绍兴人，江西理工大学硕士研究生，研究方向为全柔顺并联机构学，（E-mail）smj1990dwayne@gmail.com。