数理逻辑解《说卦》中的卦象和卦义

2015-10-28王俊龙

深圳大学学报（人文社会科学版） 2015年4期

关键词：卦象八卦太极

王俊龙

（《高等学校文科学术文摘》杂志社，上海 200234）

数理逻辑解《说卦》中的卦象和卦义

王俊龙

（《高等学校文科学术文摘》杂志社，上海 200234）

《说卦》是论述八卦的卦象及其性质的经典文本。现代易学倾向于从矛盾关系分析八卦的性质。八卦中包含哪四对矛盾呢？学界主要有两种观点：一种观点是以阴阳相错（对待）关系判定八卦之间的矛盾关系，一种观点是以“非覆即变”关系判定八卦之间的矛盾关系。一般认为八卦中的矛盾关系所反映的问题是哲学问题，但实际上同时也是数学问题。以阴阳相错（对待）关系分析卦象矛盾所对应的数学模型是二进制型布尔代数，以“非覆即变”关系分析卦象矛盾所对应的数学模型是太极代数四元逻辑模型。但是，二进制型布尔代数有悖太极阴阳思想，比如，把坤卦视为空集并成为“六子”的子集。太极代数四元逻辑模型证明：《说卦》是一篇逻辑论文，而且是一篇具有丰富的数理逻辑内涵的论文。具体而言，八卦是八个逻辑范式（公式），八卦是一套相对完备的逻辑系统；《说卦》中八卦与人体形态的对应其实是用人体形态表示逻辑图；《说卦》中蕴含的新的逻辑结构是建构广义太极代数的数理基础。

《说卦》；八卦；布尔代数；太极代数；逻辑结构；算术结构

一、问题的缘起：如何看待八卦中的矛盾关系？

八卦有八个基本象征：乾为天、坤为地，坎为水、离为火，巽为风、兑为泽，震为雷、艮为山。关于八卦的性质，《说卦》有较完备的论述。现代易学则倾向于从矛盾关系分析八卦的性质。

学界有人用对立统一的观点看待八卦的性质，廖名春说：“八卦所代表的八种自然现象在万物的生成过程中并不是彼此孤立、互不相干的，而是相反相成，两两构成对立面的统一。……乾、坤、雷、风、火、水、山、泽生化万物的功能是非常神妙的，它们既各有各的特点，彼此对立，但又互相联系，构成统一体。如乾为天，天在上；坤为地，地在下。一上一下是对立的，但能交合成一体，又是统一的。艮为山，兑为泽，山高泽低是对立的，但其气相通，又是统一的。巽为风，震为雷，风雷互相搏击是对立的，但能互相增益其势而又不相悖，又是统一的。坎为水，离为火，水火不相入是对立的，但它们又能‘相逮’，互相资济，又是统一的。这种既对立又统一的特性推动了万物的变化发展，所以说‘然后能变化既成万物也’。”［1］（P291-292）

通常都不反对八卦反映四对矛盾关系或对待关系，其中乾坤是一对矛盾，坎离也是一对矛盾，剩下的四个卦是哪两对矛盾呢？对此问题的回答导致两种不同的观点：一种观点认为，艮和兑构成一对矛盾关系，震和巽构成一对矛盾关系。比如，高亨先生就持这样的观点，大哲学家王夫之也认同这一观点。这一观点可在《说卦》中找到其依据。另一种观点认为，震和艮构成一对矛盾关系，兑和巽构成一对矛盾关系。这一观点亦可在《说卦》中找到依据。这一观点还可以从《序卦传》中找到根据。

认同八卦中包含矛盾关系是易学发展的进步表现。上述前一种观点其实是以阴阳相错（对待）关系判定八卦之间的矛盾关系，后一种观点其实是以“非覆即变”关系判定八卦之间的矛盾关系，乾和坤、坎和离皆相错互变，巽和兑、震和艮皆相倾互覆。

一般认为上述观点所反映的问题是哲学问题，但其实这些观点所对应的问题同时也是数学问题。具体地说，上述不同的观点可用相应的数学模型加以解释，不同的观点对应不同的数学模型，反映不同旨趣的逻辑内涵。对应前者的数学模型是二进制型布尔代数，对应后者的数学模型是太极代数四元逻辑模型。

目前，学界倾向于认同第一种观点的居多，而对第二种观点尚未引起足够的重视。从数理逻辑角度看，前者相当于认为八卦是八个集合，且其中包含四对矛盾关系；后者相当于认为八卦是八个逻辑范式，且其中亦包含四对矛盾关系。本文将证明，上述第一种观点是有悖《周易》的实际内涵的，只有第二种观点才真正合乎易理。

本文所要论证的结论：《说卦》是一篇逻辑论文，而且是一篇具有丰富的数理逻辑内涵的论文。

论证的思路和依据：

1．易卦不是什么？（这是对既有认知的否定）

易卦不是二进制数，尽管形式上卦象与二进制数是同构的。将通过反例证明：易卦的卦义不能通过0、1二元布尔代数加以解释。

2．易卦是什么？（这是在否定基础上的肯定）八卦是八个逻辑范式（公式）［2］，相应地，六十四卦是演绎逻辑系统［3］。

3．易卦中蕴含新的数理逻辑——太极代数。太极代数是阴（[-1]）、阳（[1]）、空（[-0]）、无（[0]）四元逻辑。太极代数的理论依据是太极阴阳思想①。

4．《说卦》中既论述了八卦的逻辑结构也蕴含数的逻辑结构，这是提出广义太极代数的理论依据。［4］

二、二进制型布尔代数不适合解释八卦的卦义

有一种观点认为卦象上的相错关系构成八卦的矛盾关系，如此一来，乾和坤，坎和离，艮和兑，震和巽皆构成相错关系。自然地，艮和兑构成一对矛盾关系，震和巽构成一对矛盾关系。比如，高亨先生就持这样的观点。“八卦象征八种物质，用矛盾对立的乾坤象征矛盾对立的天地，用矛盾对立的震巽象征矛盾对立的雷风，用矛盾对立的坎离象征矛盾对立的水火，用矛盾对立的艮兑象征矛盾对立的山泽，这就反映了古人朴素的辩证观点。”［5］（P5）

这一观点可在《说卦》中找到其依据。《说卦》曰：“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错。数往者顺，知来者逆，是故《易》逆数也。”这一观点可以从卦象上找到依据。从卦象看，艮和兑是相错关系，震和巽也是相错关系。《说卦》的这一观点，或更确切地说，对《说卦》的这一段文字用卦象上相错关系加以解释的观点对学界影响很大。大哲学家王夫之也认同这一观点。王夫之曰：“雷霆、风雨相偕以并作，则震巽合矣。日月、寒暑相资而流行，则坎离合矣。男女相偶以正位而衍其生，则艮兑合矣。”［6］（P161）虽然，上文所引廖先生的观点是从八卦所代表的事物的特性上分析八卦之间的矛盾关系，但其结论与把相错关系看作划分八卦矛盾关系的依据是一样的。

若认为卦象上的相错关系构成八卦之间的矛盾关系，则八卦对应的数学模型是二进制型布尔代数［7］（P50-57）。相应地，八卦将是八个集合。具体地说，代表乾卦的集合是（111），代表坤卦的集合是（000），代表离卦的集合是（101），代表坎卦的集合是（010），代表兑卦的集合是（011），代表艮卦的集合是（100），代表巽卦的集合是（110），代表震卦的集合是（001）。

但是，二进制和布尔代数都不符合《周易》中的数理和数理逻辑。卦象上的相错关系对应二进制型布尔代数，而用二进制型布尔代数分析卦象将导致与传统易学思想产生不可调和的矛盾。也就是说，二进制型布尔代数不是合适的解释易卦的数学模型。这部分不打算具体展开论证了，这里仅举一例加以说明：如坤卦在二进制型布尔代数中表示为（000），0在布尔代数中表示空类（或空集）；《说卦》曰：“坤为地。”《象传》曰：“地势坤，君子以厚德载物。”而（000）是没有任何元素的空集，显然，空无一物者是没有任何保持厚德的基础的。另外，《说卦》曰：“乾为父。”“坤为母。”由于乾卦的二进制表示为（111），义为全集，那么，不仅“六子”（坎、离、巽、兑、震、艮）是乾卦的子集，坤卦也将是乾卦的子集。甚至，因为空集是任意集合的子集，坤卦也将是“六子”的子集，这就乱了伦序了。可见，把坤卦释为空集与传统的太极阴阳思想极不相符合。仅此一例即足以说明，用二进制数或布尔代数解释卦象是不符合《周易》的义理的。

三、相错关系：八卦中蕴含新的逻辑代数结构

前述论证八卦的相错关系不能用布尔代数加以解释，而布尔代数是逻辑代数，但这并非意味着八卦不能用逻辑代数加以解释。在否定易卦是二进制数的基础上，即阴、阳爻不能用1和0来表示，笔者发现阴爻和阳爻可以分别用和来表示，从而发现易卦中蕴含一种新的逻辑代数系统，即太极代数四元逻辑。

如果设定阴爻为，阳爻为，从形式上看，八卦对应八个逻辑小项。见表1。-11 -11

表1　八卦中蕴含新的逻辑代数

八卦所对应的八个小项的全体合为太极0：

但是，从卦义上分析，八卦并不是八个逻辑小项而是八个逻辑范式［2］。

四、非覆即变：八卦是八个逻辑范式（公式）②

还有一种观点认为，震和艮构成一对矛盾关系，兑和巽构成一对矛盾关系。这一观点亦可在《说卦》中找到依据。

坎、离互补（分别对应与），巽、兑互补（分别对应与），艮、震互补（分别对应与）。这里和皆非空且互不相交［2］。同时，互补二卦皆“非覆即变”：坎离互反-A A -B B -B-A B +A A B

不只是互补二卦在形态（卦象）上是“非覆即变”的，而且互补二卦在内涵（卦义）也是相反的。

《说卦》曰：“乾，健也。坤，顺也。震，动也。巽，入也。坎，陷也。离，丽也。艮，止也。兑，说也。”

从卦象上看，乾与坤是相错的关系，且卦义上二者是相反关系；同样，离与坎是相错的关系，且卦义上二者也是相反关系。

乾为天，坤为地；离为火，坎为水。兑为泽，艮为山；巽为风，震为雷。

天与地意义相反，水与火意义相反。这也证明乾坤是矛盾关系，坎离是矛盾关系。然而，震与巽是相错关系，但卦义上二者不是相反关系。同样，兑与艮也是相错关系，但卦义上二者也不是相反关系。

《说卦》的作者指出：震为动，艮为止；巽为入，兑为说（脱）。说明震与艮的卦义相反，巽与兑的卦义相反。

《说卦》曰：“乾为首，坤为腹，震为足，巽为股，坎为耳，离为目，艮为手，兑为口。”

《说卦》的作者指出：艮为手，震为足；兑为口，巽为股。八卦与人体形态的对应关系亦证明，震足、艮手构成一对矛盾关系，兑口、巽股亦构成一对矛盾关系。这就进一步证明震与艮的卦义相反，巽与兑的卦义相反。

从卦象上看，乾、坤、坎、离四个卦的卦象正看或倒看都是相同的、不变的。而兑、巽、震、艮四个卦的卦象正看与倒看是不同的，一旦倒看其卦象就发生变化。具体地说，兑与巽是互相倒覆关系，震与艮也是互相倒覆关系。

廖名春先生曾明确论述道：“我们认为八卦卦形上二二为耦，非对即倒，八卦的卦德也是二二为耦，反对为义。”［1］（P34-35）但是他对此结论还是有些犹豫，未能坚持贯彻到底，这一点从他最终仍然寻求从卦形的相错关系论述八卦中的四对矛盾关系中可以看出。而真正贯彻“八卦的卦德也是二二为耦，反对为义”需要相应的逻辑工具给予有力支持才能做到。

若认为卦象上的“非覆即变”关系构成八卦之间的矛盾关系，则八卦对应的数学模型是太极代数。相应地，八卦将是八个逻辑范式（公式），见表2。

五、《说卦》人体形态是自然的逻辑图

《说卦》人体形态表示八卦的逻辑内涵。人体形态是合乎逻辑法则的进化产物，因此，人体形态是自然的逻辑图。

《说卦》曰：“乾为首，坤为腹，震为足，巽为股，坎为耳，离为目，艮为手，兑为口。”其中是有丰富的逻辑内涵的。表明中国古人不仅用阴阳爻将八卦形式化了，而且通过人体形态将八卦形象化了。《说卦》将八卦与人体形态相对应一方面说明人体形态是由逻辑决定的，另一方面也是通过人体形态将逻辑图像化［9］。换言之，《说卦》所言人体形态实际上是逻辑图，而且可以通过维恩图加以说明。见表2。

表2　八卦的逻辑内涵

八卦的逻辑内涵还可以通过“八山”加以理解。“八山”是另一套讲述八卦逻辑内涵的古代逻辑专用术语，若与八卦的卦义相结合就能更清楚地知道八卦的逻辑内涵，并可准确地对译为现代逻辑专用术语。“八山”中的叠山是讲逻辑加法（叠加、析取）运算，《说卦》曰：“巽，入也。”“入”为进入、加入。与巽卦相反的是兑卦，《说卦》曰：“兑，说也。”其中“说”为“脱”。“脱”与入相反。连山是讲逻辑乘法（交连、合取）运算，《说卦》曰：“离，丽也。”“丽”为俪，讲两人有交集。与离卦相反的是坎卦，《说卦》曰：“坎，陷也。”陷则没有交集。叠山与连山之间的差运算（分别、对称差）是列山。因此，八山中，兼山和叠山互补，潜山和连山互补，列山和藏山互补，伏山和崇山互补。相应地，八卦中，兑卦和巽卦互补，坎卦与离卦互补，艮卦和震卦互补，坤卦和乾卦互补。

六、八卦的完备性：兑（泽）与坎（水）果真重复吗

廖名春先生认为：“兑的取象为泽，泽虽然也是水，但与坎不同，坎是没有驯服的水，是水害，故称‘险’。而泽是被驯服的水，是水利，带给人们的是喜悦，故称‘悦’。其实，‘兑’本义当为现。引申为‘悦’。泽的本义是润泽、光泽，故以为显现，而作为喜悦的象征。”［1］（P31）类似地，乔清举先生认为：“八卦中坎水常为一般之水、抽象之水；兑之泽水无疑也具有一般性，然比之坎水，则多为具体之水。”与廖明春的观点不同的是，乔清举先生认为，坎为水，泽也是水，他的结论是坎与泽是重复的［10］。

乔先生的观点与尚秉和先生“坎为耳，兑亦为耳”的观点十分相似。尚秉和先生认为：“盖坎之为耳以其陷。兑亦坑坎也，故亦为耳。三爻鼎耳革，五爻鼎黄耳，象甚明。”［11］（P228）

以上问题只有在明确地认识到八卦是八个逻辑范式（公式）时才能完满地得到解释。

八卦构成一个演绎逻辑系统，八卦是合乎逻辑的八个范式（公式），其中包含四对矛盾关系。这八个范式（公式）是缺一不可的，其中既无重复亦无遗漏。从逻辑的角度看，坎与兑是不同的逻辑范式（公式），八卦中的坎水和兑泽是不可混同的。这同时也说明，如果脱离了八卦的逻辑内涵去理解八卦就不能正确地认识八卦。

八卦不是孤立的，相互之间具有丰富的内在逻辑联系。八卦中的基本关系有两种：一是复合关系，二是分合关系。

复合关系有三组：

其中（无）表示全集或太极，（空）代表空集或无极。

中孚、颐、既济和泰卦等四个卦皆对应太极，表示上下卦处于和合状态。大过、小过、未济和否卦等四个卦皆对应无极，表示上下卦处于背反状态［3］。

《说卦》曰：“神也者，妙万物而为言者也。动万物者莫疾乎雷，挠万物者莫疾乎风，躁万物者莫熯乎0 0火，说万物者莫说乎泽，润万物者莫润乎水，终万物始万物者莫盛乎艮。故水火相逮，雷风不相悖，山泽通气，然后能变化，既成万物也。”

《说卦》的作者指出：“雷风不相悖”。这就明确“雷”与“风”具有共同性，二者并非异类，所以不相违悖。

我们将引用前述八卦中的三组复合关系来论证《说卦》作者对八卦逻辑内涵的论述，见表3。

表3　八卦“六子”的基本逻辑关系

表3说明，“山泽通气”是做加法（布尔加），“雷风相薄”是做乘法（布尔乘）。为什么这样说呢？“山”、“泽”相加的结果是坎“水”。“雷”、“风”相乘的结果是离“火”，说明“雷”与“风”并非异类，其交集是离“火”。坎“水”是“山”与“泽”的共同体（并集），故“山泽通气”。离“火”是“雷”与“风”的共同性（交集），所以，“雷风不相悖。”

七、简论《说卦》中八卦和数的结构

《说卦》论述了八卦的结构，同时也论述了数的结构。

《说卦》曰：“乾，天也，故称乎父。坤，地也，故称乎母。震一索而得男，故谓之长男。巽一索而得女，故谓之长女。坎再索而得男，故谓之中男。离再索而得女，故谓之中女。艮三索而得男，故谓之少男。兑三索而得女，故谓之少女。”这是论述八卦的结构是父母子女家庭式结构的相似性。

《说卦》曰：《说卦》曰：“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错。数往者顺，知来者逆，是故《易》逆数也。”通常认为，其中“知来者”是指预知未来，“逆数”是指逆推未来。这是从八卦是卜筮符号的角度所做的解释。

笔者认为“天地定位”章是论述数的结构的。“逆数”中的“数”是指数字符号。而且，准确地理解“逆数”中的“数”须结合《说卦》的首章所论及的“数”。《说卦》首章明言：“昔者圣人之作《易》也，幽赞于神明而生蓍，参天两地而倚数，观变于阴阳而立卦，发挥于刚柔而生爻，和顺于道德而理于义，穷理尽性以至于命。昔者圣人之作《易》也，将以顺性命之理。是以立天之道曰阴与阳，立地之道曰柔与刚，立人之道曰仁与义。兼三才而两之，故《易》六画而成卦。分阴分阳，迭用柔刚，故《易》六位而成章。”这段文字重在论述作易的原理而非论述八卦的卜筮功能。其中，“参两”是探究之义，“倚”是凭借之义，“数”是数字符号。“参天两地而倚数”，意思是运用数学方法探究天地之理［14］（P51）。其后承的“天地定位”章进一步论述八卦的结构及其与数结构的关系，这是合乎逻辑的递进的文理展开。

笔者结合八卦的逻辑结构将其中的“数”理解为数字符号。其中的“顺”是数的自然次序，即自然数由小至大的次序。“来者”指数的来源，数的由来须从根源处逆推才能得知。《老子》曰：“万物生于有，有生于无。”有之数亦生于无。顺数是正序、正数，逆数是反序、反数（负数）。正序决定正数大小，逆序决定负数大小。见图1。

图1中的整数皆为逻辑整数。图1中大小框表示包含关系，小框中的正整数小于大框中的正整数。这样就直观地显示整数中存在的包含结构。最小的空框是，表示绝对空集；最大的框是，表示绝对全集。图1中还显示整数中存在的排斥结构。凡标注同一个数的区域与未标注该数的框（区域）中的最大框是二分的。比如，所有标注的区域与表示的框是二分的，所有标注的区域与表示的框是二分的。

图1　包含与排斥：逻辑整数的数学结构⑤

正如八卦的结构是父母子女家庭式结构，数结构也是父母子女家庭式结构。最大数为母，最小数为父。正数为子，负数为女。正数起自父数，负数起自母数。见图2。

图2　由到：逻辑实数及其对称互补结构⑥-00

图2中的实数皆为逻辑实数。上方的数是非负实数（注意：-0是，是绝对空集，不是负数），右侧的数是非正实数（注意：0是，是绝对全集，不是正数）。上方的非负实数构成一条数轴，该数轴表示由到的封闭区域。右侧的非正实数表示数轴上的非负实数到的距离。图2将是建立广义太极代数的基础。广义太极代数是建立在扩展的（含-0）实数系上的逻辑代数［5］。关于广义太极代数因超出本文的论域，故此处不再展开。

请注意：图2中数结构与数轴结构（见图3）是完全不同的数结构，后者是数的算术结构，前者是数的逻辑结构。换句话说，《说卦》所论数的结构是不同于算术结构的逻辑结构。在图3数轴中，0是介于正负数之间的中性数，没有最大的正数亦没有最大的负数。数轴上的实数是偏序结构的，而逻辑实数是对称互补结构的。数轴上的实数是偏序结构的，遵循三分律（trichotomy law）⑦。在图2中是最大数（绝对全集），为最小数（绝对空集），同样是既没有最大的正数也没有最大的负数。但是，逻辑实数不遵循三分律。对于任意两个逻辑实数［p］和［q］，恰有5种关系之一成立［13］：1.［p］［q］，2.［p］［q］，3.［p］=［q］，4.［p］和［q］互不相干⑧，5.［p］和［q］相互交合（或纠缠）⑨。-0 0 -00 0 0 -0

图3　数轴的偏序结构

须说明的是，八卦的父母子女结构与数的父母子女结构是有分别的。“六子”是有限的，而正负数是无限的。卦的“父母”是相对的，而数的“父母”是绝对的。乾和坤是相对矛盾，空（，即-0）无（0）是绝对矛盾。无（0）包含自身的对立面——空（）［14］。

综上所述，用反例证明卦象不能用二进制布尔代数加以解释。同时证明了太极代数是八卦中蕴含的新的逻辑代数结构。《说卦》是一篇论述卦象和卦义的重要文献，不但阐述了八卦的形式结构（卦象结构）也论述了八卦的逻辑结构，不但阐明了八卦的逻辑结构也指出了数的逻辑结构。八卦是八个逻辑范式，决定了《说卦》文本的性质。《说卦》是一篇逻辑论文，而且是一篇具有数理逻辑内涵的论文。

注：

①现有文献上可检索到的太极代数有两种：一是由谭晓春命名的太极代数（谭晓春《太极代数》，《周易研究》1992年第1期）；二是由王俊龙命名的太极代数（王俊龙《论太极代数及其辩证内涵》，《湖南师范大学社会科学学报》2009年第3期）。两者虽然都是出于对《周易》的太极阴阳思想的数理解读，但却是完全不同的代数结构。为区别起见，由王俊龙发现的太极代数将全称为俊龙太极代数，简称俊龙代数。而这一简称也符合以发现者命名的惯例，不但以此区别于谭晓春的太极代数，亦区别于同为逻辑代数的布尔代数。相应地，广义太极代数亦可改称为广义俊龙代数，以区别于蒯因的一般的布尔代数。须说明的是，鉴于我发现的太极代数是一种最新的代数结构，因此先后有两位专家建议是否直接将它命名为俊龙代数，这两位专家分别为《湖南师范大学自然科学学报》主编杨春明教授和《人文杂志》张蓬教授。

②这里的范式有范畴和公式两种含义，笔者更侧重于逻辑公式之义。新近有学者论述八卦中的某一个卦代表一个逻辑范畴，比如，认为兑卦（说）是一个逻辑范畴。参见田立刚：《先秦逻辑范畴研究》，北京：中国社会科学出版社，2012年，第106-107页。

③其中的加法表示并运算，乘法表示交运算，且乘法省略了乘号。其中的减号和负号采用相同的符号，但是，运算含义不同：减号表示差运算，负号表示补运算。

④王兴业：《山坟易探微》，青岛：青岛出版社，1999年，第16页。

⑤图1的说明详见王俊龙：《〈周易〉经传数理研究》，北京：人民出版社，2015年，第232页。

⑥图2的说明详见王俊龙：《〈周易〉经传数理研究》，北京：人民出版社，2015年，第233-234页。

⑦任意x和y，x＜y、x=y和x〉y三种可能中有且仅有一种成立。Herbert B.Enderton：《数理逻辑》（第2版），沈复兴等译，北京：人民邮电出版社，2007年，第116页。

⑧此时［p］［q］=.

⑨通常所说“你中有我，我中有你”或“阳中有阴，阴中有阳”就是逻辑上的纠缠关系。

［1］廖名春.《周易》经传十五讲［M］.北京：北京大学出版社，2004.

［2］王俊龙.论八卦是八个逻辑范式［J］.周易研究，2012，（03）：90-96.

［3］王俊龙.论六十四卦是演绎逻辑系统：上、下［J］.东亚文献研究（中韩合办），2013-2014：第13-14辑.

［4］王俊龙.广义太极代数：R上的逻辑代数［J］.湖南师范大学自然科学学报，2014，（05）：85-89.